本質的な特異点

複素解析において、関数の本質的特異点とは、関数がその近傍で顕著な振る舞いを示す「深刻な」特異点のことである。

本質的特異点というカテゴリーは、特に扱いにくい孤立した特異点の「残余」またはデフォルトのグループです。定義上、何らかの方法で対処できる他の2つの特異点のカテゴリー（除去可能な特異点と極）のどちらにも当てはまりません。実際には、非孤立特異点も含まれる場合があります。それらは残余を持ちません。

開集合を考える${\displaystyle U}$複素平面の${\displaystyle \mathbb {C} }$⁠。${\displaystyle a}$要素である${\displaystyle U}$⁠、そして${\displaystyle f:U\smallsetminus \{a\}\to \mathbb {C} }$正則関数。点${\displaystyle a}$関数の本質的特異点と呼ばれる${\displaystyle f}$特異点が極でも除去可能な特異点でもない場合。

例えば、関数${\displaystyle f(z)=e^{1/z}}$に本質的な特異点がある${\displaystyle z=0}$⁠ .

させて${\displaystyle a}$は複素数であり、${\displaystyle f(z)}$定義されていません${\displaystyle a}$しかし、ある領域では解析的である${\displaystyle U}$複素平面の、そしてすべての開い た近隣${\displaystyle a}$空でない共通部分を持つ⁠${\displaystyle U}$⁠ .

• 両方${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$そして${\displaystyle \lim _{z\to a}{1}/{f(z)}}$存在するならば、${\displaystyle a}$両方の除去可能な特異点${\displaystyle f}$そして​$\displaystyle {1}/{f}}$⁠ .
• もし${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$存在するが${\displaystyle \lim _{z\to a}{1}/{f(z)}}$存在しません（$\lim_{z\to a}\left\vert{1}/{f(z)}\right\vert =\infty }$⁠ )、それから${\displaystyle a}$ゼロです​${\displaystyle f}$そして、棒状の$\displaystyle {1}/{f}}$⁠ .
• もし${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$存在しない（実際には${\displaystyle {1}}$⁠ ) しかし${\displaystyle \lim _{z\to a}{1}/{f(z)}}$存在するならば、${\displaystyle a}$は極です${\displaystyle f}$そしてゼロ​​$\displaystyle {1}/{f}}$⁠ .
• どちらも${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$または${\displaystyle \lim _{z\to a}{1}/{f(z)}}$存在するならば、${\displaystyle a}$両方の本質的な特異点${\displaystyle f}$そして​$\displaystyle {1}/{f}}$⁠ .

本質的特異点を特徴付けるもう 1 つの方法は、ローラン級数が${\displaystyle f}$その時点で${\displaystyle a}$無限に多くの負の次数項を持つ（つまり、ローラン級数の主項は無限和である）。関連する定義として、点が存在する場合${\displaystyle a}$そのために${\displaystyle f(z)(za)^{n}}$任意の整数に対して微分可能ではない${\displaystyle n>0}$⁠、それから${\displaystyle a}$は、の本質的な特異点である。${\displaystyle f}$⁠ . ^{[ 1 ]}

無限遠点を持つリーマン球面上で、${\displaystyle \infty _{\mathbb {C} }}$⁠、関数${\displaystyle {f(z)}}$その点に本質的な特異点があるのは、${\displaystyle {f(1/z)}}$に本質的な特異点がある${\displaystyle 0}$⁠ : つまりどちらでもない${\displaystyle \lim _{z\to 0}{f(1/z)}}$または${\displaystyle \lim _{z\to 0}{1}/{f(1/z)}}$存在する。^{[ 2 ]}リーマン球面上のリーマンゼータ関数は、唯一の本質的な特異点を持ち、それはにある。${\displaystyle \infty _{\mathbb {C} }}$⁠ . ^{[ 3 ]}実際、有理関数以外のすべての有理型関数は、 ⁠に固有の特異点を持つ${\displaystyle \infty _{\mathbb {C} }}$⁠ .

正則関数の本質的特異点近傍での振る舞いは、カソラティ・ワイエルシュトラスの定理と、それよりはるかに強力なピカールの大定理によって記述される。後者は、本質的特異点のあらゆる近傍において、${\displaystyle a}$⁠、関数${\displaystyle f}$は、おそらく1つを除いて、すべての複素数値を無限回取ります。（例外は必要です。たとえば、関数${\displaystyle \exp(1/z)}$価値を決して獲得しない${\displaystyle 0}$⁠ .)

• スティーブン・ウルフラム著『本質的な特異点』（ウルフラム・デモンストレーションズ・プロジェクト）。
• 数学惑星における本質的な特異点