暗黙的な関数

数学において、暗黙の方程式とは、 Rが複数の変数（多くの場合多項式）の関数である形式の関係である。例えば、単位円の暗黙の方程式は、${\displaystyle R(x_{1},\dots ,x_{n})=0,}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0.}$

暗黙関数は、関数の値として考えられる変数の1つと、引数として考えられる他の変数を関連付ける暗黙の方程式によって定義される関数です。^{[1] ：204〜206}たとえば、単位円の方程式は、 -1 ≤ x ≤ 1の場合にyをxの暗黙の関数として定義し、yは非負の値に制限されます。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$

陰関数定理は、ある種の陰方程式が陰関数、つまり連続的に微分可能なゼロ多変数関数に等しくすることによって得られる関数を定義する条件を提供します。

一般的な暗黙関数は逆関数です。すべての関数が一意の逆関数を持つわけではありません。gが一意の逆関数を持つ xの関数である場合、 gの逆関数g ⁻¹は、方程式の 解を与える一意の関数です。

${\displaystyle y=g(x)}$

xをyについて表すと、この解は次のように表される。

${\displaystyle x=g^{-1}(y)\,.}$

g ^{−1 を}gの逆関数として定義することは暗黙の定義です。いくつかの関数gでは、g ⁻¹ ( y ) は閉じた形式の式として明示的に書き出すことができます。たとえば、g ( x ) = 2 x − 1の場合、g ⁻¹ ( y ) = ⁠1/2⁠ ( y + 1)ただし、これは多くの場合不可能であり、新しい表記法を導入することによってのみ実現できます (以下の積対数の例のように)。

直感的には、従属変数と独立変数の役割を交換することで、 gから逆関数が得られます。

例:積logは、方程式y − xe ^x = 0のxの解を与える暗黙の関数です。

代数関数は、係数自体が多項式である多項式方程式を満たす関数です。たとえば、1つの変数xの代数関数は、方程式の yの解を与えます。

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,,}$

ここで、係数a _i ( x )はxの多項式関数です。この代数関数は、解方程式y = f ( x )の右辺として表すことができます。このように記述すると、 f は多値暗黙関数になります。

代数関数は数学的解析と代数幾何学において重要な役割を果たします。代数関数の簡単な例は、単位円方程式の左辺に示されています。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0\,.}$

yを解くと明示的な解が得られます。

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.}$

しかし、この明示的な解を指定しなくても、単位円方程式の暗黙的な解をy = f ( x )として参照することができます。ここで、fは多値暗黙関数です。

yの2次、3次、4次の方程式については明示的な解が見つかるが、 5次以上の高次方程式については一般に同じことは当てはまらない。例えば、

${\displaystyle y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0\,.}$

それでも、多値暗黙関数f を含む暗黙の解y = f ( x )を参照することはできます。

すべての方程式R ( x , y ) = 0 が一価関数のグラフを意味するわけではありませんが、円方程式は 1 つの顕著な例です。別の例としては、x − C ( y ) = 0で示される暗黙関数があります。ここで、C はグラフに「こぶ」を持つ3 次多項式です。したがって、暗黙関数を真の(一価) 関数にするには、グラフの一部だけを使用する必要がある場合があります。暗黙関数は、 x軸の一部を「ズームイン」し、不要な関数の分岐を「切り取った」後でのみ、真の関数として正常に定義できる場合があります。その後、 y を他の変数の暗黙関数として 表す方程式を作成できます。

定義方程式R ( x , y ) = 0 には、他の異常も考えられます。たとえば、方程式x = 0は、 yの解を与える関数f ( x )をまったく意味しません。これは垂直線です。このような問題を回避するために、許容される方程式の種類やドメインにさまざまな制約が課されることがよくあります。暗黙関数定理は、これらの種類の異常を処理するための統一的な方法を提供します。

微積分学では、暗黙的微分と呼ばれる方法で連鎖律を利用して暗黙的に定義された関数を微分します。

方程式R ( x , y ) = 0で定義される暗黙関数y ( x )を微分する場合、それをyについて明示的に解いてから微分することは一般には不可能です。代わりに、R ( x , y ) = 0 をxとyについて完全に微分し、その結果得られる線形方程式を解くことができます。 ダイ/dx⁠ はxとyに関して明示的に導関数を取得します。元の方程式を明示的に解くことができる場合でも、一般に、全微分から得られる式の方がはるかに単純で使いやすいです。

考慮する

${\displaystyle y+x+5=0\,.}$

この方程式はyについて簡単に解くことができ、

${\displaystyle y=-x-5\,,}$

ここで右辺は関数y ( x )の明示的な形です。微分すると次のようになります。ダイ/dx⁠ = −1 です。

あるいは、元の方程式を完全に微分することもできます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\[6px]{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}}$

