導入 1 変数の正の関数の定積分が、関数のグラフとx 軸の間の領域の面積 を表すのと同様に、 2 変数の正の関数の二重積分は、関数によって定義される 曲面( z = f ( x , y ) の 3 次元デカルト平面 上) と、その定義域 を含む平面の間の領域の体積を表します。[ 1 ] 超体積を 生成します。
n 個の変数を持つ関数f ( x 1 , x 2 , ..., x n D における多重積分は、通常、逆実行順序 (最も左の積分記号が最後に計算される) で入れ子になった積分記号で表され、その後、関数と被積分関数の引数が適切な順序で続きます (最も右の引数に関する積分が最後に計算される)。積分領域は、各積分記号上の各引数について記号で表すか、最も右の積分記号の変数で省略します: [ 2 ]
∫ ⋯ ∫ D f （ x 1 、 x 2 、 … 、 x n ） d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle \int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}} 原始関数 の概念は単一の実変数関数に対してのみ定義されているため、通常の不定積分 の定義は多重積分には直接適用できない。
数学的定義 n > 1n 次元超直方体 領域Tを考える。
T = [ 1 1 、 b 1 ） × [ 1 2 、 b 2 ） × ⋯ × [ 1 n 、 b n ） ⊆ R n {\displaystyle T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}} [ a j b j i j α I j に分割します 。各部分区間は左端が閉じており、右端が開いています。
すると、部分長方形の有限族C は次のように与えられる。
C = 私 1 × 私 2 × ⋯ × 私 n {\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}} はT の分割 です。つまり、部分長方形C k T です。
T 上で定義された関数f : T → R T の分割C を考える。Cは m 個の部分長方形の族であり、C m
T = C 1 ∪ C 2 ∪ ⋯ ∪ C m {\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}} n 次元超直方体T によって下から境界が定められ、fの n 次元グラフによって上から境界が定められる( n +1) 次元の体積全体を、次のリーマン和 で近似することができる。
∑ k = 1 m f （ P k ） m （ C k ） {\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})} ここで、P k はC k 内の点であり、m( C k C k となる区間の長さの積であり、 C k の測度としても知られています。
部分長方形C k は、 デカルト積が C k 。T の与えられた分割の直径は、その分割内の部分長方形の直径の中で最大のものとして定義されます。直感的には、分割C の直径をどんどん小さく制限していくと、部分長方形の数m は大きくなり、各部分長方形の測度m( C k ) は小さくなります。関数fは、 極限 が次の条件を満たす場合にリーマン積分可能 であると言われます。
S = リム δ → 0 ∑ k = 1 m f （ P k ） m （ C k ） {\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})} が存在する。ここで極限は、直径が最大でδである T のすべての可能な分割について取られる。[ 3 ]
f がリーマン積分可能であれば、Sは T 上のf のリーマン積分 と呼ばれ、次のように表されます。
∫ ⋯ ∫ T f （ x 1 、 x 2 、 … 、 x n ） d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle \int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}} この表記はしばしば次のように略記されます。
∫ T f （ x ） d n x {\displaystyle \int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} } ここで、x は n タプル( x 1 , ..., x n ) を表し、d n x はn 次元の体積微分 です。
任意の有界なn 次元集合上で定義された関数のリーマン積分は、その関数を、元の関数の定義域の外側で値がゼロとなる半開矩形上で定義された関数に拡張することによって定義できる。そして、元の関数の元の定義域上での積分は、拡張された関数の矩形定義域上での積分として定義される（ただし、そのような拡張された関数が存在する場合に限る）。
以下では、 n 次元のリーマン積分を多重積分 と呼ぶ。
物件 多重積分は、1変数関数の積分と共通する多くの性質（線形性、可換性、単調性など）を持っています。多重積分の重要な性質の1つは、特定の条件下では積分の値が被積分関数の順序に依存しないことです。この性質は一般にフビニの定理 として知られています。[ 4 ]
特定のケース の場合T ⊆ R 2 \displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{2}}
l = ∬ T f （ x 、 y ） d x d y {\displaystyle l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy} はT 上のf の二重積分 であり、T ⊆ R 3 \displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{3}}
l = ∭ T f （ x 、 y 、 z ） d x d y d z {\displaystyle l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz} は、 T 上のf の三重積分 です。
慣例として、二重積分には積分記号が2つ、三重積分には積分記号が3つあることに注意してください。これは、この記事の後半で示すように、多重積分を反復積分として計算する際に便利な表記上の慣例です。
統合の方法 多重積分の問題解決は、ほとんどの場合、多重積分を反復積分 、すなわち各変数が直接解ける一連の積分に還元する方法を見つけることから成ります。連続関数の場合、これはフビニの定理 によって正当化されます。場合によっては、計算を行わずに積分結果を直接調べることで得られることもあります。
