積分

数学において、積分は合計の連続的な類似物であり、面積、体積、およびそれらの一般化を計算するために使用されます。積分を計算するプロセスである積分は、微積分学の2つの基本的な操作の1つであり、^[a]もう1つは微分です。積分は当初、曲線の下の面積を求めたり、速度から変位を決定するなど、数学と物理学の問題を解決するために使用されていました。その後、積分の使用はさまざまな科学分野に広がりました。

定積分は、実数直線上の 2 点間の、与えられた関数のグラフで囲まれた平面上の領域の符号付き面積を計算します。慣例的に、平面の水平軸より上の領域は正で、下の領域は負です。積分は、不定積分の概念、つまり与えられた関数を導関数とする関数も指します。この場合、不定積分とも呼ばれます。微積分学の基本定理は、定積分と微分を関連づけ、不定積分がわかっている場合に関数の定積分を計算する方法を提供します。微分と積分は逆の演算です。

面積や体積を計算する方法は古代ギリシャの数学に遡るが、積分の原理は17世紀後半にアイザック・ニュートンとゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによって独立に定式化され、彼らは曲線の下の面積を無限小の幅の長方形の無限和と考えた。ベルンハルト・リーマンは後に積分の厳密な定義を与えたが、これは曲線領域の面積をその領域を無限小の薄い垂直の板に分割することで近似する極限手順に基づいている。20世紀初頭、アンリ・ルベーグはリーマンの定式化を一般化し、現在ではルベーグ積分と呼ばれているものを導入した。これは、より広いクラスの関数がルベーグ積分可能であるという意味でリーマンのものよりも一般的である。

積分は、関数の種類と積分が実行される領域に応じて一般化されることがあります。たとえば、線積分は2 つ以上の変数の関数に対して定義され、積分区間は空間内の 2 つの点を結ぶ曲線に置き換えられます。面積分では、曲線は3 次元空間内の面の一部に置き換えられます。

積分を決定できる最初の体系的な手法として文書化されたのは、古代ギリシャの天文学者エウドクソスと哲学者デモクリトス（紀元前370年頃）の網羅的方法である。これは、面積や体積を、面積や体積がわかっている無限の数の区分に分割することによって求めようとするものである。^[1]この方法は紀元前3世紀にアルキメデスによってさらに発展・採用され、円の面積、球の表面積と体積、楕円の面積、放物線の面積、回転放物面の体積、回転双曲面の体積、螺旋の面積を計算するために使用された。^[2]

同様の方法は、中国では3世紀頃に劉徽によって独自に開発され、円の面積を求めるのに使用されました。この方法は後に5世紀に中国の数学者祖崇志と祖庚の父子によって球の体積を求めるのに使用されました。^[3]

中東では、ハサン・イブン・アル・ハイサム（ラテン語表記ではアルハゼン、 965年頃 ～ 1040 年頃）が の4乗の和 の公式を導き出しました。^[4]アルハゼンは、 の任意の負でない整数値に対して、（現代の表記法では積分）で表される曲線で囲まれた面積を計算する方程式を決定しました。^[5]彼はその結果を使用して、現在では積分と呼ばれる関数を実行しました。積分の平方和と4乗の公式により、放物面の体積を計算できました。^[6]${\displaystyle y=x^{k}}$${\displaystyle \int x^{k}\,dx}$${\displaystyle k}$

積分学における次の重要な進歩は、17世紀まで現れませんでした。この頃、カヴァリエリの不可分法とフェルマーの研究により、現代の微積分学の基礎が築かれ始めました。^{[7]カヴァリエリは、}カヴァリエリの積分公式で、n = 9次までのx ⁿの積分を計算しました。^[8] n = −1の場合は、関数、双曲対数の発明が必要でしたが、これは1647年に双曲線の求積法によって達成されました。

17世紀初頭には、バローとトリチェリによってさらなる進歩が遂げられ、彼らは積分と微分の関係についての最初のヒントを提供した。バローは微積分の基本定理の最初の証明を提供した。^[9] ウォリスはカヴァリエリの方法を一般化し、負の累乗や分数の累乗を含む一般的な累乗に対するxの積分を計算した。^[10]

積分における大きな進歩は、17世紀にライプニッツとニュートンが独立に微積分の基本定理を発見したことでもたらされました。^[11]この定理は、積分と微分の関係を示しています。この関係は、微分の比較的容易なことと相まって、積分の計算に利用できます。特に、微積分の基本定理により、はるかに広範なクラスの問題を解くことができます。ライプニッツとニュートンの両者が開発した包括的な数学的枠組みも同様に重要です。無限小微積分と呼ばれるこの枠組みは、連続領域を持つ関数の正確な分析を可能にしました。この枠組みは最終的に現代の微積分となり、その積分の表記法はライプニッツの研究から直接引用されています。

