中間値の定理

この定理は、実数の完全性の性質の結果として次のように証明できます。 ^{[ 3 ]}

最初のケースを証明します。${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$2番目のケースも同様です。

1. させて${\displaystyle S}$すべての集合である${\displaystyle x\in [a,b]}$そのため${\displaystyle f(x)<u}$。
2. それから${\displaystyle S}$空ではないので${\displaystyle a}$は${\displaystyle S}$。
3. 以来${\displaystyle S}$空ではなく、上に境界がある${\displaystyle b}$完全性によって、至高の存在${\displaystyle c=\sup S}$存在する。つまり、${\displaystyle c}$は、すべてのメンバー以上の最小の数です。${\displaystyle S}$。

連続性のため、${\displaystyle f}$で${\displaystyle a}$そうすれば${\displaystyle f(x)}$いずれの場合でも${\displaystyle \varepsilon >0}$の${\displaystyle f(a)}$維持することによって${\displaystyle x}$十分に近い${\displaystyle a}$。 以来${\displaystyle f(a)<u}$は厳密な不等式です。次の場合の意味を考えてください。${\displaystyle \varepsilon }$間の距離は${\displaystyle u}$そして${\displaystyle f(a)}$。 いいえ${\displaystyle x}$十分に近い${\displaystyle a}$そうすれば${\displaystyle f(x)}$以上${\displaystyle u}$つまり、より大きい値が存在するということです。${\displaystyle a}$で${\displaystyle S}$より詳細な証明は次のようになります。

1. 選ぶ${\displaystyle \varepsilon =uf(a)>0}$。 それから${\displaystyle \exists \delta >0}$そのため${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$、$${\displaystyle |xa|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<uf(a)\implies f(x)<u.}$$
2. 区間を考慮する${\displaystyle [a,\min(a+\delta ,b))=I_{1}}$注目してください${\displaystyle I_{1}\subseteq [a,b]}$そしてすべての${\displaystyle x\in I_{1}}$条件を満たす${\displaystyle |xa|<\delta }$したがって、すべての${\displaystyle x\in I_{1}}$我々は持っています${\displaystyle f(x)<u}$したがって${\displaystyle c}$できない${\displaystyle a}$。

同様に、${\displaystyle f}$で${\displaystyle b}$そうすれば${\displaystyle f(x)}$いずれの場合でも${\displaystyle \varepsilon >0}$の${\displaystyle f(b)}$維持することによって${\displaystyle x}$十分に近い${\displaystyle b}$。 以来${\displaystyle u<f(b)}$は厳密な不等式であり、同様の含意を次の場合に考慮します。${\displaystyle \varepsilon }$間の距離は${\displaystyle u}$そして${\displaystyle f(b)}$。 毎${\displaystyle x}$十分に近い${\displaystyle b}$すると、${\displaystyle f(x)}$より大きい${\displaystyle u}$つまり、より小さい値が存在するということです。${\displaystyle b}$これらは上限です${\displaystyle S}$より詳細な証明は次のようになります。

1. 選ぶ${\displaystyle \varepsilon =f(b)-u>0}$。 それから${\displaystyle \exists \delta >0}$そのため${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$、$${\displaystyle |xb|<\delta \implies |f(x)-f(b)|<f(b)-u\implies f(x)>u.}$$
2. 区間を考慮する${\displaystyle (\max(a,b-\delta ),b]=I_{2}}$注目してください${\displaystyle I_{2}\subseteq [a,b]}$そしてすべての${\displaystyle x\in I_{2}}$条件を満たす${\displaystyle |xb|<\delta }$したがって、すべての${\displaystyle x\in I_{2}}$我々は持っています${\displaystyle f(x)>u}$したがって${\displaystyle c}$できない${\displaystyle b}$。

と${\displaystyle c\neq a}$そして${\displaystyle c\neq b}$そうに違いない${\displaystyle c\in (a,b)}$では、私たちはこう主張します。${\displaystyle f(c)=u}$。