以下に、いくつかの簡単な積分方法を示します。[ 1 ]
定数関数の積分 被積分関数が定数関数 c の場合、積分値はc と積分領域の測度の積に等しくなります。c = 1 で領域が R 2 の部分領域である場合、 積分は その R 3
例。f ( x , y ) = 2 とし、
D = { （ x 、 y ） ∈ R 2 : 2 ≤ x ≤ 4 ; 3 ≤ y ≤ 6 } {\displaystyle D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}} その場合
∫ 3 6 ∫ 2 4 2 d x d y = 2 ∫ 3 6 ∫ 2 4 1 d x d y = 2 ⋅ エリア （ D ） = 2 ⋅ （ 2 ⋅ 3 ） = 12 {\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {area} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12} 定義により、次のようになります。
∫ 3 6 ∫ 2 4 1 d x d y = エリア （ D ） {\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {area} (D)}
対称性の利用 積分領域が少なくとも1つの積分変数に関して原点に関して対称であり、かつ被積分関数がこの変数に関して奇関数である場合、積分はゼロに等しくなります。これは、領域の2つの半分にわたる積分の絶対値が同じで符号が逆になるためです。被積分関数がこの変数に関して 偶関数で ある場合、積分は領域の半分にわたる積分の2倍に等しくなります。これは、領域の2つの半分にわたる積分が等しいためです。
例１． 関数f ( x , y ) = 2 sin( x ) − 3 y 3 + 5
T = { （ x 、 y ） ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1 } {\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}} 原点を中心とし、境界を含む半径 1の円盤。
線形性の性質を用いると、積分は3つの部分に分解できる。
∬ T （ 2 罪 x − 3 y 3 + 5 ） d x d y = ∬ T 2 罪 x d x d y − ∬ T 3 y 3 d x d y + ∬ T 5 d x d y {\displaystyle \iint _{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy}
関数2 sin( x ) は変数x に関して奇関数であり、円盤Tは y 軸に関して対称であるため、最初の積分の値は 0 です。同様に、関数3 y 3 はy に関して奇関数であり、Tは x 軸に関して対称であるため、最終結果への寄与は 3 番目の積分のみです。したがって、元の積分は円盤の面積に 5 を掛けたもの、つまり 5 π に等しくなります。
例２． 関数f ( x , y , z ) = x exp( y 2 + z 2 )球とする。
T = { （ x 、 y 、 z ） ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 } {\displaystyle T=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\}} この「球」は3つの軸すべてに関して対称ですが、関数がその変数に関して奇関数であるため、x 軸 に関して積分すれば積分が0になることを示すのに十分です。
R 2
この方法は、以下の条件を満たす任意のドメインD に適用可能です。
D のx 軸またはy 軸への投影は 、2 つの値a とbによって制限される。 この軸に垂直で、これら2つの値の間を通る任意の直線は、2つの関数α とβ のグラフによって端点が与えられる区間で定義域と交差する。このような領域をここでは正規領域 と呼ぶ。文献によっては、正規領域は、領域がファイバー化される軸に応じて、タイプI領域またはタイプII領域と呼ばれることもある。いずれの場合も、積分される関数は領域上でリーマン積分可能でなければならない。これは、（例えば）関数が連続である場合に成り立つ。
x 軸領域D が x 軸に関して正規であり、f : D → R が連続関数 である場合、α ( x )β ( x )[ a , b ]で定義される) は D を 決定する 2 つの関数である。次に、フビニの定理により、次のようになる。[ 5 ]
∬ D f （ x 、 y ） d x d y = ∫ 1 b d x ∫ α （ x ） β （ x ） f （ x 、 y ） d y {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy}
y 軸Dが y 軸に関して正規分布であり、 f : D → R α ( y )β ( y )[ a , b ] で定義される）はDを 決定する2つの関数である。ここでも、フビニの定理により、次のようになる。
∬ D f （ x 、 y ） d x d y = ∫ 1 b d y ∫ α （ y ） β （ y ） f （ x 、 y ） d x {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx}
R 3 Tが xy 平面に対して正規な領域であり、関数α ( x , y )β ( x , y )
∭ T f （ x 、 y 、 z ） d x d y d z = ∬ D ∫ α （ x 、 y ） β （ x 、 y ） f （ x 、 y 、 z ） d z d x d y {\displaystyle \iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iint _{D}\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy} この定義は、 R 3 R n
変数変換 積分範囲は、正規性がない場合や複雑な積分式を用いる場合など、容易に交換できないことが多い。そのため、変数変換を 行い、より扱いやすい領域で積分を書き直す必要がある。この領域は、より単純な式で表すことができる。そのためには、関数を新しい座標系に適合させなければならない。
例 1a. 関数はf ( x , y ) = ( x − 1) 2 + √ y u = x − 1v = y x = u + 1y = v f 2 ( u , v ) = ( u ) 2 + √ v