ニュートンとライプニッツは積分に対する体系的なアプローチを提供したが、彼らの研究には厳密さが欠けていた。バークレー司教は、ニュートンが使用した消失増分を「消え去った量の亡霊」と呼んで印象的に攻撃した。^{[12]微積分は}極限の開発により、より確固たる基盤を獲得した。積分は、極限を用いて初めて厳密に形式化された。^[13]すべての有界区分連続関数は有界区間上でリーマン積分可能であるが、その後、特にフーリエ解析の文脈において、リーマンの定義が当てはまらないより一般的な関数が検討され、ルベーグは測度論（実解析学のサブフィールド）に基づいた積分の異なる定義を定式化した。リーマンとルベーグのアプローチを拡張した積分の他の定義が提案された。実数系に基づくこれらのアプローチは現在最も一般的なものですが、超実数系に基づく無限リーマン和の標準部分としての積分の定義など、代替のアプローチも存在します。

不定積分の表記法は、1675年にゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによって導入された。 ^[14]彼は、合計を表す文字ſ（長音のs）から積分記号∫を採用した（ſummaと書かれる。ラテン語で「合計」または「全体」）。積分記号の上下の限界を持つ定積分の現代的な表記法は、 1819年から1820年頃にジョセフ・フーリエがフランスアカデミー紀要で初めて使用し、1822年に出版された彼の著書に再録された。^[15]

アイザック・ニュートンは、積分を表すために変数の上に小さな縦棒を使ったり、変数をボックスの中に入れたりした。縦棒は、。xまたはx ′は微分を表すために使用されるが、ボックス表記は印刷業者にとって再現が困難であったため、これらの表記法は広く採用されなかった。^[16]

この用語は、1690 年にジェイコブ ベルヌーイによってラテン語で「Ergo et horum Integralia aequantur」として初めて印刷されました。^[17]

一般に、実数値関数 f ( x )の区間[ a , b ]上の実変数xに関する積分は次のように表される。

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

積分記号∫ は積分を表す。変数xの微分と呼ばれる記号dx は、積分変数がx であることを示す。関数f ( x ) は被積分関数と呼ばれ、点aとbは積分の限界（または境界）と呼ばれ、積分は区間[ a , b ]上にあると言われ、積分区間と呼ばれる。^{[18]関数は}積分可能 と言われる。定義域での積分が有限である場合。限界が指定されている場合、その積分は定積分と呼ばれます。

限界値が省略されている場合、

${\displaystyle \int f(x)\,dx,}$

この積分は不定積分と呼ばれ、その導関数が被積分関数である関数のクラス（原始積分）を表します。 ^[19]微積分学の基本定理は、定積分の評価を不定積分に関連付けます。積分の表記法には、無限領域や多次元での積分を包含する拡張がいくつかあります（この記事の後のセクションを参照）。

高度な設定では、単純なリーマン積分のみが使用されている場合や、積分の正確な種類が重要でない場合は、dxを省略することは珍しくありません。たとえば、リーマン積分とそのすべての一般化に共通する特性である積分の線形性を表現するために次のように記述することがあります。^[20]${\textstyle \int _{a}^{b}(c_{1}f+c_{2}g)=c_{1}\int _{a}^{b}f+c_{2}\int _{a}^{b}g}$

積分は、多くの実用的な状況で使用されます。たとえば、長方形で底が平らなプールの長さ、幅、深さから、プールに収容できる水の量、表面の面積、縁の長さを決定できます。しかし、楕円形で底が丸い場合は、これらの量の正確で厳密な値を見つけるために積分が必要です。いずれの場合も、求める量を無限に多くの微小な部分に分割し、それらの部分を合計して正確な近似値を得ることができます。

別の例として、関数f ( x ) = のグラフで囲まれたx = 0からx = 1までの領域の面積を求めるには、区間を 5 つの部分 ( 0、 1/5、 2/5、 ...、 1 ) に分割し、各部分の右端の高さ ( √ 0、√ 1/5、√ 2/5、 ...、√ 1 ) を使用して長方形を作成し、それらの面積を合計して近似値を取得します。 ${\textstyle {\sqrt {x}}}$

${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0.7497,}$

これは正確な値よりも大きい。あるいは、これらの部分区間を各ピースの左端の高さで置き換えると、近似値が低くなりすぎます。このような部分区間が 12 個ある場合、近似面積は 0.6203 にしかなりません。しかし、ピースの数が無限に増えると、限界に達し、それが求める面積の正確な値になります (この場合は2/3 )。次のように書きます。

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}},}$

つまり、2/3は、関数値の加重和√xに、区間[0, 1]上のdxで表される微小ステップ幅を乗じた値になります。

積分を正式に定義する方法は数多くありますが、すべてが同等というわけではありません。違いは主に、他の定義では積分できない特殊なケースに対処するために存在しますが、教育上の理由から存在する場合もあります。最もよく使用される定義は、リーマン積分とルベーグ積分です。

