分数階微積分

分数階微積分の古典的な形式は、リーマン・リウヴィル積分で与えられ、これは基本的に上で説明した内容です。周期関数（したがって、周期後に繰り返される「境界条件」を含む）の分数階積分の理論は、ワイル積分で与えられます。これはフーリエ級数上で定義され、定数フーリエ係数がゼロになることを要求します（したがって、積分がゼロになる単位円上の関数に適用されます）。リーマン・リウヴィル積分には、上積分と下積分の2つの形式があります。区間[ a , b ]を考えると、積分は次のように定義されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\sideset {_{t}}{_{b}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{t}^{b}\left(\tau -t\right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \end{aligned}}}$$

前者はt > aの場合に有効であり、後者はt < bの場合に有効である。^{[ 11 ]}

^正の実軸上の積分（すなわち${\displaystyle a=0}$）は、発見と使用の歴史に基づいて、より適切にはアーベル・リーマン積分と名付けられ、同様に、実数直線全体にわたる積分はリウヴィル・ワイル積分と名付けられるだろう。

それとは対照的に、グリュンヴァルト・レトニコフ微分は積分ではなく微分から始まる。

アダマール分数積分はジャック・アダマール^{[ 13 ]}によって導入され、次の式で与えられる。 $$${\displaystyle \sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}{\mathbf {D} }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(\log {\frac {t}{\tau }}\right)^{\alpha -1}f(\tau ){\frac {d\tau }{\tau }},\qquad t>a\,.}$$$

連続関数のアタンガナ・バレアヌ分数積分は次のように定義される。 $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {A}}a}^{\operatorname {AB} }}{_{t}^{\alpha }}If(t)={\frac {1-\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )}}f(t)+{\frac {\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau }$$

対応する導関数は、微分演算子に対するラグランジュの規則を使用して計算されます。α次導関数を求めるには、( n − α )次積分のn次導関数を計算します。ここで、 nはαより大きい最小の整数です(つまり、n = ⌈ α ⌉ )。 リーマン・リウヴィル分数微分と積分には、トカマク システムなどの複数のシステムの場合の方程式の解や、可変次数分数パラメータの場合など、複数の応用があります。^{[ 15 ] [ 16 ]}リーマン・リウヴィル積分の定義と同様に、導関数には上と下のバリエーションがあります。^{[ 17 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{n-\alpha }}If(t)\\\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{n-\alpha }}If(t)\end{aligned}}}$$

分数階微分を計算するもう1つの方法は、カプート分数階微分です。これは、ミケーレ・カプートが1967年の論文で導入しました。^{[ 18 ]}リーマン・リウヴィル分数階微分とは対照的に、カプートの定義を使用して微分方程式を解く場合、分数階の初期条件を定義する必要はありません。カプートの定義は次のように示されます。ここでも、n = ⌈ α ⌉ です。 $${\displaystyle \sideset {^{C}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{\left(t-\tau \right)^{\alpha +1-n}}}\,d\tau .}$$

カプート分数階微分は次のように定義される。 $${\displaystyle D^{\nu }f(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\nu )}}\int _{0}^{t}(tu)^{(n-\nu -1)}f^{(n)}(u)\,du\qquad (n-1)<\nu <n}$$これは、 f ( t )が定数の ときにゼロになるという利点があり、そのラプラス変換は関数の初期値とその導関数によって表現されます。さらに、分布次数を持つカプート分数階微分が次のように定義されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}^{b}}{^{n}u}Df(t)&=\int _{a}^{b}\phi (\nu )\left[D^{(\nu )}f(t)\right]\,d\nu \\&=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\phi (\nu )}{\Gamma (1-\nu )}}\int _{0}^{t}\left(tu\right)^{-\nu }f'(u)\,du\right]\,d\nu \end{aligned}}}$$