いくつか修正する${\displaystyle \varepsilon >0}$。 以来${\displaystyle f}$連続${\displaystyle c}$、${\displaystyle \exists \delta _{1}>0}$そのため${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$、${\displaystyle |xc|<\delta _{1}\implies |f(x)-f(c)|<\varepsilon }$。

以来${\displaystyle c\in (a,b)}$そして${\displaystyle (a,b)}$開いています、${\displaystyle \exists \delta _{2}>0}$そのため${\displaystyle (c-\delta _{2},c+\delta _{2})\subseteq (a,b)}$。 セット${\displaystyle \delta =\min(\delta _{1},\delta _{2})}$すると、

$${\displaystyle f(x)-\varepsilon <f(c)<f(x)+\varepsilon }$$ すべての人々のために${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$至高の性質により、${\displaystyle a^{*}\in (c-\delta ,c]}$含まれている${\displaystyle S}$、 など $${\displaystyle f(c)<f(a^{*})+\varepsilon <u+\varepsilon .}$$ ピッキング${\displaystyle a^{**}\in (c,c+\delta )}$私たちは知っている${\displaystyle a^{**}\not \in S}$なぜなら${\displaystyle c}$は最高位である${\displaystyle S}$これはつまり $${\displaystyle f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \geq u-\varepsilon .}$$ 両方の不平等 $${\displaystyle u-\varepsilon <f(c)<u+\varepsilon }$$

すべての${\displaystyle \varepsilon >0}$そこから我々は推論する${\displaystyle f(c)=u}$記載されているとおり、それが唯一可能な値です。

私たちは次のケースのみを証明します${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$として、${\displaystyle f(a)>u>f(b)}$同様のケースもある。^{[ 4 ]}

1. 定義する${\displaystyle g(x)=f(x)-u}$これは以下と同等です${\displaystyle f(x)=g(x)+u}$そして書き直しましょう${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$として${\displaystyle g(a)<0<g(b)}$私たちはそれを証明しなければならない${\displaystyle g(c)=0}$ 一部の人にとって${\displaystyle c\in [a,b]}$さらに、集合を定義します。${\displaystyle S=\{x\in [a,b]:g(x)\leq 0\}}$。
2. なぜなら${\displaystyle g(a)<0}$私たちは知っている、${\displaystyle a\in S}$となることによって${\displaystyle S}$空ではありません。
3. さらに、${\displaystyle S\subseteq [a,b]}$私たちは知っている${\displaystyle S}$は有界かつ空ではないので、完全性により、${\displaystyle c=\sup(S)}$存在する。
4. 値には 3 つのケースがあります${\displaystyle g(c)}$それらは${\displaystyle g(c)<0,g(c)>0}$そして${\displaystyle g(c)=0}$矛盾を生じさせるために、次のように仮定してみましょう。${\displaystyle g(c)<0}$。
5. 連続性の定義によれば、${\displaystyle \epsilon =0-g(c)}$存在する${\displaystyle \delta >0}$そのため${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$それは、${\displaystyle |g(x)-g(c)|<-g(c)}$これは、${\displaystyle g(x)<0}$。
   1. もし私たちがただ選んだら${\displaystyle x=c+{\frac {\delta }{N}}}$、 どこ${\displaystyle N>{\frac {\delta }{b-c}}+1}$すると、${\displaystyle 1<N}$、${\displaystyle x<c+\delta }$そこから我々は${\displaystyle g(x)<0}$そして${\displaystyle c<x<b}$、 それで${\displaystyle x\in S}$。
   2. しかし、${\displaystyle x>c}$事実と矛盾するが${\displaystyle c}$は上限です${\displaystyle S}$、 それで${\displaystyle g(c)\geq 0}$。
6. それでは、${\displaystyle g(c)>0}$私たちも同様に${\displaystyle \epsilon =g(c)-0}$そして、存在することを知ってください${\displaystyle \delta >0}$そのため${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$暗示する${\displaystyle |g(x)-g(c)|<g(c)}$. これを次のように書き換えることができます。${\displaystyle -g(c)<g(x)-g(c)<g(c)}$つまり、${\displaystyle g(x)>0}$。
   1. 今選択するなら${\displaystyle x=c-{\frac {\delta }{2}}}$、 それから${\displaystyle g(x)>0}$そして${\displaystyle a<x<c}$。
   2. したがって、${\displaystyle x}$は上限値です${\displaystyle S}$。
   3. しかし、${\displaystyle x<c}$これは、最小上界の最小性質に矛盾する。${\displaystyle c}$つまり、${\displaystyle g(c)>0}$不可能だ。
7. 両方の結果を組み合わせると、次のようになります。${\displaystyle g(c)=0}$または${\displaystyle f(c)=u}$それが唯一残された可能性だ。