リーマン積分は、区間のタグ付き分割に関する関数のリーマン和によって定義される。 ^{[21]実数直線上の}閉区間[ a , b ]のタグ付き分割は有限列である。

${\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}$

これは区間[ a , b ]をiでインデックスされたn個の部分区間[ x _{i −1} , x _i ]に分割し、各部分区間には特定の点t _i ∈ [ x _{i −1} , x _i ]が「タグ付け」されます。このようなタグ付けされた分割に関する 関数fのリーマン和は次のように定義されます。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i};}$

したがって、和の各項は、高さが与えられたサブ区間の選択された点における関数値に等しく、幅がサブ区間の幅Δ _i = x _i − x _{i −1}と同じ長方形の面積である。このようなタグ付きパーティションのメッシュは、パーティションによって形成される最大のサブ区間の幅max _{i =1... n} Δ _iである。区間[ a , b ]上の関数fのリーマン積分は、次の場合Sに等しい: ^[22]

すべてに対して、メッシュが未満の任意のタグ付きパーティションに対して、${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i}\right|<\varepsilon .}$

選択されたタグが各区間における関数の最大値（それぞれ最小値）である場合、リーマン和は上側（それぞれ下側）のダルブー和となり、リーマン積分とダルブー積分の間に密接な関係があることを示唆します。

積分の下で極限に到達できることは、理論と応用の両方において興味深いことが多い。たとえば、関数の列は、適切な意味で問題の解を近似することが多い。その場合、解関数の積分は、近似の積分の極限となるはずである。しかし、極限として得られる関数の多くはリーマン積分可能ではないため、そのような極限定理はリーマン積分では成立しない。したがって、より広いクラスの関数を積分できるようにする積分の定義を持つことは、非常に重要である。^[23]

このような積分がルベーグ積分であり、積分可能な関数のクラスを拡大するために次の事実を利用している。関数の値が定義域上で並べ替えられた場合、関数の積分は同じままであるべきである。このようにアンリ・ルベーグは彼の名前を冠した積分を導入し、ポール・モンテルへの手紙の中でこの積分を次のように説明した。^[24]

私はポケットに貯めたある金額を支払わなければなりません。ポケットから紙幣と硬貨を取り出し、合計金額に達するまで、見つけた順に債権者に渡します。これがリーマン積分です。しかし、別のやり方もあります。ポケットからお金を全部取り出した後、紙幣と硬貨を同じ価値の順に並べ、次にいくつかの山を次々に債権者に支払います。これが私の積分です。

フォランドは「 fのリーマン積分を計算するには、領域[ a , b ] を部分区間に分割する」のに対し、ルベーグ積分では「事実上、fの範囲を分割している」と述べている。^[25]したがって、ルベーグ積分の定義は測度μ から始まる。最も単純なケースでは、区間A = [ a , b ]のルベーグ測度 μ ( A )はその幅b − aであるため、ルベーグ積分と（適切な）リーマン積分は両方が存在する場合に一致する。^[26]より複雑なケースでは、測定される集合は高度に断片化され、連続性がなく、区間との類似性もないことがある。

「 fの範囲を分割する」という考え方を用いると、非負関数f  : R → R の積分は、 y = tとy = t + dtの間の細い水平線の間の領域のtにわたる合計になるはずです。この領域は、ちょうどμ { x  : f ( x ) > t }  dtです。 f ^∗ ( t ) = μ { x  : f ( x ) > t }とします。すると、 fのルベーグ積分は次のように定義されます 。

${\displaystyle \int f=\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt}$

ここで、右辺の積分は通常の不定リーマン積分である（f ^∗は正に減少する関数なので、不定リーマン積分は明確に定義されている）。^{[27]適切な関数のクラス（}測定可能な関数）に対して、これはルベーグ積分を定義する。

一般的な測定可能な関数fは、 fのグラフとx軸の間の領域の面積の絶対値の合計が有限であるとき、ルベーグ積分可能である：^[28]

${\displaystyle \int _{E}|f|\,d\mu <+\infty .}$

その場合、積分はリーマンの場合と同様に、 x軸上の面積とx軸下の面積の差となる。^[29]

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu }$

どこ

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&f^{+}(x)&&{}={}\max\{f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}f(x),&{\text{if }}f(x)>0,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{\text{if }}f(x)<0,\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{alignedat}}}$