ここで、ϕ ( ν )は重み関数であり、複数のメモリ形式の存在を数学的に表現するために使用されます。

2015年の論文で、M. CaputoとM. Fabrizioは、関数に対する非特異カーネルを持つ分数階微分の定義を提示した。${\displaystyle f(t)}$の${\displaystyle C^{1}}$提供元: $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {C}}a}^{\text{CF}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )\ e^{\left(-\alpha {\frac {t-\tau }{1-\alpha }}\right)}\ d\tau ,}$$

どこ${\displaystyle a<0,\alpha \in (0,1]}$[ ^{19 ]​}

2016年、アタンガナとバレアヌは、一般化されたミッタッグ＝レフラー関数に基づく微分演算子を提案した。${\displaystyle E_{\alpha }}$目的は、非特異な非局所カーネルを持つ分数微分演算子を導入することであった。それらの分数微分演算子は、それぞれリーマン・リウヴィル意味とカプート意味で以下に与えられる。関数に対して${\displaystyle f(t)}$の${\displaystyle C^{1}}$^{[ 20 ] [ 21 ]}によって与えられた$${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau ,}$$

関数が連続である場合、リーマン・リウヴィルの意味でのアタンガナ・バレアヌ微分は次のように与えられる。 $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau ,}$$

Atangana–Baleanu分数微分で使用されるカーネルは、累積分布関数のいくつかの特性を持っています。たとえば、すべての${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$関数​${\displaystyle E_{\alpha }}$実数直線上で増加し、収束する。${\displaystyle 0}$で${\displaystyle -\infty }$、そして${\displaystyle E_{\alpha }(0)=1}$したがって、関数は次のようになります。${\displaystyle x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })}$これは、正の実数上の確率測度の累積分布関数です。したがって、この分布は定義され、その倍数はすべて次数 のミッタッグ＝レフラー分布と呼ばれます。${\displaystyle \alpha }$また、これらの確率分布はすべて絶対連続であることもよく知られています。特に、ミッタッグ＝レフラー関数には特殊なケースがあります。${\displaystyle E_{1}}$これは指数関数であり、次数 のミッタッグ＝レフラー分布である。${\displaystyle 1}$したがって、指数分布である。ただし、${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ミッタッグ＝レフラー分布は裾が重い分布である。そのラプラス変換は次のように与えられる。 $${\displaystyle \mathbb {E} (e^{-\lambda X_{\alpha }})={\frac {1}{1+\lambda ^{\alpha }}},}$$

これは直接的に、${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$期待値は無限大です。さらに、これらの分布は幾何安定分布です。

リース微分は次のように定義される。 $${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial \left|x\right|^{\alpha }}}\right\}(k)=-\left|k\right|^{\alpha }{\mathcal {F}}\{u\}(k),}$$

どこ$\displaystyle {\mathcal {F}}}$はフーリエ変換を表す。^{[ 22 ] [ 23 ]}

関数の適合分数階微分${\displaystyle f}$順序の${\displaystyle \alpha }$は$$${\displaystyle T_{\alpha }(f)(t)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {f\left(t+\epsilon t^{1-\alpha }\right)-f(t)}{\epsilon }}}$$$他の分数微分の定義とは異なり、適合分数微分は積と商の法則に従い、ロルの定理と平均値の定理に類似しています。^{[ 24 ] [ 25 ]}ただし、この分数微分は、リーマン・リウヴィル分数微分やカプート分数微分と比べて著しく異なる結果をもたらします。2020年に、Feng GaoとChunmei Chiは、カプート分数微分の挙動により近い改良されたカプート型適合分数微分を定義しました。^{[ 25 ]}$${\displaystyle _{a}^{C}{\widetilde {T}}_{\alpha }(f)(t)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\left[(1-\alpha )(f(t)-f(a))+\alpha {\frac {f\left(t+\epsilon (ta)^{1-\alpha }\right)-f(t)}{\epsilon }}\right]}$$どこ${\displaystyle a}$そして${\displaystyle t}$は実数であり、${\displaystyle a<t}$また、リーマン・リウヴィル型適合分数微分を同様に近似するために、改良されたリーマン・リウヴィル型適合分数微分を定義した。^{[ 25 ]}