注記：中間値の定理は、非標準解析の方法を用いて証明することもでき、これにより、無限小に関する「直感的な」議論が厳密な 根拠に裏付けられる。^{[ 5 ]}

ポアンカレ・ミランダの定理は、中間値の定理を（1次元の）区間から（2次元の）長方形、あるいはより一般的にはn次元の立方体に一般化したものである。

Vrahatis ^{[ 12 ]}は、三角形、より一般的にはn次元単体への同様の一般化を示しています。D n^を、 v ₀、...、v _nで表されるn +1 個の頂点を持つn次元単体とします。F =( f ₁、...、f _n )を、 D ⁿからR ⁿへの連続関数で、 D ⁿの境界で 0 にならないものとします。Fが次の条件を満たすとします。

• 1,..., nのすべてのiについて、 v _iの反対側の面上のすべての点xについて、 f _i ( v _i )の符号はf _i ( x )の符号と反対になります。
• v ₀上のf ₁ ,..., f _nの符号ベクトルは、v ₀ の反対側の面上のすべての点におけるf ₁ ,..., f _nの符号ベクトルとは等しくない。

すると、 D ⁿの内部にF ( z )=(0,...,0)となる点zが存在する。

すべてのiに対してf _i ( v _i )>0となるようにf _iを正規化することが可能です。そうすると条件はより単純になります。

• 1,..., nのすべてのiについて、f _i ( v _i )>0 であり、v _iの反対側の面上のすべての点xについてf _i ( x )<0 である。特に、f _i ( v ₀ )<0 である。
• v _{0 の}反対側の面上のすべての点xに対して、1,..., nの少なくとも 1 つのiに対してf _i ( x )>0 が成り立つ。

この定理は、Knaster–Kuratowski–Mazurkiewiczの補題に基づいて証明できます。Inは、固定点と零点の近似に使用できます。^{[ 13 ]}

中間値の定理は、連結性という位相幾何学的概念と密接に関連しており、距離空間における連結集合、特に実数空間Rの連結部分集合の基本的な性質から導かれる。

• もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$距離空間である、${\displaystyle f\colon X\to Y}$は連続マップであり、${\displaystyle E\subset X}$連結部分集合である場合、${\displaystyle f(E)}$接続されています。（*）
• サブセット${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$接続されるのは、以下の性質を満たす場合に限る。${\displaystyle x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E}$（**）

実際、連結性は位相的性質であり、(*)は位相空間に一般化される。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$位相空間であり、${\displaystyle f\colon X\to Y}$は連続マップであり、${\displaystyle X}$接続された空間である場合、${\displaystyle f(X)}$連結性がある。連続写像による連結性の保持は、実変数の 連続実数値関数の性質である中間値の定理を、一般空間の連続関数に一般化したものと考えることができる。

先に述べた中間値の定理の最初のバージョンを思い出してください。

中間値の定理は、連結性のこれら 2 つの性質の直接的な結果である。^{[ 14 ]}

中間値の定理は自然な形で一般化される。Xを連結位相空間とし、( Y , <) を順序位相を備えた全順序集合とし、f : X → Yを連続写像とする。aとbを Xの2 点とし、u を<に関してf ( a )とf ( b )の間にあるYの点とすると、 f ( c ) = uとなるようなc がXに存在する。Rが連結であり、その自然な位相が順序位相であることに注目すると、元の定理が再現される。 

ブロウワーの不動点定理は、関連する定理であり、一次元の場合、中間値の定理の特殊なケースを与える。