リーマン積分とルベーグ積分は最も広く使われている積分の定義ですが、他にも次のような定義が存在します。

• ダルブー積分は、ダルブー和（制限されたリーマン和）によって定義されますが、リーマン積分と同等です。関数がダルブー積分可能であるのは、リーマン積分可能である場合のみです。ダルブー積分は、リーマン積分よりも定義しやすいという利点があります。
• リーマン・スティルチェス積分は、変数ではなく関数に関して積分するリーマン積分の拡張です。
• ルベーグ-スティルチェス積分は、ヨハン・ラドンによってさらに発展し、リーマン-スティルチェス積分とルベーグ積分の両方を一般化します。
• ダニエル積分は、測度に依存せずにルベーグ積分とルベーグ・スティルチェス積分を包含します。
• ハール積分は、局所コンパクト位相群上の積分に使用され、 1933 年にアルフレッド ハールによって導入されました。
• ヘンストック・カーツワイル積分は、アルノー・デンジョイ、オスカー・ペロン、ヤロスラフ・カーツワイル（最も簡潔な定義としてはゲージ積分）によって様々に定義され、ラルフ・ヘンストックによって発展させられました。
• ヒンチン積分は、アレクサンドル・ヒンチンにちなんで名付けられました。
• 伊藤積分とストラトノビッチ積分は、ブラウン運動などの半マルチンゲールに関する積分を定義します。
• ヤング積分は、特定の無限変分関数に関するリーマン・スティルチェス積分の一種です。
• 粗い経路積分は、追加の「粗い経路」構造を備えた関数に対して定義され、半マルチンゲールと分数ブラウン運動などのプロセスの両方に対して確率積分を一般化します。
• ショケ積分は、1953 年にフランスの数学者ギュスターヴ・ショケによって考案された、部分加法積分または超加法積分です。
• ボホナー積分は、バナッハ空間に値を取る関数に対するルベーグ積分の一般化です。

閉区間[ a , b ]上のリーマン積分可能関数の集合は、点ごとの加算とスカラー による乗算、および積分演算の下でベクトル空間を形成する。

${\displaystyle f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\;dx}$

はこのベクトル空間上の線型関数である。したがって、積分可能な関数の集合は線型結合をとれば閉じており、線型結合の積分は積分の線型結合である: ^[30]

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,}$

同様に、測度μを持つ与えられた測度空間E上の実数値ルベーグ積分可能関数の集合は線型結合をとることで閉じており、したがってベクトル空間を形成し、ルベーグ積分

${\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu }$

はこのベクトル空間上の線型関数なので、次のようになる。^[29]

${\displaystyle \int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .}$

より一般的には、局所コンパクト位相体K、f  : E → V上の局所コンパクト完備位相ベクトル空間Vに値をとる測度空間( E、μ )上のすべての測定可能な関数のベクトル空間を考えます。すると、各関数fにVの元または記号∞を割り当てる抽象的な積分写像を定義できます。

${\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu ,\,}$

は線型結合と互換性がある。^{[31]この状況では、積分が}Vの元（つまり「有限」）である関数の部分空間に対して線型性が成り立つ。最も重要な特殊なケースは、KがR、C、またはp進数体Qpの有限拡大であり、VがK上の有限次元_ベクトル空間であり、 K = Cであり、Vが複素ヒルベルト空間である場合に生じる。

線形性は、ある種の「単純な」関数に対するいくつかの自然な連続性および正規化とともに、積分の別の定義を与えるために使用できます。これは、集合X上の実数値関数の場合のDaniellのアプローチであり、Nicolas Bourbakiによって局所的にコンパクトな位相ベクトル空間内の値を持つ関数に一般化されました。積分の公理的な特徴付けについては、Hildebrandt 1953 を参照してください。

閉じた有界区間[ a , b ]上で定義されるリーマン積分可能関数に対して、いくつかの一般的な不等式が成り立ち、他の積分概念（ルベーグとダニエル）に一般化することができます。

• 上限と下限。積分可能な関数f が[ a , b ]上にある場合、その区間で必ず有界になります。したがって、実数 mとMが存在し、[ a , b ]内のすべてのxに対してm ≤ f  ( x ) ≤ M が成立します。したがって、 fの[ a , b ]上の下限と上限の合計はそれぞれm ( b − a )とM ( b − a )で有界となるため、次の式が成り立ちます。$${\displaystyle m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a).}$$
• 関数間の不等式。^[32] [ a , b ]内の各xについてf ( x ) ≤ g ( x )であれば、 fの上限と下限の和はそれぞれgの上限と下限の和によって上方に制限されます。したがって、これは上記の不等式の一般化であり、M ( b − a ) は値Mを持つ定数関数の[ a , b ]上の積分です。さらに、関数間の不等式が厳密であれば、積分間の不等式も厳密です。つまり、[ a , b ]内の各xについてf ( x ) < g ( x ) であれば、$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx<\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$
• 部分区間。[ c , d ]が[ a , b ]の部分区間であり、f  ( x )がすべてのxに対して非負であるならば、$${\displaystyle \int _{c}^{d}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$
• 関数の積と絶対値。fとgが 2 つの関数である場合、それらの点ごとの積とべき乗、および絶対値を検討できます。fが[ a、b ]上でリーマン積分可能である場合、 | f |についても同じことが言えます。また、fとg が両方ともリーマン積分可能である場合、 fgもリーマン積分可能であり、この不等式はコーシー・シュワルツの不等式として知られ、ヒルベルト空間理論で重要な役割を果たします。ヒルベルト空間理論では、左辺が区間[ a、b ]上の2 つの平方積分可能な関数fとgの内積として解釈されます。$${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x),\;f^{2}(x)=(f(x))^{2},\;|f|(x)=|f(x)|.}$$$${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx.}$$$${\displaystyle \left(\int _{a}^{b}(fg)(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right).}$$
• ホルダーの不等式。^[33] pとqが2つの実数で、1 ≤ p、q ≤ ∞であり、⁠1/p⁠ + ⁠1/q⁠ = 1 であり、 fとg は2つのリーマン積分可能関数です。このとき、関数| f | ^pと| g | ^qも積分可能であり、次のヘルダーの不等式が成り立ちます。 p = q = 2の場合、ヘルダーの不等式はコーシー・シュワルツの不等式になります。$${\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}.}$$
• ミンコフスキーの不等式。^[33] p ≥ 1が実数で、fとgがリーマン積分関数であるとする。このとき、 | f | ^p、| g | ^p 、| f + g | ^p もリーマン積分可能となり、次のミンコフスキーの不等式が成り立つ。ルベーグ積分に対するこの不等式の類似は、L ^p空間の構築に用いられる。$${\displaystyle \left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}.}$$