$${\displaystyle _{a}^{RL}{\widetilde {T}}_{\alpha }(f)(t)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\left[(1-\alpha )f(t)+\alpha {\frac {f\left(t+\epsilon (ta)^{1-\alpha }\right)-f(t)}{\epsilon }}\right]}$$どこ${\displaystyle a}$そして${\displaystyle t}$は実数であり、${\displaystyle a<t}$改良された適合分数階微分はどちらも、ロルの定理と内部極値定理に類似している。^{[ 26 ]}

古典的な分数階微分には以下が含まれます。

• グリュンヴァルト・レトニコフ導関数^{[ 27 ] [ 28 ]}
• ソニン・レトニコフ導関数^{[ 28 ]}
• リウヴィル微分^{[ 27 ]}
• カプート微分^{[ 27 ]}
• アダマール微分^{[ 27 ] [ 29 ]}
• マルショー微分^{[ 27 ]}
• リース誘導体^{[ 28 ]}
• ミラー・ロス微分^{[ 27 ]}
• ワイル誘導体^{[ 30 ] [ 31 ] [ 27 ]}
• Erdélyi-Kober 微分^{[ 27 ]}
• ${\displaystyle F^{\alpha }}$-誘導体^{[ 32 ]}

新しい分数階微分には以下が含まれます。

• コインブラ誘導体^{[ 27 ]}
• カトゥガンポラ誘導体^{[ 33 ]}
• ヒルファー微分^{[ 27 ]}
• デイビッドソン微分^{[ 27 ]}
• Chen誘導体^{[ 27 ]}
• カプート・ファブリツィオ微分^{[ 20 ] [ 34 ]}
• アタンガナ・バレヌ派生物^{[ 20 ] [ 21 ]}

非特異核を持つ新しい分数階微分、すなわちカプート・ファブリツィオ微分とアタンガナ・バレアヌ微分は、応用数学の文献で論争の対象となっている。^{[ 35 ] [ 36 ]}これらの微分の妥当性と応用に対して批判が向けられており、批判者はこれらの微分は整数微分または標準的なカプート分数階微分の単純な実現であるか、分数階微積分の基本定理と相容れないと主張している。^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]}

一方、その後の研究では、連続（非特異）カーネルを持つ分数階微分が制限的すぎるという主張は、過去の履歴ではなく単一時点の値を使用して分数階微分方程式を初期化することの結果であると主張されている。記憶は分数階モデルの固有の特性であるため、このような初期化は物理的にも数学的にも矛盾している。モデルの過去を正しく扱うと、非特異カーネルの不適合とされる問題はもはや発生しない。この論文は、カプート-ファブリツィオ微分やアタンガナ-バレアヌ微分などの演算子に起因する制限は、演算子からではなく、モデリングの仮定から生じると結論付けている。^{[ 40 ]}

応用分野では、非特異カーネルを持つ分数演算子が複雑な物理システムのモデリングに有用であることが実証されています。たとえば、電解セルの異常拡散に関する研究では、非特異カーネルの一種であるミッタッグ・レフラー関数に基づく導関数を組み込んだモデルが、古典的な特異カプート導関数を使用したモデルと比較して、実験インピーダンス分光データに優れた適合性を示したことがわかりました。この結果は、これらの演算子が現実世界の材料における記憶効果と異常輸送を捉えるための実用的な価値を強調しています。^{[ 41 ]} 2017年のTateishi、Ribeiro、およびLenziの研究に基づくと、非特異カーネルを持つ分数演算子は、異常拡散をモデル化するための明確なメカニズムを提供します。ミッタッグ・レフラーカーネルを持つAtangana–Baleanu–Caputo (ABC)演算子は、通常のダイナミクスからサブ拡散ダイナミクスへのクロスオーバーを生み出し、生物細胞のような複雑なシステムで観察されるパターンと一致します。対照的に、指数カーネルを持つカプート・ファブリツィオ（CF）演算子は、拡散から閉じ込められた定常状態への異なるクロスオーバーをもたらし、これは数学的には確率的リセットを伴う拡散過程と等価である。^{[ 42 ]}

