最大値と最小値

数学的解析において、関数の最大値と最小値^[a]は、それぞれ関数が取る最大の値と最小値です。一般に極値^[b]として知られ、関数の特定の範囲内(局所的または相対的極値) または全体の定義域(大域的または絶対的極値) で定義できます。 ^{[1] [2] [3]}ピエール・ド・フェルマーは、関数の最大値と最小値を見つけるための一般的な手法である等式を提案した最初の数学者の1人です。

集合論で定義されているように、集合の最大値と最小値は、それぞれ集合内の最大の要素と最小の要素です。実数の集合などの無限集合には、最小値も最大値もありません。

統計学では、対応する概念はサンプルの最大値と最小値です。

領域X上で定義された実数値関数 fは、大域的（または絶対的）最大点を持つ。 x ^∗において、X内のすべてのxに対してf ( x ^∗ ) ≥ f ( x )が成り立つ場合。同様に、関数は大域的（または絶対的）最小点を持つ。x ^∗において、X内の任意のxに対してf ( x ^∗ ) ≤ f ( x )が成り立つとき、関数の最大値は関数の最大値はと表記され、関数の最小値における値は と呼ばれる。${\displaystyle \max(f(x))}$関数の最小値（わかりやすくするために表記）。記号的に次のように書くことができます。 ${\displaystyle \min(f(x))}$

${\displaystyle x_{0}\in X}$関数のグローバル最大点であるとき、${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle (\forall x\in X)\,f(x_{0})\geq f(x).}$

グローバル最小点の定義も同様に進みます。

領域Xが距離空間である場合、fは局所的（または相対的）最大点を持つと言われる。点x ^{∗において、} x ^∗から距離ε以内のXのすべてのxに対してf ( x ^∗ ) ≥ f ( x )となるようなε > 0が存在する場合。同様に、関数は極小点を持つ。x ^∗において、x ^∗から距離ε以内にあるXのすべてのxに対してf ( x ^∗ ) ≤ f ( x )が成り立つこと。 同様の定義は、 X が位相空間である場合にも使用できます。これは、先ほど与えた定義を近傍の観点から言い換えることができるためです。 数学的には、与えられた定義は次のように書きます。

を距離空間とし、関数 とする。すると、 は関数の極大点となり、${\displaystyle (X,d_{X})}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (\exists \varepsilon >0)}$${\displaystyle (\forall x\in X)\,d_{X}(x,x_{0})<\varepsilon \implies f(x_{0})\geq f(x).}$

局所最小点の定義も同様に進めることができます。

グローバルな場合もローカルな場合も、厳密な極値を定義することができる。例えば、x^∗は厳密な全体的最大点とはX内のxに対してx ≠ x ^∗に対してf ( x ^∗ ) > f ( x )が成り立ち、x^∗が厳密な局所最大点とは、x^∗から距離εX内のすべてのxに対して、 x ≠ x ^∗で、 f ( x ^∗ ) > f ( x )が成り立つようなε > 0。点が厳密な大域最大点となるのは、それが唯一の大域最大点である場合のみであり、最小点についても同様であることに注意してください。

コンパクトな定義域を持つ連続実数値関数には、常に最大点と最小点があります。重要な例としては、定義域が実数の閉じた有界区間である関数があります(上のグラフを参照)。

数学的最適化の目標は、大域的最大値と最小値を見つけることです。関数が閉区間で連続している場合、極値定理により、大域的最大値と最小値が存在します。さらに、大域的最大値 (または最小値) は、ドメインの内部で局所的最大値 (または最小値) であるか、ドメインの境界上にある必要があります。したがって、大域的最大値 (または最小値) を見つける方法は、内部のすべての局所的最大値 (または最小値) を調べ、境界上の点の最大値 (または最小値) を調べて、最大 (または最小) のものを取得します。最小値

フェルマーの定理によれば、微分可能関数の場合、領域の内部における局所的極値は必ず臨界点（または導関数がゼロになる点）で発生する。^{[4]しかし、すべての臨界点が極値となるわけではない。十分な微分可能性があれば、}第1導関数テスト、第2導関数テスト、または高次導関数テストを使用することで、臨界点が局所的最大値、局所的最小値、あるいはそのどちらでもないかを判別できることが多い。^[5]

区分的に定義された関数の場合、各部分の最大値 (または最小値) を個別に求め、どれが最大 (または最小) であるかを調べることで、最大値 (または最小値) を求めます。

実際の例として、^[6]では、誰かがフィートのフェンスを持っていて、長方形の囲いの平方フィートを最大化しようとしている状況を想定します。ここでは、長さは、幅は、面積はです。 ${\displaystyle 200}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle xy}$

${\displaystyle 2x+2y=200}$

${\displaystyle 2y=200-2x}$

${\displaystyle {\frac {2y}{2}}={\frac {200-2x}{2}}}$

${\displaystyle y=100-x}$

${\displaystyle xy=x(100-x)}$

についての導関数は次のようになります。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}xy&={\frac {d}{dx}}x(100-x)\\&={\frac {d}{dx}}\left(100x-x^{2}\right)\\&=100-2x\end{aligned}}}$