この節では、fは実数値リーマン積分可能関数である。積分

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

区間[ a , b ]上の積分は、 a < bのとき定義される。これは、関数fの上限と下限の和が、値x _iが増加するa = x ₀ ≤ x ₁ ≤ . . . ≤ x _n = bの分割で評価されることを意味する。幾何学的には、積分は「左から右」に行われ、区間[ x _i  , x _{i  +1} ]内でf を評価する。ここで、より高いインデックスの区間は、より低いインデックスの区間の右側にある。区間の端点である値aとb は、 fの積分の極限と呼ばれる。積分は、 a > b のときも定義できる。^[18]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx.}$

a = bの場合、次のようになります。

${\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,dx=0.}$

最初の規則は、 [ a , b ]の部分区間で積分を行う場合に必要である。2 番目は、退化した区間、つまり点で積分した場合、積分はゼロになる必要があるとしている。最初の規則が適用される理由の 1 つは、区間[ a , b ]でfが積分可能であるということは、任意の部分区間[ c , d ]でfが積分可能であることを意味するが、特に積分には、c が[ a , b ]の任意の要素である場合、次の性質があるという点である。^[30]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.}$

最初の慣例によれば、結果として得られる関係は

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{c}f(x)\,dx&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{c}^{b}f(x)\,dx\\&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

は、 a、b、cの任意の巡回順列に対して明確に定義されます。

微積分学の基本定理は、微分と積分は逆の操作であるという主張である。つまり、連続関数を最初に積分し、次に微分すると、元の関数が回復される。^[34]微積分学の第二基本定理と呼ばれることもある重要な帰結は、積分する関数の原始微分を使って積分を計算できることである。^[35]

f を閉区間 [ a , b ]上で定義される連続実数値関数とする。Fを[ a , b ]内のすべてのxに対して^[36]で定義される関数とする。

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$

このとき、Fは[ a , b ]上で連続であり、開区間( a , b )上で微分可能であり、

${\displaystyle F'(x)=f(x)}$

( a , b )内のすべてのxについて。

f を閉区間[ a , b ] 上で定義され、 [ a , b ]上で不定積分 F を許容する実数値関数とする。つまり、fとFは[ a , b ]内の任意のxに対して、

${\displaystyle f(x)=F'(x).}$

fが[ a , b ]上で積分可能な場合、

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

「適切な」リーマン積分は、積分関数が積分の限界で囲まれた閉じた有界区間上で定義され有限であると仮定します。不適切な積分は、これらの条件の 1 つ以上が満たされない場合に発生します。場合によっては、このような積分は、徐々に大きくなる区間での 適切なリーマン積分のシーケンスの限界を考慮することによって定義されることがあります。

区間が例えば上限で無限大である場合、その端点が無限大に向かうにつれて、不定積分はその極限となる。^[37]

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

積分関数が半開区間（例えば（a、b ]））上でのみ定義または有限である場合、再び極限は有限の結果をもたらす可能性がある：^[38]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{a+\epsilon }^{b}f(x)\,dx.}$

つまり、不定積分は、積分区間の一方の端点が指定された実数、または∞、または−∞に近づくときの、正しい積分の極限です。より複雑なケースでは、両端点または内部点で極限が必要になります。

1変数の正関数の定積分が関数のグラフとx軸の間の領域の面積を表すのと同様に、 2変数の正関数の二重積分は、関数によって定義される表面とその定義域を含む平面との間の領域の体積を表す。 ^[39]たとえば、2次元の関数は2つの実変数xとyに依存し、 2つの区間の直積として与えられた長方形R上の関数fの積分は次のように表される。 ${\displaystyle R=[a,b]\times [c,d]}$

${\displaystyle \int _{R}f(x,y)\,dA}$

ここで、微分dAは積分が面積に関して取られていることを示す。この二重積分はリーマン和を用いて定義することができ、領域R上のz = f ( x , y )のグラフの下の（符号付き）体積を表す。^[40]適切な条件下（例えば、fが連続している場合）、フビニの定理によれば、この積分は等価な反復積分として表すことができる^[41]。