カプートとファブリツィオは、彼らの演算子の数学的定義に関する批判に答えるために、システムの過去の履歴を考慮した区間[a,t)上で彼らの導関数が正しく定義されていれば、特異核を含む等価な形式で表現でき、粘塑性などの複雑な材料挙動をモデル化できると主張した。^{[ 43 ]}

カプートの意味でのアタンガナ・バレアヌ分数微分（ABC）は、古典的なカプート分数微分とは構造的に異なります。特に、ABC演算子は、カプート微分と非自明なミッタッグ・レフラー核との畳み込みとして表すことができ、これは、ABC演算子がカプート演算子の単純なスケーリングではないことを示しています。

のために ${\displaystyle 0<\alpha <1}$そして${\displaystyle f(0)=0}$カプート微分のラプラス変換は ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{{}^{C}D^{\alpha }f(t)\}(s)=s^{\alpha }F(s),}$ どこ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)}$ABC導関数は以下を満たす。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{{}^{ABC}D^{\alpha }f(t)\}(s)={\frac {1}{1-\alpha }}{\frac {s^{\alpha }}{s^{\alpha }+\lambda }}F(s),\qquad \lambda ={\frac {\alpha }{1-\alpha }}.}$$

したがって、 $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{{}^{ABC}D^{\alpha }f(t)\}(s)={\frac {1}{1-\alpha }}{\frac {1}{s^{\alpha }+\lambda }}{\mathcal {L}}\{{}^{C}D^{\alpha }f(t)\}(s).}$$

反転により、ABC微分は畳み込み形式をとる。 ${\displaystyle {}^{ABC}D^{\alpha }f(t)=\int _{0}^{t}k(t-\tau )\,{}^{C}D^{\alpha }f(\tau )\,d\tau ,}$ カーネル付き ${\displaystyle k(t)={\frac {1}{1-\alpha }}\,t^{\alpha -1}E_{\alpha {,}\alpha }(-\lambda t^{\alpha }),}$ どこ${\displaystyle E_{\alpha {,}\beta }}$は2パラメータのミッタッグ＝レフラー関数を表す。

カーネルはディラックのデルタ分布ではないため、ABC演算子はカプート演算子のスカラー倍数ではない。

のために${\displaystyle 0<\alpha <1}$そして${\displaystyle \mu \in \mathbb {C} }$カプート分数階微分は次のように定義される。

$$\displaystyle {}_{0}^{C}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}\int _{0}^{t}(t-\tau )^{-\alpha }f'(\tau )\,d\tau .}$$

1パラメータのミッタッグ＝レフラー関数

$${\displaystyle E_{\alpha }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (\alpha k+1)}},\qquad z\in \mathbb {C} ,}$$

固有関数方程式を満たす

$${\displaystyle {}_{0}^{C}D_{t}^{\alpha }E_{\alpha }(\mu t^{\alpha })=\mu \,E_{\alpha }(\mu t^{\alpha })。}$$

選択により${\displaystyle B(\alpha )=1}$正規化定数については、カプートの意味でのアタンガナ・バレアヌ微分（ABC微分）は次のように定義される。

$${\displaystyle {}_{0}^{ABC}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{0}^{t}E_{\alpha }\!{\bigl (}-\lambda (t-\tau )^{\alpha }{\bigr )}f'(\tau )\,d\tau ,\qquad \lambda ={\frac {\alpha }{1-\alpha }},\quad 0<\alpha <1.}$$