同様に、ドメインも変換前の元の変数（例ではx とy ）によって区切られているため、ドメインは元の変数によって区切られます。 微分dx とdy は、新しい変数に関する変換の偏微分を含む ヤコビ行列の行列式 の絶対値によって変換されます（例として、極座標における微分変換を考えてみましょう）。 変数変換には主に3つの「種類」が存在する（R 2 R 3
極座標 デカルト座標から極座標への変換。 R² 、 極座標への変換を 適用することができます（図の例を参照）。これは、デカルト座標における一般的な点P ( x , y )
変換を行うための基本的な関係は以下のとおりです。
f （ x 、 y ） → f （ ρ コス φ 、 ρ 罪 φ ） {\displaystyle f(x,y)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )} 例2a. 関数はf ( x , y ) = x + y
f （ x 、 y ） = f （ ρ コス φ 、 ρ 罪 φ ） = ρ コス φ + ρ 罪 φ = ρ （ コス φ + 罪 φ ） {\displaystyle f(x,y)=f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )=\rho \cos \varphi +\rho \sin \varphi =\rho (\cos \varphi +\sin \varphi )} 例2b。 関数はf ( x , y ) = x² + y² で 。
f （ x 、 y ） = ρ 2 （ コス 2 φ + 罪 2 φ ） = ρ 2 {\displaystyle f(x,y)=\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \right)=\rho ^{2}} ピタゴラスの三角関数の恒等式 を使用する（この演算を簡略化するのに役立ちます）。
領域の変換は、半径のクラウン長さと記述された角度の振幅を定義して、x 、 y ρ 、φ
デカルト座標系から極座標系への領域変換の例。 例2c。 領域はD = { x 2 + y 2 ≤ 4}φは 0から2πまで変化し、 一方、クラウンの半径は0から2まで変化します（内側の半径がゼロのクラウンは単なる円です）。
例 2d。 領域はD = { x 2 + y 2 ≤ 9, x 2 + y 2 ≥ 4, y ≥ 0}であり、これは正のy 半平面内の円冠です(例の図を参照してください)。φは 平面角を表し、ρ は 2 から 3 まで変化します。したがって、変換された領域は次の長方形 になります。
T = { 2 ≤ ρ ≤ 3 、 0 ≤ φ ≤ π } {\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq \pi \}} その変換のヤコビ行列式は次のとおりです。
∂ （ x 、 y ） ∂ （ ρ 、 φ ） = | コス φ − ρ 罪 φ 罪 φ ρ コス φ | = ρ {\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho } これは、 x = ρ cos( φ )y = ρ sin( φ )ρに関して、2 番目の列に φ に関して挿入することによって得られたものであり、この変換におけるdx dy微分は ρ dρ dφ となります。
関数が変換され、定義域が評価されると、極座標における変数変換の式を定義することが可能になります。
∬ D f （ x 、 y ） d x d y = ∬ T f （ ρ コス φ 、 ρ 罪 φ ） ρ d ρ d φ {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )\rho \,d\rho \,d\varphi } φは [ 0, 2π ]の ρは正の値しか取ることができません。
例2e。 関数はf ( x , y ) = x ρ （ 2から3まで）とφ （0からπ まで）の区間がわかっています。ここで関数を変更します。
f （ x 、 y ） = x ⟶ f （ ρ 、 φ ） = ρ コス φ {\displaystyle f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi } 最後に、積分公式を適用してみましょう。
∬ D x d x d y = ∬ T ρ コス φ ρ d ρ d φ {\displaystyle \iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \varphi \rho \,d\rho \,d\varphi } 間隔がわかれば、
∫ 0 π ∫ 2 3 ρ 2 コス φ d ρ d φ = ∫ 0 π コス φ d φ [ ρ 3 3 ] 2 3 = [ 罪 φ ] 0 π （ 9 − 8 3 ） = 0 {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0}
円筒座標 円筒座標。 R 3 円筒座標 への変換 によって行うことができます。関数の変換は次の関係式によって行われます。
f （ x 、 y 、 z ） → f （ ρ コス φ 、 ρ 罪 φ 、 z ） {\displaystyle f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)} 領域変換は、基底の形状のみが変化し、高さは開始領域の形状に従うため、図式的に実現できる。
例3a。 領域はD = { x 2 + y 2 ≤ 9, x 2 + y 2 ≥ 4, 0 ≤ z ≤ 5}
T = { 2 ≤ ρ ≤ 3 、 0 ≤ φ ≤ 2 π 、 0 ≤ z ≤ 5 } {\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq z\leq 5\}} （つまり、底面が例2dの長方形と相似で、高さが5の平行六面体）
変換中、z 成分は変化しないため、 dx dy dz の 微分は極座標への移行と同様に変化します。したがって、ρ dρ dφ dz になります。
最後に、最終的な公式を円筒座標に適用することも可能です。
∭ D f （ x 、 y 、 z ） d x d y d z = ∭ T f （ ρ コス φ 、 ρ 罪 φ 、 z ） ρ d ρ d φ d z {\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz}
この方法は、円筒形または円錐形の領域の場合、あるいはz 間隔を容易に特定でき、円形の底面と関数を変換できる領域の場合に便利です。
