積分定理の応用 積分定理の応用は、経路に沿った経路積分を評価するためにもよく用いられます。これは、経路積分を計算すると同時に実数値積分を計算することを意味します。
コーシーの積分公式 や留数定理 などの積分定理は、一般的に以下の方法で使用されます。
特定の輪郭が選択されます。 積分経路は、実数値積分を表す複素平面の一部に沿うように選択され、被積分関数の特異点を囲むことで、コーシー積分公式 または留数定理 の適用を可能にする。 コーシーの積分定理 の応用積分は、各極を中心とする小円に沿った積分のみに簡略化される。 コーシー積分公式 または留数定理 の適用これらの積分公式を適用すると、積分線全体の積分値が得られます。 輪郭を実部と虚部に沿った輪郭に分割する 積分経路全体は、先に選択した実数値積分を表す複素平面の一部に沿った経路（これをR と呼ぶ）と、複素平面を横切る積分（これをI と呼ぶ）に分割できる。積分経路全体にわたる積分は、これら各経路にわたる積分の和である。 複素平面を横切る積分が和に関係しないことの証明 積分I がゼロであることが示せる場合、または求められている実数値積分が不適切である場合、上記のように積分I が0 に収束することを示すと、 Rに沿った積分は経路 R + I 結論 上記の手順を示すことができれば、実数値積分であるRを直接計算することができます。
例１ 積分を考える ∫ − ∞ ∞ 1 （ x 2 + 1 ） 2 d x 、 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}\,dx,}
この積分を評価するために、複素数値関数に着目します。 f （ z ） = 1 （ z 2 + 1 ） 2 {\displaystyle f(z)={\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}}
これはi と− i 特異点を 持つ。実数値積分を囲むような経路を選択する。ここでは、実数直線上に境界直径を持つ半円（例えば− a からa まで）が便利だろう。この経路をC と呼ぶ。
解法には、コーシー積分公式 を用いる方法と留数法を用いる方法の2種類がある。
ご了承ください： ∮ C f （ z ） d z = ∫ − 1 1 f （ z ） d z + ∫ アーク f （ z ） d z {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{-a}^{a}f(z)\,dz+\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz} ∫ − 1 1 f （ z ） d z = ∮ C f （ z ） d z − ∫ アーク f （ z ） d z {\displaystyle \int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\oint _{C}f(z)\,dz-\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz}
さらに、次の点に注目してください。 f （ z ） = 1 （ z 2 + 1 ） 2 = 1 （ z + 私 ） 2 （ z − 私 ） 2 。 {\displaystyle f(z)={\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}={\frac {1}{(z+i)^{2}(z-i)^{2}}}.}
輪郭における唯一の特異点はi にあるので、次のように書くことができる。 f （ z ） = 1 （ z + 私 ） 2 （ z − 私 ） 2 、 {\displaystyle f(z)={\frac {\frac {1}{(z+i)^{2}}}{(z-i)^{2}}},}
これにより、関数は公式を直接適用できる形式になります。次に、コーシーの積分公式を使用して、 ∮ C f （ z ） d z = ∮ C 1 （ z + 私 ） 2 （ z − 私 ） 2 d z = 2 π 私 d d z 1 （ z + 私 ） 2 | z = 私 = 2 π 私 [ − 2 （ z + 私 ） 3 ] z = 私 = π 2 {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}{\frac {\frac {1}{(z+i)^{2}}}{(z-i)^{2}}}\,dz=2\pi i\,\left.{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{(z+i)^{2}}}\right|_{z=i}=2\pi i\left[{\frac {-2}{(z+i)^{3}}}\right]_{z=i}={\frac {\pi }{2}}}
上記の手順で1階微分を用いるのは、極が2次極であるためです。つまり、( z - i ) を2乗するので、f ( z )( z - i ) を3乗する場合は、2階微分を用いて2!で割ります。 ( z - i ) を1乗する場合は、 0階微分、つまりf ( z )
半円弧上の積分がa → ∞のときゼロに収束することを推定補題 を用いて示す必要がある。| ∫ アーク f （ z ） d z | ≤ M L {\displaystyle \left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq ML}
ここで、 M は弧に沿った| f ( z ) | L は 弧の長さである。 | ∫ アーク f （ z ） d z | ≤ 1 π （ 1 2 − 1 ） 2 → 0 として 1 → ∞ 。 {\displaystyle \left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {a\pi }{\left(a^{2}-1\right)^{2}}}\to 0{\text{ as }}a\to \infty .} ∫ − ∞ ∞ 1 （ x 2 + 1 ） 2 d x = ∫ − ∞ ∞ f （ z ） d z = リム 1 → + ∞ ∫ − 1 1 f （ z ） d z = π 2 。 ◻ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(z)\,dz=\lim _{a\to +\infty }\int _{-a}^{a}f(z)\,dz={\frac {\pi }{2}}.\quad \square }
残差法を用いて 考慮する必要がある唯一の特異点である i に関するf ( z ) のローラン級数 を考えます。すると、次のようになります。f （ z ） = − 1 4 （ z − 私 ） 2 + − 私 4 （ z − 私 ） + 3 16 + 私 8 （ z − 私 ） + − 5 64 （ z − 私 ） 2 + ⋯ {\displaystyle f(z)={\frac {-1}{4(z-i)^{2}}}+{\frac {-i}{4(z-i)}}+{\frac {3}{16}}+{\frac {i}{8}}(z-i)+{\frac {-5}{64}}(z-i)^{2}+\cdots }
（この級数の導出については、ローラン級数 からのローラン計算例を参照してください。）
目視で確認すると、剰余は− i / 4 であることがわかるので、剰余定理 により、次の式が得られる。 ∮ C f （ z ） d z = ∮ C 1 （ z 2 + 1 ） 2 d z = 2 π 私 レス z = 私 f （ z ） = 2 π 私 （ − 私 4 ） = π 2 ◻ {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}\,dz=2\pi i\,\operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i\left(-{\frac {i}{4}}\right)={\frac {\pi }{2}}\quad \square }
こうして、以前と同じ結果が得られる。
輪郭ノート 余談ですが、半円にもう一方の 特異点である− i を 含めないという疑問が生じるかもしれません。実軸に沿った積分が正しい方向に移動するためには、積分経路は時計回り、つまり負の方向に移動しなければならず、積分全体の符号が反転します。
これは、系列による残差法の使用には影響を与えません。
積分 ∫ − ∞ ∞ e 私 t x x 2 + 1 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx}