そのラプラス変換は

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{}_{0}^{ABC}D_{t}^{\alpha }f(t)\right](s)={\frac {1}{1-\alpha }}{\frac {s^{\alpha }}{s^{\alpha }+\lambda }}{\bigl (}sF(s)-f(0){\bigr )},}$$

どこ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)}$。

この演算子を適用すると${\displaystyle f(t)=E_{\alpha }(\mu t^{\alpha })}$与える

$${\displaystyle F(s)={\frac {s^{\alpha -1}}{s^{\alpha }-\mu }},\qquad f(0)=1,}$$

そのため

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{}_{0}^{ABC}D_{t}^{\alpha }E_{\alpha }(\mu t^{\alpha })\right](s)={\frac {1}{1-\alpha }}{\frac {s^{\alpha }}{s^{\alpha }+\lambda }}\left({\frac {s^{\alpha }}{s^{\alpha }-\mu }}-1\right)={\frac {1}{1-\alpha }}{\frac {\mu s^{\alpha }}{(s^{\alpha }-\mu )(s^{\alpha }+\lambda )}}.}$$

変数の部分分数分解${\displaystyle s^{\alpha }}$収量

$${\displaystyle {\frac {s^{\alpha }}{(s^{\alpha }-\mu )(s^{\alpha }+\lambda )}}={\frac {\mu }{\mu +\lambda }}{\frac {1}{s^{\alpha }-\mu }}+{\frac {\lambda }{\mu +\lambda }}{\frac {1}{s^{\alpha }+\lambda }}.}$$

したがって、

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{}_{0}^{ABC}D_{t}^{\alpha }E_{\alpha }(\mu t^{\alpha })\right](s)={\frac {\mu }{1-\alpha }}\left({\frac {\mu }{\mu +\lambda }}{\frac {1}{s^{\alpha }-\mu }}+{\frac {\lambda }{\mu +\lambda }}{\frac {1}{s^{\alpha }+\lambda }}\right).}$$

逆ラプラス変換の恒等式を用いる

$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s^{\alpha }-a}}\right\}=t^{\alpha -1}E_{\alpha ,\alpha }(at^{\alpha }),}$$

ここで、2パラメータのミッタッグ＝レフラー関数は次のように定義される。

$${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (\alpha k+\beta )}},}$$

正確な時間領域表現が得られる

$${\displaystyle {}_{0}^{ABC}D_{t}^{\alpha }E_{\alpha }(\mu t^{\alpha })={\frac {\mu }{1-\alpha }}\left({\frac {\mu }{\mu +\lambda }}\,t^{\alpha -1}E_{\alpha ,\alpha }(\mu t^{\alpha })+{\frac {\lambda }{\mu +\lambda }}\,t^{\alpha -1}E_{\alpha ,\alpha }(-\lambda t^{\alpha })\right).}$$

結果として得られる式は比例しない${\displaystyle E_{\alpha }(\mu t^{\alpha })}$したがって、カプート微分とは異なり、ABC微分は1パラメータのミッタッグ＝レフラー関数を固有関数として許容しない。

したがって、極限の場合を除いて${\displaystyle \alpha \to 0}$または${\displaystyle \alpha \to 1}$ABC 微分はスカラー倍数として表現することはできません (${\displaystyle \alpha }$カプート微分の）

の${\displaystyle a}$関数の階微分${\displaystyle f}$ある時点で${\displaystyle x}$ローカルプロパティは、${\displaystyle a}$は整数ですが、非整数べき乗微分の場合はそうではありません。言い換えれば、 の非整数分数微分は${\displaystyle f}$で${\displaystyle x=c}$すべての値に依存します${\displaystyle f}$遠く離れた場所でも${\displaystyle c}$したがって、分数階微分演算には、関数のさらに外側の情報を含む何らかの境界条件が含まれることが予想される。 ^{[ 58 ]}

