交互のシリーズ

数学において、交代級数とは、正負の符号が交互に現れる無限級数のことです。大文字のシグマ記号では、次のように表されます。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$$または$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}$$すべてのn_{に対して n} > 0 である。 

他の級数と同様に、交代級数は、級数の部分和の列が極限値に収束する場合に限り収束級数となります。交代級数判定法は、項a _nが単調に 0 に収束する場合に交代級数が収束することを保証しますが、この条件は収束に必須ではありません。

等比数列⁠ 1 / 2 ⁠ − ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 8 ⁠ − ⁠ 1 / 16 ⁠ + ⋯の和は⁠ 1 / 3 ⁠になります。

交代調和級数は有限和を持つが、調和級数はそうではない。 $${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$$収束して${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$しかし、完全には収束しない。

メルカトル級数は、自然対数の解析的べき級数表現を提供し、それは次のように表される。 $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=\ln(1+x),\;\;\;|x|\leq 1,x\neq -1.}$$

三角法で用いられ、初等代数では直角三角形の辺の比として導入される関数である正弦と余弦は、微積分学では交代級数として定義することもできる。 $${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$$そして $${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.}$$ これらの級数から交代因子（－１）ⁿを取り除くと、微積分や統計学で使用される双曲線関数sinhとcoshが得られます。

整数または正の指数αに対して、第1種 ベッセル関数は交代級数で定義される。$${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}$$ここでΓ( z )はガンマ関数である。

sが複素数の場合、ディリクレのイータ関数は交代級数として表される。 $${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$$それは解析的整数論 で用いられる。

「ライプニッツのテスト」または交代級数テストとして知られる定理は、項a _{n が}単調に0 に収束する場合、交代級数は収束すると述べている。

証明: 数列を仮定する${\displaystyle a_{n}}$ゼロに収束し、単調減少する。${\displaystyle m}$奇妙で${\displaystyle m<n}$推定値を得る${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$以下の計算式による： $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}-S_{m}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}.\end{aligned}}}$$

以来${\displaystyle a_{n}}$単調減少であり、${\displaystyle -(a_{m}-a_{m+1})}$は負の値である。したがって、最終的な不等式は次のようになる。${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$同様に、${\displaystyle -a_{m}\leq S_{n}-S_{m}}$。 以来${\displaystyle a_{m}}$収束して${\displaystyle 0}$部分和${\displaystyle S_{m}}$コーシー列を形成する（つまり、級数はコーシー基準を満たす）ので、収束する。${\displaystyle m}$似ている点さえある。

上記の見積もりは以下に依存しません${\displaystyle n}$なので、もし${\displaystyle a_{n}}$が単調に0に近づく場合、この推定値は部分和による無限和の近似に対する 誤差限界を提供する。$${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|\leq |a_{m+1}|.}$$これは、この推定が常に、誤差が級数の次の項の絶対値よりも小さくなる最初の要素を見つけるという意味ではありません。実際、${\displaystyle 1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2}$そして、誤差が最大で 0.00005 になる項を見つけようとすると、上記の不等式は、部分和が次のようになることを示しています。${\displaystyle a_{20000}}$で十分ですが、実際には必要な項数の 2 倍です。実際、最初の 9999 要素を合計した後の誤差は 0.0000500025 であり、したがって部分和を から まで取ると十分です。${\displaystyle a_{10000}}$で十分です。このシリーズは、新しいシリーズを構築すると、${\displaystyle a_{n}-a_{n+1}}$また、ライプニッツのテストが適用される交代級数も与えるため、この単純な誤差限界は最適ではありません。これは、1962 年に発見されたカラブレーゼ限界^{[ 1 ]}によって改善され、この性質により、ライプニッツの誤差限界よりも 2 分の 1 少ない結果が得られると述べています。実際、この性質が 2 回以上適用される級数に対しても、これは最適ではありません。これはジョンソンボーの誤差限界で説明されています。 ^{[ 2 ]}この性質を無限回適用できる場合は、オイラーの変換が適用されます。^{[ 3 ]}

シリーズ$\sum a_n$級数が絶対収束する場合${\textstyle \sum |a_{n}|}$収束する。

定理：絶対収束する級数は収束する。

証明：$\sum a_n$絶対的に収束する。すると、${\textstyle \sum |a_{n}|}$は収束し、したがって${\textstyle \sum 2|a_{n}|}$収束もします。${\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$シリーズ${\textstyle \sum (a_{n}+|a_{n}|)}$比較判定により収束する。したがって、この級数は$\sum a_n$2つの収束級数の差として収束する${\textstyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}$。

級数が条件収束するとは、級数が収束するが絶対収束しない場合をいう。

例えば、調和級数

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}}$$

分岐する一方、交互バージョン

$$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$$

交代級数判定法により収束する。

任意の級数について、和の順序を並べ替えることで新しい級数を作成できます。級数が無条件に収束するのは、任意の並べ替えによって元の級数と同じ収束を持つ級数が作成される場合です。絶対収束級数は無条件に収束します。しかし、リーマン級数の定理は、条件付き収束級数は任意の収束を作成するように並べ替えることができると述べています。^{[ 4 ]}アグニューの定理は、すべての収束級数の収束を維持する並べ替えについて説明しています。一般原則は、無限和の加算は絶対収束級数に対してのみ可換であるということです。

例えば、1=0という誤った証明の一つは、無限級数における結合法則の破綻を利用している。

別の例として、メルカトルシリーズでは$${\displaystyle \ln(2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots .}$$

しかし、この級数は絶対収束しないので、項を並べ替えて次の級数を得ることができます。${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2)}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end{aligned}}}$$

実際には、交代級数の数値和は、さまざまな級数加速手法のいずれかを用いて高速化することができる。最も古い手法の一つはオイラー和であり、さらに高速な収束を実現できる現代的な手法も数多く存在する。

• グランディのシリーズ
• ノルルンド・ライス積分

• アール・D・レインヴィル（1967）『無限シリーズ』、73～76ページ、マクミラン出版社。
• ワイススタイン、エリック W. 「交代級数」 . MathWorld .