例3b。 関数はf ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 円筒 D = { x 2 + y 2 ≤ 9, −5 ≤ z ≤ 5} ですD の変換は次のとおりです。
T = { 0 ≤ ρ ≤ 3 、 0 ≤ φ ≤ 2 π 、 − 5 ≤ z ≤ 5 } {\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}} 関数が
f （ ρ コス φ 、 ρ 罪 φ 、 z ） = ρ 2 + z {\displaystyle f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z} 最後に、積分公式を適用します。
∭ D （ x 2 + y 2 + z ） d x d y d z = ∭ T （ ρ 2 + z ） ρ d ρ d φ d z {\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\left(\rho ^{2}+z\right)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz} あなたが持っている公式を開発する
∫ − 5 5 d z ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 3 （ ρ 3 + ρ z ） d ρ = 2 π ∫ − 5 5 [ ρ 4 4 + ρ 2 z 2 ] 0 3 d z = 2 π ∫ − 5 5 （ 81 4 + 9 2 z ） d z = ⋯ = 405 π {\displaystyle \int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi }
球面座標 球面座標。 R 3 球面座標 への変換 を使用できます。関数は次の関係式によって変換されます。
f （ x 、 y 、 z ） ⟶ f （ ρ コス θ 罪 φ 、 ρ 罪 θ 罪 φ 、 ρ コス φ ） {\displaystyle f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )} z 軸上の点は球面座標では正確に特徴付けられないため、θは 0から2πの間で変化する可能性があり ます。
この文章にとってより適切な統合領域は球体である。
例4a。 領域はD = x² + y² + z² ≤ 16 （ ます 。
T = { 0 ≤ ρ ≤ 4 、 0 ≤ φ ≤ π 、 0 ≤ θ ≤ 2 π } {\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}} この変換のヤコビ行列式は以下のとおりです。
∂ （ x 、 y 、 z ） ∂ （ ρ 、 φ 、 θ ） = | コス θ 罪 φ ρ コス θ コス φ − ρ 罪 θ 罪 φ 罪 θ 罪 φ ρ 罪 θ コス φ ρ コス θ 罪 φ コス φ − ρ 罪 φ 0 | = ρ 2 罪 φ {\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\varphi ,\theta )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi } したがって、dx dy dz の微分はρ 2 sin ( φ ) dρ dθ dφ に
これにより、最終的な積分式が得られます。
∭ D f （ x 、 y 、 z ） d x d y d z = ∭ T f （ ρ 罪 φ コス θ 、 ρ 罪 φ 罪 θ 、 ρ コス φ ） ρ 2 罪 φ d ρ d θ d φ {\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi } 球面領域の場合、および R 3
∭ T f （ 1 、 b 、 c ） ρ 2 罪 φ d ρ d θ d φ {\displaystyle \iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi } 余分なρ 2 sin φ はヤコビアンから来ています。
以下の例では、 φ とθ の役割が入れ替わっています。
例4b。D は 例4aと同じ領域であり、f ( x , y , z ) = x² + y² + z² は 。
f （ ρ 罪 φ コス θ 、 ρ 罪 φ 罪 θ 、 ρ コス φ ） = ρ 2 {\displaystyle f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )=\rho ^{2}} 変換された領域T の区間はD からわかっているので、次のようになります。
T = { 0 ≤ ρ ≤ 4 、 0 ≤ φ ≤ π 、 0 ≤ θ ≤ 2 π } {\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}} したがって、積分公式を適用します。
∭ D （ x 2 + y 2 + z 2 ） d x d y d z = ∭ T ρ 2 ρ 2 罪 θ d ρ d θ d φ {\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi } そして、発展すると、
∭ T ρ 4 罪 θ d ρ d θ d φ = ∫ 0 π 罪 φ d φ ∫ 0 4 ρ 4 d ρ ∫ 0 2 π d θ = 2 π ∫ 0 π 罪 φ [ ρ 5 5 ] 0 4 d φ = 2 π [ ρ 5 5 ] 0 4 [ − コス φ ] 0 π = 4096 π 5 {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4096\pi }{5}}} 例4c。 領域D は原点を中心とし半径3aの 球である。
D = { x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 1 2 } {\displaystyle D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\right\}} そして、f ( x , y , z ) = x 2 + y 2
領域を見ると、球面座標への移行を採用するのが都合が良いように思われる。実際、新しいT 領域を区切る変数の区間は次のようになる。
T = { 0 ≤ ρ ≤ 3 1 、 0 ≤ φ ≤ 2 π 、 0 ≤ θ ≤ π } {\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}} しかし、変換を適用すると、