輪郭 （確率論では コーシー分布 の特性関数 のスカラー倍として現れる）は初等微積分法 の手法では解けない。実数 直線上で− a からa まで、そして 0 を中心とする半円に沿って反時計回りに a から− a まで 進む C に沿った経路積分の極限として評価する。a を 1 より大きい値とすると、虚数 単位i は曲線内に含まれる。経路積分は ∫ C e 私 t z z 2 + 1 d z 。 {\displaystyle \int _{C}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz.}
e itz は整関数 （複素平面上のどの点にも特異点を 持たない）であるため、この関数は分母 z 2 + 1、 これは z = iまたは z = − i の場合 のみ 発生し = i における ( z ) の 留数 は リム z → 私 （ z − 私 ） f （ z ） = リム z → 私 （ z − 私 ） e 私 t z z 2 + 1 = リム z → 私 （ z − 私 ） e 私 t z （ z − 私 ） （ z + 私 ） = リム z → 私 e 私 t z z + 私 = e − t 2 私 。 {\displaystyle \lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}(z-i){\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}=\lim _{z\to i}(z-i){\frac {e^{itz}}{(z-i)(z+i)}}=\lim _{z\to i}{\frac {e^{itz}}{z+i}}={\frac {e^{-t}}{2i}}.}
留数定理 によれば、次のようになる。 ∫ C f （ z ） d z = 2 π 私 レス z = 私 f （ z ） = 2 π 私 e − t 2 私 = π e − t 。 {\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{\frac {e^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.}
輪郭Cは 「直線」部分と曲線弧に分割できるため、 ∫ 真っ直ぐ + ∫ アーク = π e − t 、 {\displaystyle \int _{\text{straight}}+\int _{\text{arc}}=\pi e^{-t},} ∫ − 1 1 = π e − t − ∫ アーク 。 {\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\text{arc}}.}
ジョルダンの補題 によれば、 t > 0 ならば ∫ アーク e 私 t z z 2 + 1 d z → 0 として 1 → ∞ 。 {\displaystyle \int _{\text{arc}}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\rightarrow 0{\mbox{ as }}a\rightarrow \infty .}
したがって、t > 0 の 場合 ∫ − ∞ ∞ e 私 t x x 2 + 1 d x = π e − t 。 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{-t}.}
− i ではなくi の < 0 の場合 、 ∫ − ∞ ∞ e 私 t x x 2 + 1 d x = π e t 、 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{t},} ∫ − ∞ ∞ e 私 t x x 2 + 1 d x = π e − | t | 。 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{-|t|}.}
（t = 0π となる。）
三角関数 を含む積分には、特定の置換を行うことで、積分を複素変数の有理関数 に変換し、上記の方法を用いて積分を評価することができます。
例として、 ∫ − π π 1 1 + 3 （ コス t ） 2 d t 。 {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }{\frac {1}{1+3(\cos t)^{2}}}\,dt.}
z = e it コス t = 1 2 （ e 私 t + e − 私 t ） = 1 2 （ z + 1 z ） {\displaystyle \cos t={\frac {1}{2}}\left(e^{it}+e^{-it}\right)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)} d z d t = 私 z 、 d t = d z 私 z 。 {\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=iz,\ dt={\frac {dz}{iz}}.}
Cを 単位円とすると、代入すると次のようになる 。∮ C 1 1 + 3 （ 1 2 （ z + 1 z ） ） 2 d z 私 z = ∮ C 1 1 + 3 4 （ z + 1 z ） 2 1 私 z d z = ∮ C − 私 z + 3 4 z （ z + 1 z ） 2 d z = − 私 ∮ C d z z + 3 4 z （ z 2 + 2 + 1 z 2 ） = − 私 ∮ C d z z + 3 4 （ z 3 + 2 z + 1 z ） = − 私 ∮ C d z 3 4 z 3 + 5 2 z + 3 4 z = − 私 ∮ C 4 3 z 3 + 10 z + 3 z d z = − 4 私 ∮ C d z 3 z 3 + 10 z + 3 z = − 4 私 ∮ C z 3 z 4 + 10 z 2 + 3 d z = − 4 私 ∮ C z 3 （ z + 3 私 ） （ z − 3 私 ） （ z + 私 3 ） （ z − 私 3 ） d z = − 4 私 3 ∮ C z （ z + 3 私 ） （ z − 3 私 ） （ z + 私 3 ） （ z − 私 3 ） d z 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}{\frac {1}{1+3\left({\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)\right)^{2}}}\,{\frac {dz}{iz}}&=\oint _{C}{\frac {1}{1+{\frac {3}{4}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)^{2}}}{\frac {1}{iz}}\,dz\\&=\oint _{C}{\frac {-i}{z+{\frac {3}{4}}z\left(z+{\frac {1}{z}}\right)^{2}}}\,dz\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{z+{\frac {3}{4}}z\left(z^{2}+2+{\frac {1}{z^{2}}}\right)}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{z+{\frac {3}{4}}\left(z^{3}+2z+{\frac {1}{z}}\right)}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{{\frac {3}{4}}z^{3}+{\frac {5}{2}}z+{\frac {3}{4z}}}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {4}{3z^{3}+10z+{\frac {3}{z}}}}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{\frac {dz}{3z^{3}+10z+{\frac {3}{z}}}}\\&=-4i\oint _{C}{\frac {z}{3z^{4}+10z^{2}+3}}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{\frac {z}{3\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\,dz\\&=-{\frac {4i}{3}}\oint _{C}{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\,dz.\end{aligned}}}