を解く⁠ダイ/dx⁠与える

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-1\,,}$

以前得られた答えと同じ答えです。

明示的な微分よりも暗黙的な微分の方が簡単な暗黙関数の例としては、次式で定義される 関数y ( x )がある。

${\displaystyle x^{4}+2y^{2}=8\,.}$

これをxに関して明示的に微分するには、まず

${\displaystyle y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,}$

次にこの関数を微分します。これにより、y ≥ 0とy < 0の 2 つの導関数が作成されます。

元の方程式を暗黙的に微分する方がはるかに簡単です。

${\displaystyle 4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,}$

与える

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.}$

多くの場合、 y を明示的に解くのは困難または不可能であり、暗黙の微分が唯一の実行可能な微分方法です。例として、次の式があります。

${\displaystyle y^{5}-y=x\,.}$

y をxの関数として明示的に代数的に表現する ことは不可能であるため、⁠ダイ/dx⁠明示的な微分法で。暗黙的な方法を使用すると、 ⁠ダイ/dx⁠ は方程式を微分して得ることができる。

${\displaystyle 5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,}$

どこ⁠dx/dx⁠ = 1。因数分解すると⁠ダイ/dx⁠は

${\displaystyle \left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,}$

その結果は

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,}$

これは次のように定義されます

${\displaystyle y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}\quad {\text{and}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt[{4}]{5}}}\,.}$

R ( x , y ) = 0の場合、暗黙関数y ( x )の導関数は^[2]で与えられる^{: §11.5}

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,}$

ここで、R _xとR _{y は}、Rのxとyに関する偏微分を表します。

上記の式は、一般化された連鎖律を使用して、 R ( x , y ) = 0の両辺のxに関する全微分を求めることによって得られます。

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}$

したがって

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}$

これを解くと、ダイ/dx⁠、上記の式が得られます。

R ( x , y )を2変数の微分可能関数とし、( a , b ) をR ( a , b ) = 0となる実数のペアとします。もし、∂R​/∂yの⁠ ≠ 0の場合、 R ( x , y ) = 0 は、 ( a , b )の十分に小さい近傍で微分可能な暗黙の関数を定義します。言い換えると、 aの近傍で定義され微分可能な微分可能関数fが存在し、この近傍のxに対してR ( x , f ( x )) = 0 となります。

条件⁠∂R​/∂yの⁠ ≠ 0 は、 ( a、b ) が、接線が垂直ではない暗黙方程式R ( x、y ) = 0の暗黙曲線の正規点であることを意味します。

あまり技術的でない言葉で言えば、曲線が垂直でない接線を持つ場合、暗黙の関数が存在し、微分化することができる。^{[2] ：§11.5}

R ( x ₁ , …, x _n ) = 0 という形式の関係を考えます。ここで、Rは多変数多項式です。この関係を満たす変数の値の集合は、 n = 2の場合は暗黙の曲線、n = 3の場合は暗黙の面と呼ばれます。暗黙の方程式は代数幾何学の基礎であり、代数幾何学の基本的な研究対象は、左辺が多項式である複数の暗黙の方程式の同時解です。これらの同時解の集合は、アフィン代数集合と呼ばれます。

微分方程式の解は一般に暗黙の関数で表現される。^[3]

経済学では、レベルセットR（x、y）= 0が2つの財の消費量xとyの無差別曲線である場合、暗黙の導関数の絶対値はダイ/dx⁠ は、 2つの財の限界代替率として解釈されます。つまり、 xの1単位の損失に無関心になるためには、  yをどれだけ多く受け取る必要があるかということです。

同様に、レベルセットR ( L , K )は、労働利用量Lと物的資本Kのさまざまな組み合わせを示す等量線であり、それぞれが何らかの財の同じ量の生産をもたらす。この場合、暗黙の導関数の絶対値はdK/dL⁠ は、 2 つの生産要素間の技術的代替の限界率として解釈されます。つまり、企業が 1 単位少ない労働で同じ量の生産物を生産するために、どれだけ多くの資本を使用しなければならないかということです。

経済理論では、目的関数が特定の関数形式に制限されていない場合でも、選択ベクトルxに関して効用関数や利益関数などの関数を最大化することがよく行われます。暗黙関数定理は、最適化の一次条件が選択ベクトルxの最適ベクトルx *の各要素に対して暗黙関数を定義することを保証します。利益が最大化されている場合、結果として得られる暗黙関数は通常、労働需要関数とさまざまな商品の供給関数です。効用が最大化されている場合、結果として得られる暗黙関数は通常、労働供給関数とさまざまな商品の需要関数です。

さらに、問題のパラメータがx *に与える影響（暗黙関数の偏導関数）は、全微分法を使用して求められる一次条件系の全導関数として表現できます。

• Binmore, KG (1983) 「暗黙関数」微積分学ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局 pp. 198–211. ISBN 0-521-28952-1。
• ルディン、ウォルター(1976)。『数学的解析の原理』ボストン：マグロウヒル、 pp . 223–228。ISBN 0-07-054235-X。
• Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (1994) 「暗黙関数とその導関数」経済学者のための数学ニューヨーク: WW Norton pp. 334–371 ISBN 0-393-95733-0。

• Ghostarchive と Wayback Machine にアーカイブされています: 「暗黙の微分化、ここで何が起こっているのか?」3Blue1Brown . 微積分のエッセンス。2017 年 5 月 3 日 – YouTube経由。