陰関数定理

多変数微積分において、陰関数定理^{[ a ]}は、によって指定される平面曲線が十分条件を満たすための定理である。 $F(x,y)=0$ 関数のグラフとして指定することもできます $f$ 、各点について $(x,y)$ 曲線の一部では、 $y=f(x)$ 一例として単位円があり、その点は $(x,y)$ 満足する $x^{2}+y^{2}-1=0$ これは局所的に解決できます（ $y>0$ ）による $y={\sqrt {1-x^{2}}}$ 上側の半円をグラフで表す。方程式を解くことは必ずしも可能ではない。 $F(x,y)=0$ のために $y$ 代数的に、そして陰関数定理は関数が存在するための解析的条件を与える $f$ そのグラフは与えられた曲線に属し、いくつかの定式化では、近似を構築する方法も提供する。 $f$ 。

$より一般的には、 m$ 個の方程式系 $f i (x 1, ..., x n, y 1, ..., y m) = 0、 i = 1, ..., m$ (しばしば $F (x, y) = 0$ と略記される) が与えられたとき、定理は、ある点における偏微分(各 $y i$ に関して) に関する緩やかな条件の下で、 $m$ 個の変数 $y i は$ 、その点の近傍で $x j$ の微分可能な関数であることを述べている。これらの関数は一般に閉じた形式で表現できないため、方程式によって暗黙的に定義され、これが定理の名前の由来となっている。 ^[¹^]

言い換えれば、偏導関数に関する緩やかな条件の下では、連立方程式の零点の集合は局所的に関数のグラフとなる。

歴史

オーギュスタン＝ルイ・コーシー（1789–1857）は、陰関数定理の最初の厳密な形式を確立した人物として知られています。ウリッセ・ディニ（1845–1918）は、陰関数定理の実変数版を任意の数の実変数の関数に一般化しました。^{[ 2 ]}

2変数の場合

させて $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ 曲線の陰関数方程式を定義する連続微分可能な関数である $f(x,y)=0$ 。させて $(x_{0},y_{0})$ 曲線上の点、すなわち、 $f(x_{0},y_{0})=0$ この単純なケースでは、陰関数定理は次のように述べることができる。

定理—もし⁠ $f(x,y)$ は、点の近傍で連続的に微分可能な関数である。 $(x_{0},y_{0})$ ⁠、そして ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0,}$ すると、一意の微分可能な関数が存在する。 $\varphi$ ⁠そのため⁠ $y_{0}=\varphi (x_{0})$ そして $f(x,\varphi (x))=0$ 近隣地域で $x_{0}$ ⁠ .

証明。方程式を微分することにより、 $f(x,\varphi (x))=0$ ⁠、 ${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,\varphi (x))+\varphi '(x)\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\varphi (x))=0.$ そしてこうして $\varphi '(x)=-{\frac {{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,\varphi (x))}{{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\varphi (x))}}.$ これは、の常微分方程式を与える。 $\varphi$ 初期条件は $\varphi (x_{0})=y_{0}$ ⁠ .

以来 ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0,}$ 微分方程式の右辺は連続です。したがって、ペアノ存在定理が適用され、（一意ではない可能性もある）解が存在します。その理由を確認するには ${\textstyle \varphi }$ ユニークであることに注意して、関数 ${\textstyle g_{x}(y)=f(x,y)}$ 近隣では厳密に単調である ${\textstyle x_{0},y_{0}}$ （として ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0}$ )、したがって単射である。 ${\textstyle \varphi ,\phi }$ 微分方程式の解である場合、 ${\textstyle g_{x}(\varphi (x))=g_{x}(\phi (x))=0}$ そして単射性により、 ${\textstyle \varphi (x)=\phi (x)}$ 。

最初の例

関数 $f (x, y) = x 2 + y 2$ を定義すると、方程式 $f (x, y) = 1は、$ レベルセット ${($ $x$ $,$ $y$ $) |$ $f$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = 1}$ として単位円を切り取ります。 1 つの変数 $y$ $=$ $g$ $($ $x$ $)$ の関数のグラフとして単位円を表す方法はありません。なぜなら、 $x$ $\in (-1, 1)$ の各選択に対して、 yには 2 つの選択肢があるからです。 $\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$ 。

しかし、円の一部を1変数関数のグラフとして表すことは可能です。 $g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ $-1 \leq x \leq 1$ の場合、 $y = g 1 (x)$ のグラフは円の上半分を表します。同様に、 $g_{2}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}$ $すると、 y = g 2 (x)$ のグラフは円の下半分を表します。