f （ x 、 y 、 z ） = x 2 + y 2 ⟶ ρ 2 罪 2 θ コス 2 φ + ρ 2 罪 2 θ 罪 2 φ = ρ 2 罪 2 θ {\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta } 積分公式を適用すると、次の式が得られます。
∭ T ρ 2 罪 2 θ ρ 2 罪 θ d ρ d θ d φ = ∭ T ρ 4 罪 3 θ d ρ d θ d φ {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi } これは、反復積分に変換することで解くことができる。∭ T ρ 4 罪 3 θ d ρ d θ d φ = ∫ 0 3 1 ρ 4 d ρ ⏟ 私 ∫ 0 π 罪 3 θ d θ ⏟ 私 私 ∫ 0 2 π d φ ⏟ 私 私 私 {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\underbrace {\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho } _{I}\,\underbrace {\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta } _{II}\,\underbrace {\int _{0}^{2\pi }d\varphi } _{III}}
私 = ∫ 0 3 1 ρ 4 d ρ = ρ 5 5 | 0 3 1 = 243 5 1 5 {\displaystyle I=\left.\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho ={\frac {\rho ^{5}}{5}}\right\vert _{0}^{3a}={\frac {243}{5}}a^{5}}
私 私 = ∫ 0 π 罪 3 θ d θ = − ∫ 0 π 罪 2 θ d （ コス θ ） = ∫ 0 π （ コス 2 θ − 1 ） d （ コス θ ） = コス 3 θ 3 | 0 π − コス θ | 0 π = 4 3 {\displaystyle II=\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta =-\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \,d(\cos \theta )=\int _{0}^{\pi }(\cos ^{2}\theta -1)\,d(\cos \theta )=\left.{\frac {\cos ^{3}\theta }{3}}\right|_{0}^{\pi }-\left.\cos \theta \right|_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}}
私 私 私 = ∫ 0 2 π d φ = 2 π {\displaystyle III=\int _{0}^{2\pi }d\varphi =2\pi }
すべての部品を集めて、
∭ T ρ 4 罪 3 θ d ρ d θ d φ = 私 ⋅ 私 私 ⋅ 私 私 私 = 243 5 1 5 ⋅ 4 3 ⋅ 2 π = 648 5 π 1 5 {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =I\cdot II\cdot III={\frac {243}{5}}a^{5}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot 2\pi ={\frac {648}{5}}\pi a^{5}}
あるいは、この問題は円筒座標への変換を用いることで解決できる。新しいT 間隔は次のようになる。
T = { 0 ≤ ρ ≤ 3 1 、 0 ≤ φ ≤ 2 π 、 − 9 1 2 − ρ 2 ≤ z ≤ 9 1 2 − ρ 2 } {\displaystyle T=\left\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\right\}} z 区間は、 D の式から不等式 を解くことによって球を2つの半球 に分割することによって得られます（そして、x 2 + y 2を直接 ρ 2 ρ 2
∭ T ρ 2 ρ d ρ d φ d z {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz} すると次のようになります。
∫ 0 2 π d φ ∫ 0 3 1 ρ 3 d ρ ∫ − 9 1 2 − ρ 2 9 1 2 − ρ 2 d z = 2 π ∫ 0 3 1 2 ρ 3 9 1 2 − ρ 2 d ρ = − 2 π ∫ 9 1 2 0 （ 9 1 2 − t ） t d t t = 9 1 2 − ρ 2 = 2 π ∫ 0 9 1 2 （ 9 1 2 t − t t ） d t = 2 π （ ∫ 0 9 1 2 9 1 2 t d t − ∫ 0 9 1 2 t t d t ） = 2 π [ 9 1 2 2 3 t 3 2 − 2 5 t 5 2 ] 0 9 1 2 = 2 ⋅ 27 π 1 5 （ 6 − 18 5 ） = 648 π 5 1 5 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0}^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}\end{aligned}}} 円筒座標系への移行のおかげで、三重積分をより簡単な一変数積分に変換することが可能になった。
円筒座標系および球座標系におけるナブラ の微分体積の項目も参照してください。
例
長方形上の二重積分 多変数関数f を領域A 上で積分したいと仮定しましょう。
A = { （ x 、 y ） ∈ R 2 : 11 ≤ x ≤ 14 ; 7 ≤ y ≤ 10 } そして f （ x 、 y ） = x 2 + 4 y {\displaystyle A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ および }}f(x,y)=x^{2}+4y\,} これから反復積分を定式化する
∫ 7 10 ∫ 11 14 （ x 2 + 4 y ） d x d y {\displaystyle \int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy} 内側の積分は最初に実行され、 x に関して積分し、yは 積分変数 ではないため定数として扱われます。この積分の結果はyのみに依存する関数であり、次に y に関して積分されます。