考慮すべき特異点は以下のとおりです。± 私 3 。 {\displaystyle {\tfrac {\pm i}{\sqrt {3}}}.} C 1 を 私 3 、 {\displaystyle {\tfrac {i}{\sqrt {3}}},} C2 ある − 私 3 。 {\displaystyle {\tfrac {-i}{\sqrt {3}}}.} − 4 私 3 [ ∮ C 1 z （ z + 3 私 ） （ z − 3 私 ） （ z + 私 3 ） z − 私 3 d z + ∮ C 2 z （ z + 3 私 ） （ z − 3 私 ） （ z − 私 3 ） z + 私 3 d z ] = − 4 私 3 [ 2 π 私 [ z （ z + 3 私 ） （ z − 3 私 ） （ z + 私 3 ） ] z = 私 3 + 2 π 私 [ z （ z + 3 私 ） （ z − 3 私 ） （ z − 私 3 ） ] z = − 私 3 ] = 8 π 3 [ 私 3 （ 私 3 + 3 私 ） （ 私 3 − 3 私 ） （ 私 3 + 私 3 ） + − 私 3 （ − 私 3 + 3 私 ） （ − 私 3 − 3 私 ） （ − 私 3 − 私 3 ） ] = 8 π 3 [ 私 3 （ 4 3 私 ） （ − 2 私 3 ） （ 2 3 私 ） + − 私 3 （ 2 3 私 ） （ − 4 3 私 ） （ − 2 3 私 ） ] = 8 π 3 [ 私 3 私 （ 4 3 ） （ 2 3 ） （ 2 3 ） + − 私 3 − 私 （ 2 3 ） （ 4 3 ） （ 2 3 ） ] = 8 π 3 [ 1 3 （ 4 3 ） （ 2 3 ） （ 2 3 ） + 1 3 （ 2 3 ） （ 4 3 ） （ 2 3 ） ] = 8 π 3 [ 1 3 16 3 3 + 1 3 16 3 3 ] = 8 π 3 [ 3 16 + 3 16 ] = π 。 {\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {4i}{3}}\left[\oint _{C_{1}}{\frac {\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz+\oint _{C_{2}}{\frac {\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz\right]\\={}&-{\frac {4i}{3}}\left[2\pi i\left[{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]_{z={\frac {i}{\sqrt {3}}}}+2\pi i\left[{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]_{z=-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i\right)\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i\right)\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i\right)\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i\right)\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {2}{i{\sqrt {3}}}}\right)\left({\frac {2}{{\sqrt {3}}i}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {4}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {2}{\sqrt {3}}}i\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{i\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{-i\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {3}{16}}+{\frac {3}{16}}\right]\\={}&\pi .\end{aligned}}}
上記の方法は、次のタイプのすべての積分に適用できます。 ∫ 0 2 π P （ 罪 （ t ） 、 罪 （ 2 t ） 、 … 、 コス （ t ） 、 コス （ 2 t ） 、 … ） Q （ 罪 （ t ） 、 罪 （ 2 t ） 、 … 、 コス （ t ） 、 コス （ 2 t ） 、 … ） d t {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {P{\big (}\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots {\big )}}{Q{\big (}\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots {\big )}}}\,dt} 、P とQ は多項式、つまり三角関数で表される有理関数を積分している。なお、積分範囲は、前の例のようにπ と−π 、 あるいは2π 離れた任意の2つの端点の組でも構わない。
コツは、置換z = e it dz = ie it dt 1 私 z d z = d t 。 {\displaystyle {\frac {1}{iz}}\,dz=dt.}
この置換により、区間[ 0, 2π ] 罪 （ k t ） = e 私 k t − e − 私 k t 2 私 = z k − z − k 2 私 {\displaystyle \sin(kt)={\frac {e^{ikt}-e^{-ikt}}{2i}}={\frac {z^{k}-z^{-k}}{2i}}} コス （ k t ） = e 私 k t + e − 私 k t 2 = z k + z − k 2 {\displaystyle \cos(kt)={\frac {e^{ikt}+e^{-ikt}}{2}}={\frac {z^{k}+z^{-k}}{2}}} z に関する 有理関数f ( z )が得られ、積分は次のようになる。∮ | z | = 1 f （ z ） 1 私 z d z {\displaystyle \oint _{|z|=1}f(z){\frac {1}{iz}}\,dz} これは、 f ( z ) 1 / iz の
右の画像はこれを説明しています 私 = ∫ 0 π 2 1 1 + （ 罪 t ） 2 d t 、 {\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{1+(\sin t)^{2}}}\,dt,} 私 = 1 4 ∫ 0 2 π 1 1 + （ 罪 t ） 2 d t 。 {\displaystyle I={\frac {1}{4}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{1+(\sin t)^{2}}}\,dt.}
置換により 1 4 ∮ | z | = 1 4 私 z z 4 − 6 z 2 + 1 d z = ∮ | z | = 1 私 z z 4 − 6 z 2 + 1 d z 。 {\displaystyle {\frac {1}{4}}\oint _{|z|=1}{\frac {4iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz=\oint _{|z|=1}{\frac {iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz.}
この関数の極は1 ± √ 2 と−1 ± √ 2 にあります。これらのうち、1 + √ 2 と−1 − √ 2 は単位円の外側（縮尺は正確ではないが赤色で表示）にあり、1 − √ 2 と−1 + √ 2 は単位円の内側（青色で表示）にあります。対応する留数は両方とも− i √ 2 / 16 に等しいので、積分の値は次のようになります 。私 = 2 π 私 2 （ − 2 16 私 ） = π 2 4 。 {\displaystyle I=2\pi i\;2\left(-{\frac {\sqrt {2}}{16}}i\right)=\pi {\frac {\sqrt {2}}{4}}.}