陰関数定理は、いくつかの緩やかな仮定の下では、明示的な式で記述できない状況であっても、 $g 1 (x)$ や $g 2 (x)のような関数は常に存在すると述べています。これは、$ $g 1 (x)$ と $g 2 (x)が微分可能であることを保証し、$ $f (x, y)$ の式がない場合でも機能します。

一般的なケース

させて $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ 連続的に微分可能な関数である。 $\mathbb {R} ^{n+m}$ デカルト積として $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m},$ そして、この製品のポイントを次のように書きます。 $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots y_{m}).$ 与えられた関数から始めます $f$ 私たちの目標は関数を構築することです $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ そのグラフ $({\textbf {x}},g({\textbf {x}}))$ はまさにすべての集合です $({\textbf {x}},{\textbf {y}})$ そのため $f({\textbf {x}},{\textbf {y}})={\textbf {0}}$ 。

前述のとおり、これは常に可能とは限りません。したがって、ある時点を固定します。 $({\textbf {a}},{\textbf {b}})=(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})$ これは以下を満たす $f({\textbf {a}},{\textbf {b}})={\textbf {0}}$ そして私たちは $g$ その点付近で機能する $({\textbf {a}},{\textbf {b}})$ 言い換えれば、我々はオープンセットを求めている。 $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ 含む ${\textbf {a}}$ 開集合 $V\subset \mathbb {R} ^{m}$ 含む ${\textbf {b}}$ 、そして関数 $g:U\to V$ グラフが $g$ 関係を満たす $f={\textbf {0}}$ の上 $U\times V$ また、他のポイントは $U\times V$ そうしてください。記号で表すと、

$\{(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}.$

陰関数定理を述べるには、ヤコビ行列が必要です。 $f$ これは、の偏微分行列である。 $f$ 略語 $(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})$ に $({\textbf {a}},{\textbf {b}})$ ヤコビ行列は

$(Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c|c}X&Y\end{array}}\right]$

どこ $X$ は変数に関する偏微分行列です $x_{i}$ そして $Y$ は変数に関する偏微分行列です $y_{j}$ 陰関数定理によれば、 $Y$ が可逆行列である場合、 $U$ 、 $V$ 、そして $g$ 望みどおり。すべての仮説をまとめると、次の記述が得られる。

定理の記述

させて $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ を連続微分可能な関数とし、 $\mathbb {R} ^{n+m}$ 座標を持っています $({\textbf {x}},{\textbf {y}})$ 点を固定する $({\textbf {a}},{\textbf {b}})=(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})$ と $f({\textbf {a}},{\textbf {b}})=\mathbf {0}$ 、どこ $\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{m}$ はゼロベクトルです。ヤコビ行列（これは前のセクションで示したヤコビ行列の右側のパネルです）の場合： $J_{f,\mathbf {y} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{j}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\right]$ が可逆であれば、開集合が存在する。 $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ 含む ${\textbf {a}}$ 一意の関数が存在する $g:U\to \mathbb {R} ^{m}$ そのため $g(\mathbf {a} )=\mathbf {b}$ 、そして $f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))=\mathbf {0} ~{\text{for all}}~\mathbf {x} \in U$ 。さらに、 $g$ は連続的に微分可能であり、前節に示したヤコビ行列の左側のパネルを次のように表す。 $J_{f,\mathbf {x} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\right],$ 偏導関数のヤコビ行列 $g$ で $U$ は行列積によって与えられる：^{[ 3 ]} $\left[{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {x} )\right]_{m\times n}=-\left[J_{f,\mathbf {y} }(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times m}^{-1}\,\left[J_{f,\mathbf {x} }(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times n}$

証明は逆関数定理に関する記事に記載されています。ここでは、2次元の場合について詳しく説明します。

高階微分

さらに、 $f$ 解析的または連続的に微分可能である $k$ 近隣で $({\textbf {a}},{\textbf {b}})$ そうすれば、 $U$ 同じことが当てはまるように $g$ 内部 $U$ [ ⁴^]解析的な場合、これは解析的陰関数定理^と呼ばれます。

円の例

単位円の例に戻りましょう。この場合、 n = m = 1 であり、 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$ 偏微分行列は、次の式で表される 1 × 2 行列です。 $(Df)(a,b)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)&{\dfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2a&2b\end{bmatrix}}$