${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right]\,dx.}$

これにより、二重積分を計算する問題が1次元積分の計算に軽減される。このため、R上の積分の別の表記では二重積分記号を使用する: ^[40]

${\displaystyle \iint _{R}f(x,y)\,dA.}$

より一般的な領域での積分も可能です。関数fの体積に関する積分は、n次元領域D上で次のような記号で表されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{D}f(\mathbf {x} )d^{n}\mathbf {x} \ =\int _{D}f\,dV.}$

積分の概念は、高次元空間内の曲線や曲面など、より一般的な積分領域に拡張できます。このような積分は、それぞれ線積分と面積分として知られています。これらは、ベクトル場を扱う場合など、物理学において重要な用途があります。

線積分（経路積分と呼ばれることもある）は積分する関数が曲線に沿って評価される積分である。^{[42]様々な異なる線積分が使用されている。閉曲線の場合は、}輪郭積分とも呼ばれる。

積分される関数は、スカラー場またはベクトル場である。線積分の値は、曲線上のすべての点における場の値の合計であり、曲線上の何らかのスカラー関数（通常は弧の長さ、またはベクトル場の場合はベクトル場と曲線内の微分ベクトルのスカラー積）によって重み付けされている。 ^[43]この重み付けにより、線積分は、区間で定義されるより単純な積分と区別される。物理学における多くの単純な式は、線積分という自然な連続類似物を持つ。たとえば、仕事は力Fに変位sを掛けたものに等しいという事実は、（ベクトル量で）次のように表現できる。^[44]

${\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} .}$

電場や重力場などのベクトル場F内の経路Cに沿って移動する物体の場合、その場が物体に対して行う全仕事は、sからs + d sへの移動で行われる微分仕事を合計することで得られる。これにより線積分が得られる^[45]

${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} .}$

面積分は、二重積分を面（空間内の曲面集合でもよい）上の積分に一般化したものである。これは線積分の二重積分版と考えることができる。積分される関数は、スカラー場またはベクトル場である。面積分値は、面上のすべての点における場の合計である。これは、面をリーマン和の分割を提供する面要素に分割することによって達成できる。^[46]

面積分の応用例として、面S上のベクトル場v を考えてみましょう。つまり、S内の各点xに対して、v ( x )はベクトルです。流体がSを流れ、v ( x ) がxにおける流体の速度を決定するとします。フラックスは、単位時間にSを流れる流体の量として定義されます。フラックスを求めるには、各点でvとSに垂直な単位面のドット積を取る必要があります。これにより、表面上で積分されたスカラー場が得られます。^[47]

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }.}$

この例の流体フラックスは、水や空気などの物理的な流体、または電気や磁気のフラックスから来ている可能性があります。したがって、表面積分は物理学、特に古典的な電磁気学の理論に応用されています。

複素解析では、積分関数は実変数xの実関数ではなく、複素変数zの複素数値関数です。複素関数を複素平面上の曲線に沿って積分すると、積分は次のように表されます 。${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz.}$

これは輪郭積分として知られています。

微分形式は、多変数微分積分、微分位相幾何学、テンソルの分野における数学的概念です。微分形式は次数によって分類されます。たとえば、1 形式は次のような座標の微分の加重和です。

${\displaystyle E(x,y,z)\,dx+F(x,y,z)\,dy+G(x,y,z)\,dz}$

ここで、E、F、Gは 3 次元の関数です。微分 1 形式は有向パス上で積分することができ、その結果得られる積分は線積分の別の書き方です。ここで、基本微分dx、dy、dz は、3 つの座標軸に平行な無限小の有向長さを測定します。

微分2形式は、次の形式の和である。

${\displaystyle G(x,y,z)\,dx\wedge dy+E(x,y,z)\,dy\wedge dz+F(x,y,z)\,dz\wedge dx.}$

ここで、基本的な 2 形式は、座標 2 平面に平行な配向領域を測定します。 記号はくさび積を表します。これは、配向された長さを表す 2 つの形式のくさび積が配向された領域を表すという意味で、外積に似ています。 2 形式は配向された表面上で積分することができ、結果として得られる積分は のフラックスを与える面積分に相当します。 ${\displaystyle dx\wedge dy,dz\wedge dx,dy\wedge dz}$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle E\mathbf {i} +F\mathbf {j} +G\mathbf {k} }$

外積や 3 次元ベクトル解析とは異なり、ウェッジ積と微分形式の解析は、任意の次元およびより一般的な多様体 (曲線、曲面、およびそれらの高次元類似体) で意味を持ちます。外微分はベクトル解析の勾配と回転の役割を果たし、ストークスの定理は、ベクトル解析の 3 つの定理、発散定理、グリーンの定理、およびケルビン-ストークスの定理を同時に一般化します。