実積分を考える ∫ 0 ∞ x x 2 + 6 x + 8 d x 。 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx.}
まず複素積分を定式化することから始めましょう。 ∫ C z z 2 + 6 z + 8 d z = 私 。 {\displaystyle \int _{C}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz=I.}
関連する留数を求めるには、コーシーの積分公式または留数定理を再び使用できます。ただし、重要なのは、z 1/2 = e (Log z )/2 z 1/2 には分岐切断 が存在することです。これは、経路C の選択に影響します。通常、対数 分岐切断は負の実軸として定義されますが、これでは積分の計算が少し複雑になるため、正の実軸として定義します。
次に、いわゆるキーホール輪郭を使用します。これは、原点を中心とする半径 ε の小さな円から始まり、正の実軸に平行で近いが接触しない線分 まで伸び、ほぼ完全な円になり、負の意味で正の実軸に平行で近く、かつ下にある線分に戻り、中央の小さな円に戻るというものです。
z = −2z = −4= 0 の分岐点は、原点
γを半径 ε の小円、Γを半径 R のより大きな円とすると、 ∫ C = ∫ ε R + ∫ Γ + ∫ R ε + ∫ γ 。 {\displaystyle \int _{C}=\int _{\varepsilon }^{R}+\int _{\Gamma }+\int _{R}^{\varepsilon }+\int _{\gamma }.}
上記の推定議論により、Γ とγに関する積分は ε →0R →∞z 1/2 = e (Log z )/2 γ に沿って偏角が2π 増加しています。（オイラーの恒等式 により、e i πは 単位ベクトル を表し、したがってその対数はπ です。このπが z の偏角の意味するところです。1 / 2 、2π を使用 せ ∫ R ε z z 2 + 6 z + 8 d z = ∫ R ε e 1 2 ログ z z 2 + 6 z + 8 d z = ∫ R ε e 1 2 （ ログ | z | + 私 引数 z ） z 2 + 6 z + 8 d z = ∫ R ε e 1 2 ログ | z | e 1 2 （ 2 π 私 ） z 2 + 6 z + 8 d z = ∫ R ε e 1 2 ログ | z | e π 私 z 2 + 6 z + 8 d z = ∫ R ε − z z 2 + 6 z + 8 d z = ∫ ε R z z 2 + 6 z + 8 d z 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\operatorname {Log} z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}(\log |z|+i\arg {z})}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{{\frac {1}{2}}(2\pi i)}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{\pi i}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {-{\sqrt {z}}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{\varepsilon }^{R}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz.\end{aligned}}}
したがって： ∫ C z z 2 + 6 z + 8 d z = 2 ∫ 0 ∞ x x 2 + 6 x + 8 d x 。 {\displaystyle \int _{C}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx.}
留数定理またはコーシー積分公式（まず部分分数分解法を用いて2つの単純な経路積分の和を導出する）を用いると、次の式が得られる。 π 私 （ 私 2 − 私 ） = ∫ 0 ∞ x x 2 + 6 x + 8 d x = π （ 1 − 1 2 ） 。 ◻ {\displaystyle \pi i\left({\frac {i}{\sqrt {2}}}-i\right)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx=\pi \left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right).\quad \square }
このセクションでは、次のようなタイプの積分を扱います。 ∫ 0 ∞ ログ x （ 1 + x 2 ） 2 d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx}
この積分を計算するには、次の関数を使用します。 f （ z ） = （ ログ z 1 + z 2 ） 2 {\displaystyle f(z)=\left({\frac {\log z}{1+z^{2}}}\right)^{2}} そして、 −π < arg z ≤ π に対応する対数の枝。
右図に示すキーホール輪郭に沿ってf ( z )（ ∫ R + ∫ M + ∫ N + ∫ r ） f （ z ） d z = 2 π 私 （ レス z = 私 f （ z ） + レス z = − 私 f （ z ） ） = 2 π 私 （ − π 4 + 1 16 私 π 2 − π 4 − 1 16 私 π 2 ） = − 私 π 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz=&\ 2\pi i{\big (}\operatorname {Res} _{z=i}f(z)+\operatorname {Res} _{z=-i}f(z){\big )}\\=&\ 2\pi i\left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}-{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}\right)\\=&\ -i\pi ^{2}.\end{aligned}}}
大きな円の半径をR 、小さな円の半径をr とする。上の線をM 、下の線をN と表す。これまでと同様に、 R → ∞r → 0ML 補題| ∫ R f （ z ） d z | ≤ 2 π R （ ログ R ） 2 + π 2 （ R 2 − 1 ） 2 → 0. {\displaystyle \left|\int _{R}f(z)\,dz\right|\leq 2\pi R{\frac {(\log R)^{2}+\pi ^{2}}{\left(R^{2}-1\right)^{2}}}\to 0.}
