線形性

数学では、線形写像または線形関数f ( x ) は、次の 2 つの性質を満たす関数です。^{[ 1 ]}

• 加法性: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )。
• 1次の同次性:すべてのαに対してf (αx ) = αf ( x )が成り立つ。

これらの性質は重ね合わせの原理として知られています。この定義では、x は必ずしも実数ではなく、一般に任意のベクトル空間の要素になり得ます。線形関数のより特殊な定義は、線形写像の定義とは一致せず、初等数学で使用されます（下記参照）。

加法性のみで有理数αの同次性が導かれる。${\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}$暗示する${\displaystyle f(nx)=nf(x)}$任意の自然数nに対して数学的帰納法によって、そして${\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)}$暗示する${\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)}$実数における有理数の密度は、任意の加法連続関数が任意の実数 α に対して同次であり、したがって線形であることを意味する。

線形性の概念は、線形演算子にも拡張できます。線形演算子の重要な例としては、微分演算子として考えられる導関数や、そこから構成される他の演算子（ delやラプラシアンなど）が挙げられます。微分方程式が線形形式で表現できる場合、一般的には、方程式をより小さな部分に分割し、それぞれの部分を解き、それらの解を合計することで解くことができます。

上記の定義とは異なる用法では、 1次の多項式は、その形式の関数のグラフが直線であるため、線形であると言われる。 ^{[ 2 ]}

実数体上の線形方程式の簡単な例を以下に示す。 $${\displaystyle y=mx+b,}$$ ここで、mは傾きまたは勾配と呼ばれ、bはy切片であり、関数のグラフとy軸との交点を示します 。

ここでいう「線形」という用語は、上記のセクションとは異なることに注意してください。なぜなら、実数上の線形多項式は一般に加法性も斉次性も満たさないからです。実際、加法性や斉次性を満たすのは、定数項（例ではb ）が0の場合のみです。b ≠ 0 の場合、その関数はアフィン関数と呼ばれます（より一般的にはアフィン変換を参照）。   

線形代数は、線形方程式系を扱う数学の一分野である。

ブール代数では、線形関数は関数である${\displaystyle f}$存在する${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}}$そのため

${\displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})}$、 どこ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.}$

注意：${\displaystyle a_{0}=1}$上記の関数は線形代数においてアフィン関数（つまり線形ではない）とみなされます。

ブール関数は、その関数の真理値表において以下のいずれかが成り立つ場合、線形である。

1. 関数の真偽値がTである行では、引数に奇数個の T が割り当てられ、関数がFである行では、引数に偶数個の T が割り当てられます。具体的には、f (F, F, ..., F) = F であり、これらの関数はブールベクトル空間上の線形写像に対応します。
2. 関数の値が T である行では、関数の引数に偶数個の T が割り当てられ、関数の真偽値がF である行では、引数に奇数個の T が割り当てられます。この場合、f (F, F, ..., F) = T となります。

これを別の言い方で表現すると、各変数は演算の真偽値に必ず影響を与えるか、あるいは全く影響を与えないかのどちらかである。

否定、論理双条件、排他的論理和、同義反復、矛盾は線形関数である。

ある量を別の量に変換する電子機器（またはその他の物理デバイス）について、バートラム・S・コルツは次のように書いています。^{[ 5 ] [ 6 ]}

一般的に用いられる積分直線性には、独立直線性、ゼロベース直線性、終端直線性（または終点直線性）の3つの基本的な定義があります。いずれの場合も、直線性とは、特定の動作範囲におけるデバイスの実際の性能がどれだけ直線に近似しているかを定義するものです。直線性は通常、理想的な直線からの偏差、つまり非直線性として測定され、一般的にはフルスケールのパーセント、またはフルスケールのppm（百万分率）で表されます。通常、直線はデータの最小二乗近似によって得られます。これら3つの定義は、直線が実際のデバイス性能に対してどの位置にあるかという点で異なります。また、これら3つの定義はすべて、実際のデバイス性能特性に存在する可能性のあるゲイン誤差やオフセット誤差を無視しています。