広義積分

数学解析において、広義積分は、定積分の概念を、その種の積分の通常の仮定に違反する場合に拡張したものです。^{[ 1 ]}リーマン積分（または同等のダルブー積分）の文脈では、これは通常、積分を行う集合または被積分関数（積分される関数）のいずれか、またはその両方の非有界性に関係します。また、有界だが閉集合ではない、または有界だが連続ではない関数にも関係する場合があります。広義積分は通常、標準的な定積分と同じように記号で表されますが、実際には定積分の極限またはそのような極限の和を表します。したがって、広義積分は収束または発散すると言われます。^{[ 2 ] [ 1 ]}通常の定積分（後付けで適切な積分と呼ばれることもあります）を広義積分であるかのように計算すると、同じ答えが得られます。

単一変数の実数値関数をリーマン（またはダルブー）の意味で単一区間にわたって積分する最も単純な場合、広義積分は次のいずれかの形式をとる可能性があります。

1. ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$
2. ${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx}$
3. ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}$
4. ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$、 どこ${\displaystyle f(x)}$どこかで未定義または不連続です${\displaystyle [a,b]}$

最初の3つの形式は、積分が無限区間で行われるため不適切です。（後述するように、他の理由で不適切になる場合もあります。）被積分関数が積分の仮定を満たす場合、このような積分は「第一種」または「第1種」と呼ばれることがあります。^{[ 2 ]} 4番目の形式の積分は、次の理由で不適切です。${\displaystyle f(x)}$区間のどこかに垂直漸近線がある${\displaystyle [a,b]}$は「第二種」または「第2の種類」と表現されることがある。^{[ 2 ]}両方のタイプの要素を組み合わせた積分は、「第三種」または「第3の種類」と表現されることがある。^{[ 2 ]}

上記の各ケースにおいて、積分が不適切である原因に応じて、1つ以上の制限を用いて不適切積分を書き直す必要があります。たとえば、ケース1では、${\displaystyle f(x)}$区間全体で連続している${\displaystyle [a,\infty )}$、 それから

$\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

右側の極限は、左側の積分記号の定義とみなされる。

もし${\displaystyle f(x)}$は、${\displaystyle (a,\infty )}$そして、${\displaystyle a}$それ自体、そして通常は次のように書き換えられます。

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to a^{+}}\int _{t}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}$

任意の選択${\displaystyle c>a}$。ここで、広義積分が収束すると言われるためには、両方の極限が有限値に収束しなければならない。この要件は、正と負の無限大を加えるという曖昧なケース（つまり、「${\displaystyle \infty -\infty }$（不定形）。あるいは、反復極限またはコーシー主値に基づく単一の極限を使用することもできます。

もし${\displaystyle f(x)}$連続している${\displaystyle [a,d)}$そして${\displaystyle (d,\infty )}$不連続性がある場合${\displaystyle d}$、 それから

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to d^{-}}\int _{a}^{t}f(x)\,dx+\lim _{u\to d^{+}}\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}$

任意の選択${\displaystyle c>d}$不定形、反復極限、コーシー主値に関する前述の考察は、ここでも当てはまります。

機能${\displaystyle f(x)}$不連続性がさらに増える可能性があり、その場合はさらに多くの制限が必要になります（または、より複雑な主値表現が必要になります）。

ケース2～4も同様に処理されます。以下の例を参照してください。

広義積分は、複素数、高次元、およびルベーグ積分やヘンストック・クルツヴァイル積分などの他の理論的枠組みにおいても評価できます。ある枠組みでは広義積分とみなされる積分が、他の枠組みではそうでない場合もあります。

リーマン積分の本来の定義は、次のような関数には適用されません。${\displaystyle 1/{x^{2}}}$区間[ 1, ∞)上では、この場合、積分領域は非有界となる。しかし、リーマン積分は、広義積分を極限として定義することにより、連続性によって拡張できる場合が多い。

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\left(-{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{1}}\right)=1.}$

リーマン積分の狭義の定義では関数もカバーされない${\textstyle 1/{\sqrt {x}}}$区間[ 0, 1 ]において。ここでの問題は、被積分関数が積分領域内で有界でないことです。言い換えれば、リーマン積分の定義では、積分領域と被積分関数の両方が有界である必要があります。しかし、広義積分は、極限として理解すれば存在します。

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\left(2-2{\sqrt {a}}\right)=2.}$