M とN の寄与を計算するために、M ではz = − x + iε 、 N ではz = − x − iε 0 < x < ∞ とする。 − 私 π 2 = （ ∫ R + ∫ M + ∫ N + ∫ r ） f （ z ） d z = （ ∫ M + ∫ N ） f （ z ） d z ∫ R 、 ∫ r 消える = − ∫ ∞ 0 （ ログ （ − x + 私 ε ） 1 + （ − x + 私 ε ） 2 ） 2 d x − ∫ 0 ∞ （ ログ （ − x − 私 ε ） 1 + （ − x − 私 ε ） 2 ） 2 d x = ∫ 0 ∞ （ ログ （ − x + 私 ε ） 1 + （ − x + 私 ε ） 2 ） 2 d x − ∫ 0 ∞ （ ログ （ − x − 私 ε ） 1 + （ − x − 私 ε ） 2 ） 2 d x = ∫ 0 ∞ （ ログ x + 私 π 1 + x 2 ） 2 d x − ∫ 0 ∞ （ ログ x − 私 π 1 + x 2 ） 2 d x ε → 0 = ∫ 0 ∞ （ ログ x + 私 π ） 2 − （ ログ x − 私 π ） 2 （ 1 + x 2 ） 2 d x = ∫ 0 ∞ 4 π 私 ログ x （ 1 + x 2 ） 2 d x = 4 π 私 ∫ 0 ∞ ログ x （ 1 + x 2 ） 2 d x {\displaystyle {\begin{aligned}-i\pi ^{2}&=\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz\\[6pt]&=\left(\int _{M}+\int _{N}\right)f(z)\,dz&&\int _{R},\int _{r}{\mbox{ vanish}}\\[6pt]&=-\int _{\infty }^{0}\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\varepsilon )}{1+(-x-i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\varepsilon )}{1+(-x-i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log x+i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log x-i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx&&\varepsilon \to 0\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {(\log x+i\pi )^{2}-(\log x-i\pi )^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {4\pi i\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=4\pi i\int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\end{aligned}}} ∫ 0 ∞ ログ x （ 1 + x 2 ） 2 d x = − π 4 。 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx=-{\frac {\pi }{4}}.}
私たちは評価することを目指しています 私 = ∫ 0 3 x 3 4 （ 3 − x ） 1 4 5 − x d x 。 {\displaystyle I=\int _{0}^{3}{\frac {x^{\frac {3}{4}}(3-x)^{\frac {1}{4}}}{5-x}}\,dx.}
これには綿密な研究が必要である f （ z ） = z 3 4 （ 3 − z ） 1 4 。 {\displaystyle f(z)=z^{\frac {3}{4}}(3-z)^{\frac {1}{4}}.}
図に赤色で示されているように、 [ 0, 3 ] f ( z ) をz 3 4 = exp （ 3 4 ログ z ） どこ − π ≤ 引数 z < π {\displaystyle z^{\frac {3}{4}}=\exp \left({\frac {3}{4}}\log z\right)\quad {\mbox{where }}-\pi \leq \arg z<\pi } （ 3 − z ） 1 4 = exp （ 1 4 ログ （ 3 − z ） ） どこ 0 ≤ 引数 （ 3 − z ） < 2 π 。 {\displaystyle (3-z)^{\frac {1}{4}}=\exp \left({\frac {1}{4}}\log(3-z)\right)\quad {\mbox{where }}0\leq \arg(3-z)<2\pi .}
したがって、z 3 ⁄ 4 (−∞, 0 ] であり、 (3 − z ) 1/4 のカットは(−∞, 3 ] です。この 2 つの積、つまりf ( z )[0, 3] であることが容易にわかります。なぜなら、 f ( z )は実際には(−∞, 0) で連続しているからです。これは、z = − r < 0f ( z ) のr 3 4 e 3 4 π 私 （ 3 + r ） 1 4 e 2 4 π 私 = r 3 4 （ 3 + r ） 1 4 e 5 4 π 私 。 {\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {3}{4}}\pi i}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {5}{4}}\pi i}.}
下から近づくと、f ( z ) のr 3 4 e − 3 4 π 私 （ 3 + r ） 1 4 e 0 4 π 私 = r 3 4 （ 3 + r ） 1 4 e − 3 4 π 私 。 {\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}.}
しかし e − 3 4 π 私 = e 5 4 π 私 、 {\displaystyle e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}=e^{{\frac {5}{4}}\pi i},}
これにより、切断面をまたいで連続性が保たれます。これは図に示されており、2 つの黒い向きの円には、 z 3 ⁄ 4 (3 − z ) 1/4 で使用される対数の引数の対応する値がラベル付けされています。
図中の緑色で示された等高線を使用します。そのためには、切断線のすぐ上とすぐ下の線分に沿ってf ( z )の値を計算する必要があります。
z = r 0 ≤ r ≤ 3です。上側のセグメントに沿って、 f ( z )r 3 4 e 0 4 π 私 （ 3 − r ） 1 4 e 2 4 π 私 = 私 r 3 4 （ 3 − r ） 1 4 {\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}(3-r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{4}}\pi i}=ir^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}} r 3 4 e 0 4 π 私 （ 3 − r ） 1 4 e 0 4 π 私 = r 3 4 （ 3 − r ） 1 4 。 {\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}(3-r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}.}
したがって、上側の区間に沿った f ( z ) / 5 − z − iI となり、下側の区間に沿った積分はI と なります。
2 つの緑色の円に沿った積分が極限でゼロになることを示せれば、コーシーの留数定理 によりI の値も得られます。緑色の円の半径をρ とし、ρ < 0.001 かつρ → 0 とし、ML 不等式 を適用します。左側の 円C Lについては、次のようになります。 | ∫ C L f （ z ） 5 − z d z | ≤ 2 π ρ ρ 3 4 3.001 1 4 4.999 ∈ O （ ρ 7 4 ） → 0. {\displaystyle \left|\int _{C_{\mathrm {L} }}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {\rho ^{\frac {3}{4}}3.001^{\frac {1}{4}}}{4.999}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {7}{4}}\right)\to 0.}
同様に、右側の 円C Rについては、次のようになります。 | ∫ C R f （ z ） 5 − z d z | ≤ 2 π ρ 3.001 3 4 ρ 1 4 1.999 ∈ O （ ρ 5 4 ） → 0. {\displaystyle \left|\int _{C_{\mathrm {R} }}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {3.001^{\frac {3}{4}}\rho ^{\frac {1}{4}}}{1.999}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {5}{4}}\right)\to 0.}