積分の離散的な同等物は和です。和と積分は、ルベーグ積分または時間スケール計算の理論を使用して同じ基礎に置くことができます。

変数（または物理学では空間次元や時間次元）ではなく関数の空間上で実行される積分は、関数積分と呼ばれます。

積分は多くの分野で広く使用されています。たとえば、確率論では、積分は、あるランダム変数が特定の範囲内に収まる確率を決定するために使用されます。^{[48]さらに、}確率密度関数全体の積分は1に等しくなければならないため、負の値を持たない関数が密度関数であるかどうかをテストできます。 ^[49]

積分は、曲線の境界を持つ2次元領域の面積を計算するのにも、曲線の境界を持つ3次元オブジェクトの体積を計算するのにも使用できます。2次元領域の面積は、前述の定積分を使用して計算できます。^[50]円盤やワッシャーなどの3次元オブジェクトの体積は、円柱の体積の方程式（ は半径）を使用して円盤積分によって計算できます。 x軸を中心に曲線を回転させて作成した単純な円盤の場合、半径はf ( x )で与えられ、高さは微分dxです。境界aとb を持つ積分を使用すると、円盤の体積は次の式に等しくなります。^{[51]積分は、物理学、}運動学などの分野でも使用され、変位、時間、速度などの量を求めます。たとえば、直線運動では、時間間隔 にわたるオブジェクトの変位は次のように表されます。 ${\displaystyle \pi r^{2}h}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx.}$$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle x(b)-x(a)=\int _{a}^{b}v(t)\,dt,}$

ここで速度は時間の関数として表される。^[52]力（位置の関数として与えられる）によって初期位置から最終位置まで行われた仕事は：^[53]${\displaystyle v(t)}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle W_{A\rightarrow B}=\int _{A}^{B}F(x)\,dx.}$

積分は熱力学でも使用され、熱力学的積分は2 つの特定の状態間の自由エネルギーの差を計算するために使用されます。

1つの実変数の定積分を計算する最も基本的な手法は、微積分の基本定理に基づいています。f ( x ) を、与えられた区間[ a , b ]で積分されるxの関数とします。次に、 fの原始微分、つまり区間上でF ′ = fとなる関数F を見つけます。積分関数と積分が積分経路上で 特異点を持たないと仮定すると、微積分の基本定理により、

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

積分を評価するために開発された多くの手法の 1 つを使用する必要がある場合があります。これらの手法のほとんどは、1 つの積分を、より扱いやすい別の積分に書き換えます。手法には、置換による積分、部分積分、三角置換による積分、部分分数による積分などがあります。

より複雑な積分を計算するための代替方法も存在します。多くの非初等積分は、テイラー級数に展開して、項ごとに積分することができます。場合によっては、結果として得られる無限級数を解析的に合計することができます。被積分関数がMeijer G関数の積として記述できると仮定すると、Meijer G 関数を使用した畳み込み法も使用できます。定積分を計算するあまり一般的ではない方法も多数あります。たとえば、パーセバルの恒等式を使用して、長方形領域上の積分を無限和に変換できます。場合によっては、積分をトリックで評価できます。この例については、ガウス積分を参照してください。

回転体の体積の計算は、通常、ディスク積分またはシェル積分を使用して行うことができます。

さまざまな手法で導き出された特定の結果は、積分のリストにまとめられています。

数学、物理学、工学の多くの問題には積分が関係しており、積分の明示的な式が求められます。この目的のために、積分の広範な表が長年にわたってまとめられ、公開されてきました。コンピュータの普及により、多くの専門家、教育者、学生が、積分などの困難または面倒なタスクを実行するために特別に設計されたコンピュータ代数システムに目を向けるようになりました。記号積分は、 MacsymaやMapleなどの最初のシステムの開発の動機の 1 つでした。

記号積分における主な数学的困難は、多くの場合、比較的単純な関数には、有理関数と指数関数、対数、三角関数と逆三角関数、および乗算と合成の演算を含む基本関数のみを含む閉じた形式で表現できる積分がないことです。 Risch アルゴリズムは、基本関数の原始積分が基本であるかどうかを決定し、基本である場合に積分を計算するための一般的な基準を提供します。 ただし、原始積分の閉じた表現を持つ関数は例外であり、その結果、コンピューター化された代数システムは、ランダムに構築された基本関数の原始積分を見つけることができるとは期待できません。 プラス面としては、原始積分の「ビルディング ブロック」が事前に固定されている場合、特定の関数の原始積分がこれらのブロックと乗算と合成の演算を使用して表現できるかどうかを判断し、存在する場合は常に記号的な答えを見つけることが依然として可能である可能性があります。Mathematica、Maple、その他のコンピュータ代数システムに実装されている Risch アルゴリズムは、有理関数、根号、対数、指数関数 から構築された関数と不定積分に対してまさにそのことを行います。

いくつかの特殊な積分関数は、特別な研究を必要とするほど頻繁に発生します。特に、原始微分のセットに特殊関数（ルジャンドル関数、超幾何関数、ガンマ関数、不完全ガンマ関数など）があると便利な場合があります。Risch のアルゴリズムを拡張してこのような関数を含めることは可能ですが、困難であり、活発な研究対象となっています。