したがって、ここで定理の記述における $Y$ $は単に2 b$ という数であり、それによって定義される線形写像は $b$ $\neq 0$ の場合に限り可逆である。陰関数定理により、 $y$ $\neq 0$ のすべての点について円を局所的に $y$ $=$ $g$ $($ $x$ $)$ の形で記述できることがわかる。 $(\pm1, 0)については、前述のように問題が生じる。陰関数定理は、$ $x を$ $y$ の関数として記述することにより、これらの 2 つの点にも適用できる。 $x=h(y)$ ; 関数のグラフは次のようになります $\left(h(y),y\right)$ $b = 0$ の場合、 $a = 1$ となり、この形式で関数を局所的に表現するための条件が満たされます。

yのxに関する陰関数微分とxのyに関する陰関数微分は、陰関数を全微分することによって求めることができる。 $x^{2}+y^{2}-1$ そして0に等しい： $2x\,dx+2y\,dy=0,$ 贈る ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}$ そして ${\frac {dx}{dy}}=-{\frac {y}{x}}.$

アプリケーション：座標変更

$m$ 次元空間があり、それが一連の座標によってパラメータ化されていると仮定します。 $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ 新しい座標系を導入することができます $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ m個の関数を提供することにより $h_{1}\ldots h_{m}$ それぞれが連続的に微分可能である。これらの関数を用いることで、新しい座標を計算できる。 $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ ある点の、その点の古い座標が与えられた場合 $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ 使用 $x'_{1}=h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,x'_{m}=h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})$ 逆のことが可能であるかどうかを確認したい場合もあるでしょう。与えられた座標 $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ では、元の地点の座標を「遡って」計算することは可能でしょうか？ $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ ？陰関数定理がこの質問への答えを提供します。（新しい座標と古い座標） $(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})$ f = 0 で関係付けられ、 $f(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})=(h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m})-x'_{1},\ldots ,h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})-x'_{m}).$ ここで、ある点 ( a , b )におけるf のヤコビ行列は、 $a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})$ ] は次のように与えられます $(Df)(a,b)=\left[{\begin{matrix}-1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &-1\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{m}}}(b)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{m}}}(b)\\\end{matrix}}\right.\right]=[-I_{m}|J].$ ここで、I _{m は}m × m の単位行列を表し、 $J は($ a , b )で評価された偏導関数の $m \times m$ 行列です。（上記では、これらのブロックは X と Y で表されていました。実際には、この定理の特定の適用では、どちらの行列もaに依存しません。）陰関数定理は、局所的に表現できることを示しています。 $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ 関数として $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ Jが可逆である場合。J が可逆であるという要求はdet J ≠ 0 と同等であるため、ヤコビ行列Jの行列式がゼロでない場合、プライム付き座標からプライムなし座標に戻ることができることがわかります。この記述は逆関数定理としても知られています。

例：極座標

上記の簡単な応用として、極座標 $(R, θ)$ でパラメータ化された平面を考えます。関数 $x$ $($ $R$ $,$ $θ$ $) =$ $R$ $cos($ $θ$ $)$ および $y$ $($ $R$ $,$ $θ$ $) =$ $R$ $sin($ $θ$ $)を定義することで、新しい座標系 ($ デカルト座標) に移行できます。これにより、任意の点 $($ $R$ $,$ $θ$ $)に対して、対応するデカルト座標$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ を求めることができます。デカルト座標から極座標に戻ることができるのはどのような場合でしょうか。前の例から、 $det$ $J$ $\neq 0$ で十分です。 $J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial \theta }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-R\sin \theta \\\sin \theta &R\cos \theta \end{bmatrix}}.$ $det J = R$ なので、 $R \neq 0$ の場合は極座標への変換が可能です。したがって、 $R = 0$ の場合を調べればよいことになります。R $= 0$ $の$ 場合、座標変換が可逆ではないことは容易にわかります。原点では、θ の値が明確に定義されていないためです。

一般化

バナッハ宇宙版

バナッハ空間における逆関数定理に基づき、陰関数定理をバナッハ空間値写像に拡張することが可能です。^[⁵^]^[⁶^]