∫ 11 14 （ x 2 + 4 y ） d x = [ 1 3 x 3 + 4 y x ] x = 11 x = 14 = 1 3 （ 14 ） 3 + 4 y （ 14 ） − 1 3 （ 11 ） 3 − 4 y （ 11 ） = 471 + 12 y {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}} 次に、その結果をy に関して積分します。
∫ 7 10 （ 471 + 12 y ） d y = [ 471 y + 6 y 2 ] y = 7 y = 10 = 471 （ 10 ） + 6 （ 10 ） 2 − 471 （ 7 ） − 6 （ 7 ） 2 = 1719 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}} 関数の絶対値の二重積分が有限である場合、積分の順序は入れ替え可能であり、つまり、xについて先に積分しても y について先に積分しても同じ結果が得られます。これがフビニの定理 です。例えば、前の計算を順序を逆にして行っても同じ結果が得られます。
∫ 11 14 ∫ 7 10 （ x 2 + 4 y ） d y d x = ∫ 11 14 [ x 2 y + 2 y 2 ] y = 7 y = 10 d x = ∫ 11 14 （ 3 x 2 + 102 ） d x = [ x 3 + 102 x ] x = 11 x = 14 = 1719年。 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}}
通常の領域における二重積分 例：正規領域D上の二重積分 以下の地域について考えてみましょう（例の図を参照してください）。
D = { （ x 、 y ） ∈ R 2 : x ≥ 0 、 y ≤ 1 、 y ≥ x 2 } {\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}} 計算する
∬ D （ x + y ） d x d y {\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy} この領域は、 x 軸とy 軸の両方に関して正規です。公式を適用するには、 D を決定する関数と、これらの関数が定義される区間を見つける必要があります。この場合、2つの関数は次のとおりです。
α （ x ） = x 2 そして β （ x ） = 1 {\displaystyle \alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1} 区間は関数とx = 0 の交点によって与えられるので、区間は [ a , b ] = [0, 1] となります (視覚的に理解しやすくするために、正規性はx 軸に関して選択されています)。
これで以下の式を適用できるようになりました。
∬ D （ x + y ） d x d y = ∫ 0 1 d x ∫ x 2 1 （ x + y ） d y = ∫ 0 1 d x [ x y + y 2 2 ] x 2 1 {\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}} （まず、2番目の積分はxを 定数として計算します。）残りの操作は、基本的な積分法を適用することです。
∫ 0 1 [ x y + y 2 2 ] x 2 1 d x = ∫ 0 1 （ x + 1 2 − x 3 − x 4 2 ） d x = ⋯ = 13 20 {\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}} y 軸に関して正規性を選択した場合、計算することができます
∫ 0 1 d y ∫ 0 y （ x + y ） d x {\displaystyle \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx} そして同じ値を得る。
xy 平面に対して正規なR³ 領域の例。
体積の計算 前述の方法を用いることで、いくつかの一般的な固体の体積を計算することが可能である。
円柱 ：高さh 、半径 R の円形底面を持つ円柱の体積は、極座標を用いて、円形底面上で定数関数hを積分することによって計算できます。 V o l u m e = ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 R h ρ d ρ = 2 π h [ ρ 2 2 ] 0 R = π R 2 h {\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h} これは角柱 の体積の公式と一致する。
V o l u m e = ベースエリア × 身長 {\displaystyle \mathrm {Volume} ={\text{base area}}\times {\text{height}}} 球 ：半径R の球の体積は、球面座標を用いて定数関数1を球面上で積分することによって計算できます。音量 = ∭ D f （ x 、 y 、 z ） d x d y d z = ∭ D 1 d V = ∭ S ρ 2 罪 φ d ρ d θ d φ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π 罪 φ d φ ∫ 0 R ρ 2 d ρ = 2 π ∫ 0 π 罪 φ d φ ∫ 0 R ρ 2 d ρ = 2 π ∫ 0 π 罪 φ R 3 3 d φ = 2 3 π R 3 [ − コス φ ] 0 π = 4 3 π R 3 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\end{aligned}}} 正四面体 または 3単体 ）：頂点が原点にあり、 x 軸、 y 軸、 z 軸に沿って長さℓ 音量 = ∫ 0 ℓ d x ∫ 0 ℓ − x d y ∫ 0 ℓ − x − y d z = ∫ 0 ℓ d x ∫ 0 ℓ − x （ ℓ − x − y ） d y = ∫ 0 ℓ （ l 2 − 2 ℓ x + x 2 − （ ℓ − x ） 2 2 ） d x = ℓ 3 − ℓ ℓ 2 + ℓ 3 3 − [ ℓ 2 x 2 − ℓ x 2 2 + x 3 6 ] 0 ℓ = ℓ 3 3 − ℓ 3 6 = ℓ 3 6 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}\end{aligned}}} これはピラミッド の体積の公式と一致する。 V o l u m e = 1 3 × ベースエリア × 身長 = 1 3 × ℓ 2 2 × ℓ = ℓ 3 6 {\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{base area}}\times {\text{height}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}} 不適切なドメインの例。