積分には、不適切となる特異点が 2 つ存在する場合があります。たとえば、関数1/(( x + 1) √ x )を 0 から∞まで積分した場合を考えてみましょう (右図参照)。積分領域の下限では、x が0 に近づくと関数は∞に近づき、上限は∞ですが、関数は 0 に近づきます。したがって、これは二重に不適切です。たとえば、1 から 3 まで積分する場合、通常のリーマン和でπ /6という結果が得られます。1 から∞まで積分する場合、リーマン和は使用できません。しかし、任意の有限の上限、たとえばt ( t > 1 ) では、 2 arctan( √ t ) − π/2 という明確な結果が得られます。これは、 t が無限大に近づくと有限の極限、つまりπ /2 を持ちます。同様に、1/3 から 1 までの積分もリーマン和を許容し、偶然にも再びπ /6 を生成します。1/3 を任意の正の値s ( s < 1 ) で置き換えることも同様に安全で、π/2 − 2 arctan( √ s )となります。これもまた、 s がゼロに近づくにつれて有限の極限、すなわちπ /2 を持ちます。2 つの断片の極限を組み合わせると、この広義積分の結果は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}&{}=\lim _{s\to 0^{+}}\int _{s}^{1}{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}+\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0^{+}}\left({\frac {\pi }{2}}-2\arctan {\sqrt {s}}\right)+\lim _{t\to \infty }\left(2\arctan {\sqrt {t}}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}+\left(\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}=\pi .\end{aligned}}}$

このプロセスは必ずしも成功を保証するものではありません。極限が存在しない場合や、無限大になる場合もあります。例えば、0から1までの有界区間では1/ xの積分は収束しません。また、1から∞までの無界区間では1/ √xの積分は収束しません。

被積分関数が内部点付近で有界でない場合もあり、その場合はその点で積分を分割する必要があります。積分全体が収束するためには、両辺の極限積分が存在し、かつ有界でなければなりません。例えば、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}&{}=\lim _{s\to 0^{-}}\int _{-1}^{s}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}+\lim _{t\to 0^{+}}\int _{t}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0^{-}}3\left(1-{\sqrt[{3}]{-s}}\right)+\lim _{t\to 0^{+}}3\left(1-{\sqrt[{3}]{t}}\right)\\&{}=3+3\\&{}=6.\end{aligned}}}$

しかし、同様の積分

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}}$

積分領域内のゼロより上と下の積分は独立して収束しないため、この方法で値を割り当てることはできません。（ただし、コーシーの主値を参照してください。）

広義積分は、それを定義する極限が存在する場合に収束する。したがって、例えば広義積分は次のように言う。

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\ dx}$

十分大きなすべてのtに対して極限内の積分が存在し、極限の値がLに等しい場合、 が存在し、Lに等しくなります。

広義積分が無限大に発散することもあります。その場合、積分に ∞ (または −∞) の値を割り当てることができます。例えば

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\infty .}$

しかし、他の不適切な積分は、例えば、特定の方向に発散しないだけかもしれない。

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}x\sin(x)\,dx,}$

これは、拡張実数としても存在しない。これは振動による発散と呼ばれる。

不適切積分法の制約は、極限を一度に1つの端点に関して取らなければならないことである。したがって、例えば、次の形式の不適切積分は

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}$

は、2 つの別々の極限を取ることによって定義できます。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

ただし、二重極限は有限である。また、これは、異なる一対の第一種広義積分として定義することもできる。

${\displaystyle \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx}$

ここで、 c は積分を開始する任意の都合の良い点である。この定義は、これらの積分のうち一方が無限大の場合、または両方の積分が同じ符号を持つ場合にも適用される。

両端が無限大となる広義積分の例として、ガウス積分が挙げられる。${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$無限大に評価される例は次のとおりです。${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{x}\,dx}$しかし、このような他の積分を明確に定義することさえできない。${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx}$二重極限は無限大であり、 2積分法

${\displaystyle \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}x\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}x\,dx}$

不定形を生成する、${\displaystyle \infty -\infty }$ただし、この場合、コーシー主値の意味で広義積分を定義することができる。

${\displaystyle \operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{-b}^{b}x\,dx=0.}$

広義積分を決定する際に検討すべき事項は以下のとおりです。

• その限界は存在するのか？
• 極限値を計算できますか？

最初の問題は数学的解析の問題です。2番目の問題は微積分法で解くことができますが、場合によっては複素積分、フーリエ変換、その他のより高度な手法を用いることもできます。

積分理論は複数存在する。微積分学の観点からは、通常、リーマン積分理論が標準的な理論として用いられる。広義積分を用いる場合、どの積分理論を用いるかが重要になることがある。

• リーマン積分（またはそれと同等のダルブー積分）の場合、不適切積分は、区間が非有界である場合（区間を有限長の有限個の小区間に分割できないため）、および積分が有限である非有界関数の場合（関数が上に非有界であると仮定すると、上の積分は無限大になりますが、下の積分は有限になるため）の両方で必要になります。
• ルベーグ積分は、非有界領域と非有界関数を異なる方法で扱うため、多くの場合、不適切リーマン積分としてのみ存在する積分が、(適切な)ルベーグ積分として存在します。${\textstyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}}$一方、リーマン積分は不適切だがルベーグ積分（適切な積分）を持たない積分もある。例えば、${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx}$ルベーグ理論ではこれを欠点とは見なさない。測度論の観点からすると、${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\infty -\infty }$そして、満足に定義することはできません。しかし、場合によっては、例えばコーシー主値を定義する場合のように、不適切なルベーグ積分を用いると便利なことがあります。ルベーグ積分は、実数全体にわたる積分が広く用いられるフーリエ変換の理論的取り扱いにおいて、多かれ少なかれ不可欠です。
• ヘンストック・クルツヴァイル積分の場合、不適切積分は必要なく、これはこの理論の強みと見なされています。この理論は、すべてのルベーグ積分可能関数と不適切リーマン積分可能関数を包含します。