最近では、多項式係数を持つ線型微分方程式の解であるD有限関数を使用する新しいアプローチが登場しました。基本関数と特殊関数のほとんどはD有限であり、 D有限関数の積分もD有限関数です。これにより、 D有限関数の原始積分を微分方程式の解として表すアルゴリズムが提供されます。この理論により、 D関数の定積分を最初の係数によって与えられる級数の和として計算することもでき、任意の係数を計算するアルゴリズムが提供されます。

ルールベースの積分システムは積分を容易にする。コンピュータ代数システムのルールベースの積分器であるRubiは、記号積分ルールの広範なシステムをパターンマッチングして、さまざまな積分対象を積分する。このシステムは、積分を計算するために6600を超える積分ルールを使用する。^[54]括弧法は 、ラマヌジャンのマスター定理を一般化したもので、幅広い一変量および多変量積分に適用できる。積分対象をべき級数展開した係数と指数項に一連のルールを適用して積分を決定する。この方法はメリン変換と密接に関連している。^[55]

定積分は、いくつかの数値積分法を使って近似できる。長方形法では、関数の下の領域を関数値に対応する一連の長方形に分割し、ステップ幅を掛けて和を求める。よりよいアプローチである台形法では、リーマン和で使用される長方形を台形に置き換える。台形法では、最初と最後の値に半分の重みを付け、ステップ幅を掛けてよりよい近似値を求める。^[56]台形法の背後にある、関数をより正確に近似すれば積分もよりよく近似できるという考え方をさらに推し進めることができる。シンプソンの定理は、被積分関数を区分的二次関数で近似する。^[57]

リーマン和、台形則、シンプソン則は、ニュートン・コーツ公式と呼ばれる求積法則の族の例である。n次ニュートン・コーツ求積法は、各部分区間上の多項式をn次多項式で近似する。この多項式は、区間上の関数の値を補間するために選択される。^{[58]高次のニュートン・コーツ近似はより正確である可能性があるが、より多くの関数評価が必要となり、}ルンゲ現象による数値的不正確さの影響を受ける可能性がある。この問題の解決策の1つは、チェビシェフ多項式で展開することによって積分関数を近似するクレンショウ・カーティス求積法である。

ロムバーグ法は、ステップ幅を段階的に半分にしていき、T ( h ₀ )、T ( h ₁ )などで表される台形近似値を与える。ここで、h _{k +1は}h _kの半分である。新しいステップサイズごとに、新しい関数値の半分だけを計算する必要があり、残りは前のサイズから持ち越される。次に、近似値を介して多項式を補間し、T (0)に外挿する。ガウス積分法は、一連の直交多項式の根で関数を評価する。^[59] n点ガウス法は、 2 n − 1 次までの多項式に対して正確である。

高次元積分の計算（例えば体積計算）ではモンテカルロ積分などの代替法が重要になります。^[60]

任意の 2 次元形状の面積は、プラニメータと呼ばれる測定機器を使用して測定できます。不規則な物体の体積は、物体を水中に沈めた際に 移動する流体によって正確に測定できます。

面積は、等価な正方形をコンパスと定規で幾何 学的に作図することで求められることがあります。

ケンプ、ジャクソン、モラレスは、積分を微分によって計算できる数学的関係を実証した。彼らの計算にはディラックのデルタ関数と偏微分演算子が含まれている。これは関数積分にも適用でき、関数微分によって計算できる。^[61]${\displaystyle \partial _{x}}$

微積分の基本定理により、基本的な関数の簡単な計算が可能になります。

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(x)\,dx=-\cos(x){\big |}_{x=0}^{x=\pi }=-\cos(\pi )-{\big (}-\cos(0){\big )}=2.}$

• 積分方程式 – 積分記号の下に未知の関数がある方程式
• 積分記号 – 積分と不定積分を表すために使用される数学記号
• 積分のリスト

• 「積分」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• オンライン積分計算機、Wolfram Alpha。

• Keisler, H. Jerome、初等微積分学：無限小数点を用いたアプローチ、ウィスコンシン大学
• ストロヤン、KD、微分積分学の簡単な入門、アイオワ大学
• マウチ、ショーン、ショーンの応用数学の本、CIT、微積分の完全な入門を含むオンライン教科書
• クロウェル、ベンジャミン、微積分学、フラートン大学、オンライン教科書
• ギャレット、ポール、初年度の微積分学に関するノート
• フセイン、ファラズ、微積分を理解する、オンライン教科書
• ジョンソン、ウィリアム・ウールジー (1909)「積分学初等論文」、HathiTrustからのリンク。
• Kowalk, WP、統合理論、オルデンブルク大学。古い問題に対する新しい概念。オンライン教科書
• スローター、ダン、差分方程式から微分方程式へ、微積分入門
• Holistic Numerical Methods Instituteにおける積分の数値手法
• PS Wang、定積分の記号操作による評価（1972）—定積分技法のレシピ集