座標ベクトル

線型代数において、座標ベクトルは、ベクトルを特定の順序付き基底に基づいて記述する、順序付き数値リスト（タプル）として表現したものです。^{[1]簡単な例としては、基底を軸とする 3 次元}直交座標系における (5, 2, 1) などの位置が挙げられます。座標は常に、順序付き基底を基準として指定されます。基底とそれに関連付けられた座標表現により、ベクトル空間と線形変換を列ベクトル、行ベクトル、行列として具体的に実現できるため、計算に役立ちます。

座標ベクトルの考え方は、以下で説明するように、無限次元ベクトル空間にも使用できます。

Vを体F上のn次元のベクトル空間とし、

${\displaystyle B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}}$

をVの順序付き基底とする。すると、任意の に対して、次式に等しい基底ベクトルの一意の線形結合が存在する。 ${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

Bに対するの座標ベクトルは座標の列である。${\displaystyle v}$

${\displaystyle [v]_{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}).}$

これは、 B に関するの表現${\displaystyle v}$、またはの B 表現${\displaystyle v}$とも呼ばれます。は の座標と呼ばれます。 ここでは基底の順序が重要になります。基底の順序によって、座標ベクトルに係数がリストされる順序が決まるからです。 ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$${\displaystyle v}$

有限次元ベクトル空間の座標ベクトルは、列ベクトルまたは行ベクトルとして行列で表すことができます。上記の表記では、次のように書くことができます。

${\displaystyle [v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$

そして

${\displaystyle [v]_{B}^{T}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$

ここで は行列の転置です。 ${\displaystyle [v]_{B}^{T}}$${\displaystyle [v]_{B}}$

上記の変換は、B に関する V の標準表現と呼ばれる関数を定義することで機械的に行うことができます。この関数は、すべてのベクトルをその座標表現に変換します。すると、はVからF ⁿへの線形変換になります。実際、これは同型であり、その逆は単純に次のようになります。 ${\displaystyle \phi _{B}}$${\displaystyle \phi _{B}(v)=[v]_{B}}$${\displaystyle \phi _{B}}$ ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}:F^{n}\to V}$

${\displaystyle \phi _{B}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

あるいは、最初から上記の関数を と定義し、 が同型であることを認識し、 をその逆関数 と定義することもできます。 ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$${\displaystyle \phi _{B}}$

を、次数が最大 3 であるすべての代数多項式の空間とします(つまり、 xの最高指数は3 になります)。この空間は線形であり、次の多項式によって張られます。 ${\displaystyle P_{3}}$

${\displaystyle B_{P}=\left\{1,x,x^{2},x^{3}\right\}}$

マッチング

${\displaystyle 1:={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x:={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x^{2}:={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}};\quad x^{3}:={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

多項式に対応する座標ベクトル

${\displaystyle p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}}$

は

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}.}$

この表現によれば、微分演算子 d / dx （ Dと記す）は次の行列で表されます。

${\displaystyle Dp(x)=P'(x);\quad [D]={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

この方法を使用すると、可逆性、エルミートか反エルミートかどちらでもないか、スペクトルと固有値など、 演算子の特性を簡単に調べることができます。

パウリ行列は、スピン固有状態をベクトル座標に 変換するときにスピン演算子を表します。

BとC をベクトル空間Vの2つの異なる基底とし、基底ベクトルb ₁、 b ₂、…、 b _nのC表現からなる列を持つ行列でマークします。 ${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}}$

${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}={\begin{bmatrix}\lbrack b_{1}\rbrack _{C}&\cdots &\lbrack b_{n}\rbrack _{C}\end{bmatrix}}}$

この行列は、 BからCへの基底変換行列と呼ばれます。これは上の自己同型とみなすことができます。 Bで表される任意のベクトルv は、次のようにCの表現に変換できます。 ${\displaystyle F^{n}}$

${\displaystyle \lbrack v\rbrack _{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack v\rbrack _{B}.}$

基底の変換では、変換行列Mの上付き文字と座標ベクトルvの下付き文字が同じであり、相殺されて下付き文字だけが残っているように見えることに注意してください。これは記憶を助けるために役立ちますが、そのような相殺や同様の数学的操作は行われないことに注意することが重要です。

行列Mは可逆行列であり、M ^{−1 は}CからBへの基底変換行列である。言い換えれば、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Id} &=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack M\rbrack _{B}^{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{C}\\[3pt]&=\lbrack M\rbrack _{B}^{C}\lbrack M\rbrack _{C}^{B}=\lbrack M\rbrack _{B}^{B}\end{aligned}}}$

V が体F上の無限次元ベクトル空間であるとします。次元がκであれば、Vにはκ個の元を持つ基底が存在します。順序を選択すると、基底は順序付き基底とみなすことができます。 Vの元は基底の元の有限線形結合であり、前述のとおり一意の座標表現を生み出します。唯一の違いは、座標のインデックス セットが有限ではないことです。与えられたベクトルvは基底元の有限線形結合であるため、 vの座標ベクトルの唯一の非ゼロの要素は、v を表す線形結合の非ゼロの係数になります。したがって、vの座標ベクトルは、有限個の要素を除いてゼロです。

（おそらく）無限次元ベクトル空間間の線型変換は、有限次元の場合と同様に、無限行列を使用してモデル化できます。V からVへの変換の特殊なケースについては、完全な線型環の記事で説明されています。

• 基準の変更
• 座標空間