コーシーの留数定理 を用いると、次のようになる。 （ − 私 + 1 ） 私 = − 2 π 私 （ レス z = 5 f （ z ） 5 − z + レス z = ∞ f （ z ） 5 − z ） 。 {\displaystyle (-i+1)I=-2\pi i\left(\operatorname {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}+\operatorname {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}\right).} レス z = 5 f （ z ） 5 − z = − 5 3 4 e 1 4 ログ （ − 2 ） 。 {\displaystyle \operatorname {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}=-5^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {1}{4}}\log(-2)}.}
図では極は青色で示されています。値は次のように簡略化されます。 − 5 3 4 e 1 4 （ ログ 2 + π 私 ） = − e 1 4 π 私 5 3 4 2 1 4 。 {\displaystyle -5^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {1}{4}}(\log 2+\pi i)}=-e^{{\frac {1}{4}}\pi i}5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}.}
無限遠における留数には、以下の式を用います。 レス z = ∞ h （ z ） = レス z = 0 （ − 1 z 2 h （ 1 z ） ） 。 {\displaystyle \operatorname {Res} _{z=\infty }h(z)=\operatorname {Res} _{z=0}\left(-{\frac {1}{z^{2}}}h\left({\frac {1}{z}}\right)\right).}
代入すると、 1 5 − 1 z = − z （ 1 + 5 z + 5 2 z 2 + 5 3 z 3 + ⋯ ） {\displaystyle {\frac {1}{5-{\frac {1}{z}}}}=-z\left(1+5z+5^{2}z^{2}+5^{3}z^{3}+\cdots \right)} （ 1 z 3 （ 3 − 1 z ） ） 1 4 = 1 z （ 3 z − 1 ） 1 4 = 1 z e 1 4 π 私 （ 1 − 3 z ） 1 4 、 {\displaystyle \left({\frac {1}{z^{3}}}\left(3-{\frac {1}{z}}\right)\right)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}(3z-1)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}e^{{\frac {1}{4}}\pi i}(1-3z)^{\frac {1}{4}},} −1 = e π i という事実を用いました。次に、二項展開を適用して、次の式を得ます。1 z e 1 4 π 私 （ 1 − （ 1 / 4 1 ） 3 z + （ 1 / 4 2 ） 3 2 z 2 − （ 1 / 4 3 ） 3 3 z 3 + ⋯ ） 。 {\displaystyle {\frac {1}{z}}e^{{\frac {1}{4}}\pi i}\left(1-{1/4 \choose 1}3z+{1/4 \choose 2}3^{2}z^{2}-{1/4 \choose 3}3^{3}z^{3}+\cdots \right).}
結論は レス z = ∞ f （ z ） 5 − z = e 1 4 π 私 （ 5 − 3 4 ） = e 1 4 π 私 17 4 。 {\displaystyle \operatorname {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}=e^{{\frac {1}{4}}\pi i}\left(5-{\frac {3}{4}}\right)=e^{{\frac {1}{4}}\pi i}{\frac {17}{4}}.}
最終的に、 I の値は次のようになる。 私 = 2 π 私 e 1 4 π 私 − 1 + 私 （ 17 4 − 5 3 4 2 1 4 ） = 2 π 2 − 1 2 （ 17 4 − 5 3 4 2 1 4 ） {\displaystyle I=2\pi i{\frac {e^{{\frac {1}{4}}\pi i}}{-1+i}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)=2\pi 2^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)} 私 = π 2 2 （ 17 − 5 3 4 2 9 4 ） = π 2 2 （ 17 − 40 3 4 ） 。 {\displaystyle I={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {9}{4}}\right)={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-40^{\frac {3}{4}}\right).}
多変数経路積分 多変数経路積分（すなわち、面積積分 、複素体積積分 、および高階積分）を解くには、 発散定理 を用いる必要があります。ここでは、∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot } div {\displaystyle \operatorname {div} } ベクトル場 の発散として機能します。F {\displaystyle \mathbf {F} } ∫ ⋯ ∫ U ⏟ n div （ F ） d V = ∮ ⋯ ∮ ∂ U ⏟ n − 1 F ⋅ n d S {\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int _{U}} _{n}\operatorname {div} (\mathbf {F} )\,dV=\underbrace {\oint \cdots \oint _{\partial U}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS}
さらに、評価する必要があるのは∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } div （ F ） {\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )} 発散 は次のように記述できます。div （ F ） = ∇ ⋅ F = （ ∂ ∂ u 、 ∂ ∂ x 、 ∂ ∂ y 、 ∂ ∂ z 、 … ） ⋅ （ F u 、 F x 、 F y 、 F z 、 … ） = （ ∂ F u ∂ u + ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z + ⋯ ） {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} (\mathbf {F} )&=\nabla \cdot \mathbf {F} \\&=\left({\frac {\partial }{\partial u}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}},\dots \right)\cdot (F_{u},F_{x},F_{y},F_{z},\dots )\\&=\left({\frac {\partial F_{u}}{\partial u}}+{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}+\cdots \right)\end{aligned}}}