次数 の関数の分数階微分${\displaystyle a}$現代ではフーリエ変換またはメリン積分変換によって定義されることが多い。^{[ 59 ]}

Erdélyi -Kober 演算子は、 Arthur Erdélyi (1940)によって導入された積分演算子です。^{[ 60 ]}およびヘルマン・コーバー(1940) ^{[ 61 ]}によって与えられます。 $${\displaystyle {\frac {x^{-\nu -\alpha +1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(t-x\right)^{\alpha -1}t^{-\alpha -\nu }f(t)\,dt\,,}$$

これは、リーマン・リウヴィル分数積分とワイル積分を一般化したものである。

WheatcraftとMeerschaert（2008）^{[ 63 ]}が述べているように、制御体積が不均一性のスケールに比べて十分に大きくなく、かつ制御体積内の流量が非線形である場合、流体の流れをモデル化するには分数質量保存方程式が必要です。参照論文では、流体の流れに対する分数質量保存方程式は次のとおりです。 $${\displaystyle -\rho \left(\nabla ^{\alpha }\cdot {\vec {u}}\right)=\Gamma (\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha }\rho \left(\beta _{s}+\phi \beta _{w}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}}$$

溶液中の基質の酸化還元挙動を研究する場合、電極表面に電圧を印加して、電極と基質間の電子移動を強制します。結果として生じる電子移動は電流として測定されます。電流は電極表面における基質の濃度に依存します。基質が消費されると、フィックの拡散法則に従って、新しい基質が電極に拡散します。フィックの第2法則をラプラス変換すると、通常の2階微分方程式が得られます（ここでは無次元形式）。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}C(x,s)=sC(x,s)}$$

その解C ( x , s )はsに対して 1/2 乗の依存性を持つ。C ( x , s )を微分し、逆ラプラス変換を行うと、次の関係が得られる。 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}C(x,t)={\frac {d^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}{dt^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}}C(x,t)}$$

これは、電極表面における基質の濃度と電流の関係を表しています。^{[ 64 ]}この関係は、電気化学反応速度論において、反応機構の解明に用いられます。例えば、電気化学的還元による基質の二量体化速度の研究に用いられてきました。^{[ 65 ]}

2013～2014年にAtanganaらは、分数階微分の概念を用いていくつかの地下水流問題を記述した。^{[ 66 ] [ 67 ]}これらの研究では、古典的なダルシーの法則は、水流をピエゾ水頭の非整数階微分の関数とみなすことで一般化されている。この一般化された法則と質量保存の法則は、地下水流の新しい方程式を導出するために使用される。

この方程式は、不均質な多孔質媒体における汚染物質の流れをモデル化するのに有用であることが示されている。^{[ 68 ] [ 69 ] [ 70 ]}

AtanganaとKilicmanは、分数階移流分散方程式を可変次数方程式に拡張した。彼らの研究では、変分次数微分の概念を用いて流体力学的分散方程式を一般化した。修正された方程式は、 Crank–Nicolson法を用いて数値的に解かれた。数値シミュレーションにおける安定性と収束性から、修正された方程式は、定数分数階微分や整数階微分を用いた方程式よりも、変形可能な帯水層における汚染物質の移動を予測する上で信頼性が高いことが示された。^{[ 71 ]}

複雑な媒体における異常拡散過程は、分数階拡散方程式モデルを用いることで適切に特徴づけることができる。^{[ 72 ] [ 73 ]}時間微分項は長時間におけるヘビーテール減衰に対応し、空間微分項は拡散の非局所性に対応する。時間空間分数階拡散支配方程式は次のように記述できる。 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial t^{\alpha }}}=-K(-\Delta )^{\beta }u.}$$

分数階微分の単純な拡張として、可変次数分数階微分があり、αとβはα ( x , t )とβ ( x , t )に変更されます。異常拡散モデリングにおけるその応用については、参考文献^{[ 71 ] [ 74 ] [ 75 ]}を参照してください。