多重広義積分 境界のない領域や、領域の境界付近で境界のない関数の場合、二重広義積分 または三重広義積分 を導入する必要があります。
多重積分と反復積分 フビニの定理 によれば、[ 4 ]
∬ A × B | f （ x 、 y ） | d （ x 、 y ） < ∞ {\displaystyle \iint _{A\times B}\left|f(x,y)\right|\,d(x,y)<\infty } つまり、積分が絶対収束する場合、多重積分は2つの反復積分のどちらと同じ結果を与えることになる。
∬ A × B f （ x 、 y ） d （ x 、 y ） = ∫ A （ ∫ B f （ x 、 y ） d y ） d x = ∫ B （ ∫ A f （ x 、 y ） d x ） d y {\displaystyle \iint _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy} 特に、| f ( x , y ) | が有界関数 であり、A とBが 有界集合 である場合に、このことが起こります。
積分が絶対収束しない場合、多重積分 と反復積分 の概念を混同しないように注意が必要です。特に、どちらの概念にも同じ表記が使われることが多いためです。表記法
∫ 0 1 ∫ 0 1 f （ x 、 y ） d y d x {\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx} これは、場合によっては真の二重積分ではなく、反復積分を意味します。反復積分では、外側の積分は
∫ 0 1 ⋯ d x {\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \,dx} これは、 x に関する次の関数の積分です。
g （ x ） = ∫ 0 1 f （ x 、 y ） d y {\displaystyle g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy} 一方、二重積分はxy 平面上の面積に関して定義されます。二重積分が存在する場合、それは2つの反復積分（「dy/dx 」または「dx/dy 」）のそれぞれに等しくなり、多くの場合、反復積分のいずれかを計算することで計算されます。しかし、二重積分が存在しない場合でも2つの反復積分が存在する場合があり、そのような場合、2つの反復積分は異なる値になります。つまり、
∫ 0 1 ∫ 0 1 f （ x 、 y ） d y d x ≠ ∫ 0 1 ∫ 0 1 f （ x 、 y ） d x d y {\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy} これは、条件収束する 積分の変形の一例です。
一方、いくつかの条件では、二重積分が存在しない場合でも、2 つの反復積分が等しくなります。フィヒテンホルツ ・リヒテン シュタインの定理によれば、f が [0, 1] × [0, 1] で有界であり、両方の反復積分が存在する場合、それらは等しくなります。さらに、内側の積分の存在は、外側の積分の存在を保証します。[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] シェルピンスキー によれば、この場合、ルベーグ積分 であっても二重積分は存在しない必要があります。[ 9 ]
表記法
∫ [ 0 、 1 ] × [ 0 、 1 ] f （ x 、 y ） d x d y {\displaystyle \int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy} 反復積分ではなく二重積分を意図していることを強調したい場合は、これを使用することができます。
三重積分 三重積分はフビニの定理によって証明された。[ 10 ]
いくつかの実用的な応用例 一般的に、1変数の場合と同様に、多重積分を用いて、与えられた集合上の関数の平均値を求めることができます。集合D ⊆ R n と、 D 上で積分可能な関数f が与えられた場合、定義域におけるf の平均値は次のように与えられます。
f ¯ = 1 m （ D ） ∫ D f （ x ） d x {\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx} ここで、m ( D )はD の測度 である。
さらに、多重積分は物理学 の多くの分野で応用されています。以下の例では、表記法のいくつかのバリエーションも示しています。
運動学 では、時間に対する位置（x （ t ） {\displaystyle x(t)} 1 （ t ） {\displaystyle a(t)}
x （ t ） = ∬ 1 （ t ） d 2 t {\displaystyle x(t)=\iint a(t)\,d^{2}t} 力学 において、慣性モーメントは、 密度 に軸からの距離の二乗を掛けた体積積分（三重積分）として計算される。
私 z = ∭ V ρ r 2 d V {\displaystyle I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV} 3次元ユークリッド空間 R 3 上の質量測度 dm で与えられる質量分布 に関連する重力ポテンシャルは [ 11 ]
V （ x ） = − ∭ R 3 G | x − y | d m （ y ） {\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,dm(\mathbf {y} )} x ρ ( x )dm ( x ) = ρ ( x ) d 3 x d 3 x 体積要素 であり、重力ポテンシャルは
V （ x ） = − ∭ R 3 G | x − y | ρ （ y ） d 3 y {\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\rho (\mathbf {y} )\,d^{3}\mathbf {y} } 電磁気学 では、マクスウェル方程式は 多重積分を用いて全磁場と全電場を計算するように記述できます。[ 12 ] 電荷密度 ρ ( r → )で与えられる 電荷 分布によって生成される電場は 、ベクトル関数の三重積分 によって得られます。