例２ ベクトル場を F = u 4 e u + x 5 e x + y 6 e y + z − 3 e z {\displaystyle \mathbf {F} =u^{4}\mathbf {e} _{u}+x^{5}\mathbf {e} _{x}+y^{6}\mathbf {e} _{y}+z^{-3}\mathbf {e} _{z}} ベクトル場は 、次の条件で制限されるとします。 0 ≤ x ≤ 1 − 10 ≤ y ≤ 2 π 4 ≤ z ≤ 5 − 1 ≤ u ≤ 3 {\displaystyle {0\leq x\leq 1}\quad {-10\leq y\leq 2\pi }\quad {4\leq z\leq 5}\quad {-1\leq u\leq 3}}
これを評価するには、前述の発散定理 を利用し、評価する必要があります。∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } d V = d x d y d z d u {\displaystyle dV=dx\,dy\,dz\,du}
S {\displaystyle {\scriptstyle S}} F ⋅ n d S {\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS} = ⨌ V （ ∂ F u ∂ u + ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z ） d V = ⨌ V （ ∂ u 4 ∂ u + ∂ x 5 ∂ x + ∂ y 6 ∂ y + ∂ z − 3 ∂ z ） d V = ⨌ V 4 u 3 z 4 + 5 x 4 z 4 + 5 y 4 z 4 − 3 z 4 d V = ⨌ V 4 u 3 z 4 + 5 x 4 z 4 + 5 y 4 z 4 − 3 z 4 d V = ∫ 0 1 ∫ − 10 2 π ∫ 4 5 ∫ − 1 3 4 u 3 z 4 + 5 x 4 z 4 + 5 y 4 z 4 − 3 z 4 d V = ∫ 0 1 ∫ − 10 2 π ∫ 4 5 （ 4 （ 3 u 4 z 3 + 3 y 6 + 91 z 3 + 3 ） 3 z 3 ） d y d z d u = ∫ 0 1 ∫ − 10 2 π （ 4 u 4 + 743440 21 + 4 z 3 ） d z d u = ∫ 0 1 （ − 1 2 π 2 + 1486880 π 21 + 8 π u 4 + 40 u 4 + 371720021 1050 ） d u = 371728421 1050 + 14869136 π 3 − 105 210 π 2 ≈ 576468.77 {\displaystyle {\begin{aligned}&=\iiiint _{V}\left({\frac {\partial F_{u}}{\partial u}}+{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)\,dV\\[6pt]&=\iiiint _{V}\left({\frac {\partial u^{4}}{\partial u}}+{\frac {\partial x^{5}}{\partial x}}+{\frac {\partial y^{6}}{\partial y}}+{\frac {\partial z^{-3}}{\partial z}}\right)\,dV\\[6pt]&=\iiiint _{V}{\frac {4u^{3}z^{4}+5x^{4}z^{4}+5y^{4}z^{4}-3}{z^{4}}}\,dV\\[6pt]&=\iiiint _{V}{\frac {4u^{3}z^{4}+5x^{4}z^{4}+5y^{4}z^{4}-3}{z^{4}}}\,dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{-10}^{2\pi }\int _{4}^{5}\int _{-1}^{3}{\frac {4u^{3}z^{4}+5x^{4}z^{4}+5y^{4}z^{4}-3}{z^{4}}}\,dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{-10}^{2\pi }\int _{4}^{5}\left({\frac {4(3u^{4}z^{3}+3y^{6}+91z^{3}+3)}{3z^{3}}}\right)\,dy\,dz\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{-10}^{2\pi }\left(4u^{4}+{\frac {743440}{21}}+{\frac {4}{z^{3}}}\right)\,dz\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left(-{\frac {1}{2\pi ^{2}}}+{\frac {1486880\pi }{21}}+8\pi u^{4}+40u^{4}+{\frac {371720021}{1050}}\right)\,du\\[6pt]&={\frac {371728421}{1050}}+{\frac {14869136\pi ^{3}-105}{210\pi ^{2}}}\\[6pt]&\approx {576468.77}\end{aligned}}}
したがって、以下の方法で経路積分を評価することができます。n = 4 {\displaystyle n=4} 。 n > 4 {\displaystyle n>4}
![{\displaystyle z:[a,b]\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4cdae12570b1d1b73fe6a9c373d34c590f9d6b)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}{\frac {\frac {1}{(z+i)^{2}}}{(zi)^{2}}}\,dz=2\pi i\,\left.{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{(z+i)^{2}}}\right|_{z=i}=2\pi i\left[{\frac {-2}{(z+i)^{3}}}\right]_{z=i}={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72188d37bdab77d054bf8c8852ce038b0417d5d2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {4i}{3}}\left[\oint _{C_{1}}{\frac {\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}\,dz+\oint _{C_{2}}{\frac {\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z+{\frac {i}{\sqrt {3}}} {3}}}}}\,dz\right]\\={}&-{\frac {4i}{3}}\left[2\pi i\left[{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]_{z={\frac {i}{\sqrt {3}}}}+2\pi i\left[{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]_{z=-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i\right)\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i\right)\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i\right)\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i\right)\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\frac {i}{\sqrt {3}}} {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {2}{i{\sqrt {3}}}}\right)\left({\frac {2}{{\sqrt {3}}i}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {4}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {2}{\sqrt {3}}}i\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{i\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{-i\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right) {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {3}{16}}+{\frac {3}{16}}\right]\\={}&\pi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148b7b3208377c854862d509f2052e2a1433f63b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\operatorname {Log} z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}(\log |z|+i\arg {z})}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{{\frac {1}{2}}(2\pi i)}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{\pi i}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {-{\sqrt {z}}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{\varepsilon }^{R}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d4d0610e00fa1944ba7bf74af772ad3c9417ae)
![{\displaystyle {\begin{aligned}-i\pi ^{2}&=\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz\\[6pt]&=\left(\int _{M}+\int _{N}\right)f(z)\,dz&&\int _{R},\int _{r}{\mbox{ vanish}}\\[6pt]&=-\int _{\infty }^{0}\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-xi\varepsilon )}{1+(-xi\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-xi\varepsilon )}{1+(-xi\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log x+i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log xi\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx&&\varepsilon \to 0\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {(\log x+i\pi )^{2}-(\log xi\pi )^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {4\pi i\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=4\pi i\int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d78280283f356694193503094a96eef3538b04)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)dV\\[6pt]&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \sin(2x)}{\partial x}}+{\frac {\partial \sin(2y)}{\partial y}}+{\frac {\partial \sin(2z)}{\partial z}}\right)dV\\[6pt]&=\iiint _{V}2\left(\cos(2x)+\cos(2y)+\cos(2z)\right)dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{3}\int _{-1}^{4}2(\cos(2x)+\cos(2y)+\cos(2z))\,dx\,dy\,dz\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{3}(10\cos(2y)+\sin(8)+\sin(2)+10\cos(z))\,dy\,dz\\[6pt]&=\int _{0}^{1}(30\cos(2z)+3\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6))\,dz\\[6pt]&=18\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45501b475df2826f3e00a5b9e653c443cef66cf3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&=\iiiint _{V}\left({\frac {\partial F_{u}}{\partial u}}+{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)\,dV\\[6pt]&=\iiiint _{V}\left({\frac {\partial u^{4}}{\partial u}}+{\frac {\partial x^{5}}{\partial x}}+{\frac {\partial y^{6}}{\partial y}}+{\frac {\partial z^{-3}}{\partial z}}\right)\,dV\\[6pt]&=\iiiint _{V}{\frac {4u^{3}z^{4}+5x^{4}z^{4}+5y^{4}z^{4}-3}{z^{4}}}\,dV\\[6pt]&=\iiiint _{V}{\frac {4u^{3}z^{4}+5x^{4}z^{4}+5y^{4}z^{4}-3}{z^{4}}}\,dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{-10}^{2\pi }\int _{4}^{5}\int _{-1}^{3}{\frac {4u^{3}z^{4}+5x^{4}z^{4}+5y^{4}z^{4}-3}{z^{4}}}\,dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{-10}^{2\pi }\int _{4}^{5}\left({\frac {4(3u^{4}z^{3}+3y^{6}+91z^{3}+3)}{3z^{3}}}\right)\,dy\,dz\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{-10}^{2\pi }\left(4u^{4}+{\frac {743440}{21}}+{\frac {4}{z^{3}}}\right)\,dz\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left(-{\frac {1}{2\pi ^{2}}}+{\frac {1486880\pi }{21}}+8\pi u^{4}+40u^{4}+{\frac {371720021}{1050}}\right)\,du\\[6pt]&={\frac {371728421}{1050}}+{\frac {14869136\pi ^{3}-105}{210\pi ^{2}}}\\[6pt]&\approx {576468.77}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31867f3ec2a46e4ab5a26d3ac674804a820d6f21)