分数階微分は、ポリマーなどの特定の種類の材料における粘弾性減衰をモデル化するために使用されます。 ^{[ 12 ]}

PIDコントローラを分数階微分器を使用するように一般化すると、自由度が増加する。制御変数u ( t )と測定誤差値e ( t )の関係を表す新しい式は次のように書ける。 $${\displaystyle u(t)=K_{\mathrm {p} }e(t)+K_{\mathrm {i} }D_{t}^{-\alpha }e(t)+K_{\mathrm {d} }D_{t}^{\beta }e(t)}$$

ここで、αとβは正の分数階数であり、K _p、K _i、K _dはすべて非負であり、それぞれ比例項、積分項、微分項の係数を表す（P、I、Dと表記されることもある）。^{[ 76 ]}

生体組織などの複雑な媒質における音波の伝播は、一般的に周波数べき乗則に従う減衰を伴う。このような現象は、分数時間微分を含む因果波動方程式を用いて記述することができる。 $${\displaystyle \nabla ^{2}u-{\dfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\tau _{\sigma }^{\alpha }{\dfrac {\partial ^{\alpha }}{\partial t^{\alpha }}}\nabla ^{2}u-{\dfrac {\tau _{\epsilon }^{\beta }}{c_{0}^{2}}}{\dfrac {\partial ^{\beta +2}u}{\partial t^{\beta +2}}}=0\,.}$$

Holm & Näsholm (2011) ^{[ 77 ]}およびその参考文献も参照してください。このようなモデルは、多重緩和現象が複雑な媒体で測定される減衰を引き起こすという、一般的に認められている仮説と関連しています。この関連性については、Näsholm & Holm (2011b) ^{[ 78 ]}および調査論文^{[ 79 ]}、さらに音響減衰に関する記事で詳しく説明されています。べき乗則減衰をモデル化する分数波動方程式を比較した論文については、Holm & Nasholm (2013) ^{[ 80 ]}を参照してください。べき乗則減衰に関するこの書籍でも、このトピックについてより詳細に解説しています。^{[ 81 ]}

パンディとホルムは、物理原理から分数微分方程式を導出し、流体飽和粒状未固結海洋堆積物などの音響媒体のパラメータの観点から分数階を解釈することにより、分数微分方程式に物理的な意味を与えた。^{[ 82 ]}興味深いことに、パンディとホルムは、分数微積分学の枠組みを使用して、地震学におけるロムニッツの法則と非ニュートンレオロジーにおけるナッティングの法則を導出した。 ^{[ 83 ]}ナッティングの法則は、分数微分を使用して海洋堆積物中の波動伝播をモデル化するために使用された。^{[ 82 ]}

分数量子力学の基本方程式である分数シュレーディンガー方程式は、次の形式をとります。^{[ 84 ] [ 85 ]}$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D_{\alpha }\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)\,.}$$

ここで、方程式の解は波動関数ψ ( r , t )であり、これは任意の時刻tにおいて粒子が特定の位置ベクトルrを持つ量子力学的確率振幅であり、ħは換算プランク定数である。ポテンシャルエネルギー関数V ( r , t )はシステムに依存する。

さらに遠く、${\textstyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}}$はラプラス演算子であり、D _αは物理次元[ D _α ] = J ^{1 − α} ·m ^α ·s ^{− α} = kg ^{1 − α} ·m ^{2 − α} ·s ^{α − 2}のスケール定数( α = 2において、${\textstyle D_{2}={\frac {1}{2m}}}$質量mの粒子の場合、演算子(− ħ ² Δ) ^{α /2}は、次のように定義される 3 次元分数量子リース微分である。 $${\displaystyle (-\hbar ^{2}\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3}}}\int d^{3}pe^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }|\mathbf {p} |^{\alpha }\varphi (\mathbf {p} ,t)\,.}$$

分数シュレディンガー方程式の指数αはレヴィ指数であり、1 < α ≤ 2 である。

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