これを等しく設定すると${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0=100-2x}$

${\displaystyle 2x=100}$

${\displaystyle x=50}$

は、唯一の臨界点であることがわかります。次に、が制限される区間を決定することによって端点を取得します。幅は正なので、 となり、 なので、 となります。臨界点、および端点、を に代入すると、結果はそれぞれ ととなります。 ${\displaystyle x=50}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle x=100-y}$${\displaystyle x<100}$${\displaystyle 50}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 100}$${\displaystyle xy=x(100-x)}$${\displaystyle 2500,0,}$${\displaystyle 0}$

したがって、長方形のフェンスで達成できる最大面積は フィートです。^[6]${\displaystyle 200}$${\displaystyle 50\times 50=2500}$

複数の変数を持つ関数の場合も、同様の条件が適用されます。たとえば、右側の図 (拡大可能) では、極大値に必要な条件は、変数が 1 つのみの関数の条件と似ています。z (最大化される変数)に関する最初の偏導関数は、最大値 (図の上部にある光る点) で 0 になります。2 番目の偏導関数は負です。これらは、鞍点の可能性があるため、極大値に必要な条件であり、十分条件ではありません。これらの条件を使用して最大値を解くには、関数zも全体にわたって微分可能でなければなりません。2番目の偏導関数テストは、点を相対最大値または相対最小値として分類するのに役立ちます。対照的に、1 変数の関数と複数の変数の関数では、グローバル極値の識別において大きな違いがあります。例えば、実数直線上の閉区間で定義された有界微分可能関数fが、局所的最小値である単一の臨界点を持つ場合、それは大域的最小値でもある（これを背理法で証明するには、中間値定理とロールの定理を使う）。2次元以上では、この議論は成り立たない。これは、関数によって示される。

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}(1-x)^{3},\qquad x,y\in \mathbb {R} ,}$

唯一の臨界点は(0,0)で、これはf (0,0) = 0となる局所最小値である。しかし、 f (2,3) = −5 であるため、これは大域的最小値にはなり得ない。

極値を求める関数の定義域自体が関数で構成されている場合（つまり、関数の極値を求める場合）、変分法を使用して極値を求めます。

最大値と最小値は、集合に対しても定義できます。一般に、順序付き集合 S が最大要素 mを持つ場合、m は集合の最大要素であり、 とも表記されます。さらに、S が順序付き集合Tのサブセットであり、m が( Tによって誘導される順序に関して) Sの最大要素である場合、 m はTにおけるSの最小上限です。同様の結果は、最小要素、最小要素、最大下限についても当てはまります。集合の最大値と最小値関数はデータベースで使用され、集合の最大値 (または最小値) はパーティションの最大値から計算できるため、迅速に計算できます。正式には、これらは自己分解可能な集約関数です。 ${\displaystyle \max(S)}$

一般的な半順序の場合、最小の要素（つまり、他のすべての要素よりも小さい要素）を極小要素（これより小さい要素はない）と混同しないでください。同様に、半順序集合（poset）の最大要素は、集合の上限であり、集合内に含まれる要素です。一方、 poset Aの最大要素mは、 m ≤ b （ A内の任意のbについて）であれば、 m = bとなるAの要素です。poset の最小要素または最大要素は一意ですが、poset には複数の極小要素または最大要素を含めることができます。poset に複数の最大要素がある場合、これらの要素は相互に比較できません。

全順序集合、つまり連鎖では、すべての要素が相互に比較可能であるため、このような集合には最大 1 つの最小要素と最大 1 つの最大要素しか存在できません。この場合、相互比較可能性により、最小要素は最小の要素でもあり、最大要素は最大の要素でもあります。したがって、全順序集合では、単に最小と最大という用語を使用できます。

連鎖が有限であれば、常に最大値と最小値が存在します。連鎖が無限であれば、最大値や最小値が存在する必要はありません。たとえば、自然数の集合には最大値はありませんが、最小値は存在します。無限連鎖Sが有界である場合、集合の閉包 Cl ( S ) には、最小値と最大値が存在することがあります。この場合、それらはそれぞれ集合Sの最大下限値と最小上限値と呼ばれます。

数学 において、最大値の引数（略称arg maxまたはargmax）と最小値の引数（略称arg minまたはargmin）は、関数の出力値がそれぞれ最大化および最小化される入力ポイントです。^[8]引数は関数の定義域で定義されますが、出力はその共域の一部です。

• 微分テスト
• 下限と上限
• 上限を上限とし、下限を下限とする
• 最大最小値の同一性
• 機械的平衡
• Mex（数学）
• 鞍点
• サンプルの最大値と最小値

ウィキメディア・コモンズには、極値 (微積分)に関連するメディアがあります。

無料辞書の Wiktionary で、最大値、最小値、または極値を調べてください。

• コンバージェンスにおけるトーマス・シンプソンのマキシマとミニマに関する研究
• Maxima と Minima の応用と解決済みの問題のサブページ
• アーサー・アーネスト、ジョリフ（1911年）。「マキシマとミニマ」 。ブリタニカ百科事典。 Vol. 17（第11版）。 918–920ページ。