X、Y、Zをバナッハ空間とする。写像 $f : X \times Y \to Z$ は連続的にフレシェ微分可能であるとする。 $(x_{0},y_{0})\in X\times Y$ 、 $f(x_{0},y_{0})=0$ 、そして $y\mapsto Df(x_{0},y_{0})(0,y)$ YからZへのバナッハ空間同型写像が存在するならば、x ₀の近傍Uとy ₀の近傍Vが存在し、すべてのxに対してf ( x , g ( x )) = 0 かつf ( x , y ) = 0となるのはy = g ( x )の場合のみであるようなフレシェ微分可能な関数g : U → V が存在する。 $(x,y)\in U\times V$ 。

微分不可能な関数から得られる陰関数

関数fが微分可能でない場合の陰関数定理にはさまざまな形式が存在する。1 次元では局所的な厳密な単調性で十分であることは標準である。^{[ 7 ]}以下のより一般的な形式は、Jittorntrum の観察に基づいて熊谷によって証明された。^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

連続関数を考える $f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ そのため $f(x_{0},y_{0})=0$ 開放的な近隣地域が存在する場合 $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ そして $B\subset \mathbb {R} ^{m}$ それぞれx ₀とy ₀のであり、すべてのy ∈ Bに対して、 $f(\cdot ,y):A\to \mathbb {R} ^{n}$ 局所的に1対1である場合、オープンな近隣が存在する $A_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}$ そして $B_{0}\subset \mathbb {R} ^{m}$ x ₀とy ₀の、すべての $y\in B_{0}$ 方程式 f ( x , y ) = 0 は一意の解を持つ。 $x=g(y)\in A_{0},$ ここで、_gは_B0からA0への連続関数である。

崩壊する多様体

ペレルマンの3次元多様体に対する縮退定理は、サーストンの幾何化予想の証明の要であり、陰関数定理の拡張として理解することができる。^{[ 10 ]}

注記

↑イタリアのピサ学派ではディーニの定理とも呼ばれる。英語圏の文献では、ディーニの定理は数学解析における別の定理として扱われている。

参考文献

↑ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). McGraw-Hill. pp. 204–206 . ISBN 0-07-010813-7。
↑クランツ、スティーブン；パークス、ハロルド（2003）。陰関数定理。モダン・バークハウザー・クラシックス。バークハウザー。ISBN 0-8176-4285-4。
↑ de Oliveira, Oswaldo (2013). "The Implicit and Inverse Function Theorems: Easy Proofs". Real Anal. Exchange . 39 (1): 214– 216. arXiv : 1212.2066 . doi : 10.14321/realanalexch.39.1.0207 . S2CID 118792515 .
↑フリッチェ、K.;グラウアート、H. (2002)。正則関数から複素多様体まで。スプリンガー。 p. 34.ISBN 9780387953953。
↑ラング、セルジュ(1999).微分幾何学の基礎. 大学院数学テキスト. ニューヨーク: スプリンガー. pp. 15 –21. ISBN 0-387-98593-X。
↑エドワーズ、チャールズ・ヘンリー (1994) [1973].多変数高等微積分. ミネオラ、ニューヨーク: ドーバー出版. pp. 417–418 . ISBN 0-486-68336-2。
↑クドリャフツェフ、レフ・ドミトリエヴィチ (2001) [1994]、「陰関数」、数学百科事典、EMS Press
↑ Jittorntrum, K. (1978). "An Implicit Function Theorem". Journal of Optimization Theory and Applications . 25 (4): 575–577 . doi : 10.1007/BF00933522 . S2CID 121647783 .
↑熊谷茂（1980）「陰関数定理：コメント」最適化理論と応用ジャーナル31 （ 2 ）：285–288。doi：10.1007/ BF00934117。S2CID 119867925。
↑曹操、建国。ゲー・ジャン（2011）。「3多様体に対するペレルマンの崩壊定理の簡単な証明」。J.Geom.アナル。21 (4 ) : 807–869.arXiv : 1003.2215 。土井: 10.1007/s12220-010-9169-5。S2CID 514106。

11 Generalized Implicit Function Theorem Journal Of Indonesian Mathematical Society DOI:10.22.342 v3211.1551 License CCBY-NC-ND-4.0 Discusses Implicit function Theorem for X a topological space , Y Banach Space, Z a Topological Vector space

陰関数定理

歴史

2変数の場合

最初の例

一般的なケース

定理の記述

高階微分

円の例

アプリケーション：座標変更

例：極座標

一般化

バナッハ宇宙版

微分不可能な関数から得られる陰関数

崩壊する多様体

関連項目

注記

参考文献

Further reading

関連するトピック

多変数微積分

グラフ

単位円が

偏微分(各