デジタルジオメトリ

デジタル幾何学は、2次元または3次元ユークリッド空間のオブジェクトのデジタル化されたモデルまたは画像とみなされる離散集合（通常は離散点集合）を扱います。簡単に言えば、デジタル化とは、オブジェクトをその点の離散集合に置き換えることです。テレビ画面、コンピュータのラスターディスプレイ、新聞などで目にする画像は、実際にはデジタル画像です。

その主な応用分野は、コンピュータグラフィックスと画像解析である。

研究の主な内容は以下のとおりです。

• 物体のデジタル表現を構築する。精度と効率性を重視して（合成による方法（例えば、ブレゼンハムの線アルゴリズムやデジタルディスクを参照）、またはデジタル画像のデジタル化とその後の処理による方法のいずれか）。
• デジタル集合の性質の研究。例えば、ピックの定理、デジタル凸性、デジタル直線性、デジタル平面性などを参照。
• オブジェクトのデジタル表現を、例えば (A)画像のデジタルトポロジーが変化しないように単純な点を繰り返し除去することによって (i) 骨格などの単純化された形状、または (ii) 与えられたデジタル化されたオブジェクト表現の距離変換における局所最大値を計算することによってメディアル軸などの単純化された形状に変換する、または (B)数学的形態学を使用して修正された形状に変換する。
• デジタル画像から「実物」の物体、あるいはその特性（面積、長さ、曲率、体積、表面積など）を再構築する。
• デジタル曲線、デジタル曲面、デジタル多様体の研究。
• デジタルオブジェクトの追跡アルゴリズムを設計する。
• デジタル空間上で機能する。
• 曲線スケッチとは、ピクセル単位で曲線を描画する方法です。

デジタル幾何学は離散幾何学と大きく重なり合っており、その一部とみなすこともできる。

2Dデジタル空間とは、通常、2Dユークリッド空間内の整数点のみを含む2Dグリッド空間を指します。2D画像は、2Dデジタル空間上の関数です（画像処理を参照）。

ローゼンフェルドとカクの著書では、デジタル接続性とは、デジタル空間内の要素間の関係として定義されています。例えば、2Dにおける4接続性や8接続性などです。ピクセル接続性も参照してください。デジタル空間とその（デジタル）接続性によって、デジタルトポロジーが決定されます。

デジタル空間においては、デジタル連続関数（A. Rosenfeld、1986）と漸進変化関数（L. Chen、1989）がそれぞれ独立に提案された。

デジタル連続関数とは、デジタル点における値（整数）が、隣接する点の値と等しいか、最大でも1しか違わない関数のことです。言い換えれば、x とyがデジタル空間内の隣接する2点である場合、| f ( x ) - f ( y )| ≤ 1となります。    

徐々に変化する関数は、デジタル空間からの関数である。 ${\displaystyle \Sigma }$に${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$どこ${\displaystyle A_{1}<\cdots <A_{m}}$そして${\displaystyle A_{i}}$は実数です。この関数は次の性質を持ちます。xとyが隣接する 2 つの点である場合、${\displaystyle \Sigma }$、 仮定する${\displaystyle f(x)=A_{i}}$、 それから${\displaystyle f(y)=A_{i}}$、 ${\displaystyle f(x)=A_{i+1}}$、 または${\displaystyle A_{i-1}}$したがって、徐々に変化する関数は、デジタル的に連続する関数よりも一般的に定義されていることがわかります。

上記の関数に関連する拡張定理は、A. Rosenfeld (1986) によって言及され、L. Chen (1989) によって完成された。この定理は次のように述べている。${\displaystyle D\subset \Sigma }$そして${\displaystyle f:D\rightarrow \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$徐々に変化する拡張の存在のための必要十分条件${\displaystyle F}$の${\displaystyle f}$は 、各点のペアに対して${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$で${\displaystyle D}$、 仮定する${\displaystyle f(x)=A_{i}}$そして${\displaystyle f(y)=A_{j}}$、 我々は持っています${\displaystyle |ij|\leq d(x,y)}$、 どこ${\displaystyle d(x,y)}$は、(デジタル)距離です。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$。

• 計算幾何学
• デジタルトポロジー
• 離散幾何学
• 組み合わせ幾何学
• 断層撮影
• 点群

•  A. Rosenfeld、「デジタル画像における「連続」関数」、Pattern Recognition Letters、第4巻、第3号、 177-184ページ、1986年。
• L. Chen、「徐々に変化する充填のための必要十分条件と効率的なアルゴリズム」、中国科学通報35（10）、pp 870–873、1990年。

• ローゼンフェルド、アズリエル（1969）。コンピュータによる画像処理。アカデミックプレス。
• ローゼンフェルド、アズリエル（1976）。デジタル画像解析。ベルリン：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-07579-8。
• ローゼンフェルド、アズリエル；カク、アビナシュ C. (1982).デジタル画像処理. ボストン：アカデミックプレス. ISBN 0-12-597301-2。
• ローゼンフェルド、アズリエル（1979）。絵言語。アカデミック・プレス。ISBN 0-12-597340-3。
• シャセリー、J. A.モンタンベール。 （1991年）。ジオメトリを離散化し、画像を分析します。エルメス。ISBN 2-86601-271-2。
• Kong, TY; Rosenfeld, A. 編 (1996).デジタル画像処理のためのトポロジーアルゴリズム. Elsevier. ISBN 0-444-89754-2。
• Voss, K. (1993).離散画像、オブジェクト、および関数（Zn）. Springer. ISBN 0-387-55943-4。
• ハーマン、GT （ 1998）。デジタル空間の幾何学。ビルクハウザー。ISBN 0-8176-3897-0。
• Marchand-Maillet, S.; YM Sharaiha (2000).バイナリデジタル画像処理. Academic Press. ISBN 0-12-470505-7。
• Soille, P. (2003).形態画像解析：原理と応用. Springer. ISBN 3-540-42988-3。
• Chen, L. (2004).離散曲面と多様体：デジタル離散幾何学とトポロジーの理論. SP Computing. ISBN 0-9755122-1-8。
• ローゼンフェルド、アズリエル；クレッテ、ラインハルト（2004）。デジタル幾何学：デジタル画像解析のための幾何学的手法（モーガン・カウフマン・コンピュータグラフィックスシリーズ）。サンディエゴ：モーガン・カウフマン。ISBN 1-55860-861-3。
• Chen, L. (2014).デジタルおよび離散幾何学：理論とアルゴリズム. Springer. ISBN 978-3-319-12099-7。
• コバレフスキー、ウラジミール A. (2008).局所的に有限な空間の幾何学：コンピュータにとって好ましいトポロジーとコンピュータ画像処理のためのアルゴリズム. ベルリン. ISBN 978-3-9812252-0-4。

• IAPR離散幾何学技術委員会
• デジタル幾何学とトポロジーに関するウェブサイト
• デジタル幾何学と数理形態学に関する講義（Ch. Kiselman）
• DGtal：オープンソースのデジタルジオメトリツールボックスとアルゴリズムライブラリ