E → = 1 4 π ε 0 ∭ r → − r → ′ ‖ r → − r → ′ ‖ 3 ρ （ r → ′ ） d 3 r ′ {\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{3}r'} これは、電荷分布を表す符号付き測度 に関する積分として表すこともできる。
参考文献 1 2 3 スチュワート、ジェームズ (2008).微積分：初級超越関数 版). ブルックス・コール・センゲージ・ラーニング. ISBN 978-0-495-01166-8 。↑ Larson; Edwards (2014). 多変数微積分 （第10 版）. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-08575-3 。↑ ルーディン、ウォルター (1976). 数学解析の原理 . ウォルター・ルーディン高等数学学生シリーズ (第3 版). マグロウヒル. ISBN 978-0-07-054235-8 。1 2 Jones, Frank (2001). Lebesgue Integration on Euclidean Space . Jones and Bartlett. pp. 527–529 . ISBN 9780763717087 。↑ スチュワート、ジェームズ (2015-05-07). 微積分、第 8 版 . Cengage Learning. ISBN 978-1285740621 。↑ ルウィン、ジョナサン (2003). 『数学解析への対話型入門』 ケンブリッジ。第 16.6 節 。ISBN 978-1107694040 。↑ Lewin, Jonathan (1987). 「解析入門コースにおける有界収束定理のいくつかの応用」 . The American Mathematical Monthly . 94 (10). AMS: 988– 993. doi : 10.2307/2322609 . JSTOR 2322609 . ↑ Sinclair, George Edward (1974). "Fichtenholz–Lichtenstein 定理の有限加法一般化" . Transactions of the American Mathematical Society . 193. AMS: 359–374 . doi : 10.2307/1996919 . JSTOR 1996919 . ↑ ボガチェフ、ウラジミール・I. (2006). 測度論 . 第 1 巻. Springer. 項目 3.10.49. ↑ 「5.4 三重積分 - 微積分 第 3 巻 | OpenStax」 . openstax.org 。 2016 年 3 月 30 日 。 2022-08-25 に取得 。 ↑ キブル、トム WB; バークシャー、フランク H. (2004). 古典力学 (第 5 版). インペリアル カレッジ プレス . ISBN 978-1-86094-424-6 。↑ ジャクソン、ジョン・D. (1998). 古典電磁気学 （第3 版）. ワイリー. ISBN 0-471-30932-X 。
さらに読む アダムス、ロバート A. (2003).微積分：完全コース 版）. アディソン・ウェスリー. ISBN 0-201-79131-5 。 Jain, RK; Iyengar, SRK (2009).高度工学数学 （第3 版）. Narosa Publishing House. ISBN 978-81-7319-730-7 。 ハーマン、エドウィン「ジェド」＆ストラング、ギルバート（2016）：微積分：第3巻 ：OpenStax、ライス大学、ヒューストン、テキサス州、アメリカ合衆国。ISBN 978-1-50669-805-2 （PDF） 
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/488232a8d128256d4d7e6ae51b1d88aacd784a79)
![{\displaystyle \int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2500dfd50534740e5d38e2fa2c45093e78874b94)
![{\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4096\pi }{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5531a5587dfd81d00a1af111b24d7e7f21af9828)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0}^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969914314ca85fdc1e693bb73443647fdad09f04)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e379a90e5e09f77929215570fd91403ed6369fc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0be5e82a2ea1d74e5c4855cda9e3cc1a983a64c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6902d512bb9ffd641e8f845affaa6a7cfdf34b58)
![{\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb7167bdf5af04201ecc485005f1a4d2d3a1be0f)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c9a4ac52c216974ac759890205b915c698d20e7)
![{\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175b2407b091e6319ed5f8d9b7b3165d611f2114)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c16461e99854efe8bac837727e3d7deafef419)
![{\displaystyle \int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0951af4caeac621f11d9b15d72e9b4c6c866d88c)