場合によっては、積分

${\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\ dx}$

は、極限を参照せずに積分（例えばルベーグ積分）として定義できる。

${\displaystyle \lim _{b\to c^{-}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

しかし、それ以外では容易に計算することはできません。これは、 aからcまで積分される関数fがcで垂直漸近線を持つ場合、またはc = ∞ の場合によく起こります (図 1 および 2 を参照)。このような場合、不適切リーマン積分によって関数のルベーグ積分を計算できます。具体的には、次の定理が成り立ちます ( Apostol 1974 、定理 10.33)。  

• 関数fがすべてのb ≥ aに対して [ a , b ]上でリーマン積分可能であり、部分積分が  

${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}$

b → ∞のとき、広義リーマン積分 は  

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx,\quad {\mbox{and }}\int _{a}^{\infty }|f(x)|\,dx}$

両方とも存在する。さらに、fは [ a , ∞)上でルベーグ積分可能であり、そのルベーグ積分は広義リーマン積分に等しい。

例えば、積分

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}}$

は、別の解釈では広義積分として表すことができる。

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\arctan {b}={\frac {\pi }{2}},}$

あるいは、これは集合 (0, ∞) 上のルベーグ積分として解釈することもできます。これらの積分はどちらも一致するため、最終的にルベーグ積分として扱う場合でも、積分の値を計算するには最初の方法を選択しても構いません。このように、広義積分は積分の実際の値を求めるための有用なツールであることは明らかです。

しかし、他のケースでは、 fの正の部分と負の部分の積分が両方とも無限大であるため、有限端点間のルベーグ積分は定義されない場合もありますが、広義のリーマン積分は存在する可能性があります。このようなケースは「真に広義の」積分と呼ばれ、その値は極限としてのみ定義できます。たとえば、

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$

ルベーグ積分として解釈することはできない。なぜなら

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\,dx=\infty .}$

しかし${\displaystyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$しかしながら、任意の2つの有限端点間では積分可能であり、0から∞までの積分は通常、極限として理解される。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

広義積分の特異点について語ることができる。これは、拡張された実数直線上で極限が用いられる点を意味する。

2つの極限値の差を考えてみましょう。

${\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=0,}$

${\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{2a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=-\ln 2.}$

前者は、そうでなければ定義が曖昧な式のコーシー主値である。

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).}$

同様に、

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=0,}$

しかし

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=-\ln 4.}$

前者は、そうでなければ定義が曖昧な表現の主要な価値である。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).}$

上記のすべての極限は不定形のケースである${\displaystyle \infty -\infty }$。

これらの異常は、「ルベーグ積分可能」な関数、すなわち、その絶対値の積分が有限である関数には影響を与えません。

広義積分は、それを定義する極限が存在しないという意味で発散することがあります。このような場合、広義積分の収束値を求めることができる、より洗練された極限の定義が存在します。これらは総和法と呼ばれます。

フーリエ解析でよく用いられる総和法の一つに、チェザロ総和法がある。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$

Cesàro は要約可能 (C,  α) であるか

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f(x)\ dx}$

存在し、有限である（Titchmarsh 1948 、§1.15）。この極限値が存在する場合、その値は 積分の（C、α）和である。

積分が (C,  0) 総和可能であるのは、それが広義積分として存在する場合に限る。しかし、 α > 0 に対して (C, α) 総和可能であるにもかかわらず、広義積分(リーマン積分またはルベーグ積分の意味で) として収束しない積分も存在する。その一例として、次の積分がある。  

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin x\,dx}$

これは広義積分としては存在しないが、すべてのα > 0 に対して (C, α ) で総和可能である。これはグランディ級数の積分版である。  

広義積分は、複数の変数を持つ関数に対しても定義できます。定義は、例えば、無限領域で積分する必要があるかどうかによって若干異なります。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$あるいは、特異点を持つ関数を積分する、${\displaystyle f(x,y)=\log \left(x^{2}+y^{2}\right)}$。

• アポストル、T（1974）、『数学解析』、アディソン・ウェスリー、ISBN 978-0-201-00288-1。
• アポストル、T（1967）、『微積分学』第1巻（第2 版）、ジョン・ワイリー＆サンズ。
• Autar Kaw、Egwu Kalu (2008)、数値解析法とその応用（第1 版）、autarkaw.com
• ティッチマーシュ、E（1948）、『フーリエ積分理論入門（第2 版）』、ニューヨーク、NY：チェルシー出版（1986年出版）、ISBN 978-0-8284-0324-5{{citation}}: ISBN / 日付の不一致 (ヘルプ)。
• クーパー、ジェフリー（2005）、『作業分析』、ガルフ・プロフェッショナル
• Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2010),多変数微積分と解析のコース、Springer

• ホリスティック数値解析研究所における広義積分を解くための数値解析法