関数合成

数学では、合成演算子は2 つの 関数、およびを受け取り、新しい関数を返します。したがって、関数 $gは、$ $f を$ $x$ に適用した後に適用されます。 $\circ$ $f$ $g$ $h(x):=(g\circ f)(x)=g(f(x))$

逆合成は、と表記されることもあり、 first とsecond を適用して、操作を逆の順序で適用します。直感的には、逆合成は、関数 $fの出力が関数$ $g$ の入力に供給される連鎖プロセスです。 $f\mapsto g$ $f$ $g$

関数の合成は関係の合成の特殊なケースであり、と表記されることもある。その結果、関係の合成のすべての性質は、結合性など関数の合成にも当てはまる^{[1] 。} $\circ$

例

有限集合上の関数の合成: $f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ 、 $g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ の場合、図に示すように、 $g \circ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}$ となります。
無限集合上の関数の合成: $f : R \to R$ (ここで $R$ はすべての実数の集合) が $f (x) = 2 x + 4$ で与えられ、 $g : R \to Rが$ $g (x) = x 3$ で与えられる場合、次のようになります。
$(f \circ g)(x) = f (g (x)) = f (x 3) = 2 x 3 + 4$ であり、

$(g \circ f)(x) = g (f (x)) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3$ 。
$時刻t$ における飛行機の高度が $a (t) 、高度$ $x$ における気圧が $p (x)$ とすると、 $(p \circ a)(t)は時刻$ $t$ における飛行機の周囲の圧力となります。

プロパティ

関数の合成は常に結合的であり、これは関係の合成から継承された性質である。^[1]つまり、 $f$ 、 $g$ 、 $h$ が合成可能であれば、 $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ となる。^[2]括弧は結果を変えないので、通常は省略される。

厳密な意味では、合成 $g \circ f$ $は、 f$ の余域が $g$ の域と等しい場合にのみ意味を持ちます。より広い意味では、前者が後者の不適切部分集合であれば十分です。 ^{[注 1]さらに、} $f が$ $g$ の域内の値のみを生成するように、 $f$ の域を暗黙的に制限すると便利な場合がよくあります $。$ たとえば、 $f$ $($ $x$ $) = 9 -$ $x$ $2$ で定義される関数 $f$ $:$ $R$ $\to$ $(-\infty,+9]$ と、で定義される $g$ $: [0,+$ $\infty$ $)$ $\to$ $R$ の合成 $g$ ∘ f は、区間 $[-3,+3]$ で定義できます。 $g(x)={\sqrt {x}}$

関数 $g$ と $f は、$ $g$ $\circ$ $f$ $=$ $f$ $\circ$ $g$ の場合、互いに可換であると言われています。可換性は特別な性質であり、特定の関数によってのみ、また多くの場合は特別な状況で実現されます。たとえば、 $|$ $x$ $| + 3 = |$ $x$ $+ 3$ $|となるのは、$ $x$ $\geq 0$ の場合のみです。図は別の例を示しています。

一対一（単射）関数の合成は常に一対一です。同様に、全射（射影）関数の合成は常に全射です。したがって、2つの全単射の合成も全単射です。合成の逆関数（可逆と仮定）は、 $(f \circ g) -1 = g -1 \circ f -1$ という性質を持ちます。^[3]

微分可能な関数を含む合成関数の導関数は連鎖律を使って求めることができる。そのような関数の高次導関数はファア・ディ・ブルーノの公式で与えられる。^[2]

関数の合成は関数空間上の一種の乗算として説明されることもあるが、関数の点ごとの乗算とは非常に異なる性質を持つ（例えば、合成は可換ではない）。^[4]

合成モノイド

同じ定義域と余定義域を持つ2 つ (またはそれ以上) の関数 $f : X \to X 、$ $g : X \to Xがあるとします。これらはしばしば$ 変換と呼ばれます。すると、 $f \circ f \circ g \circ f$ のように、一緒に合成された変換の連鎖を形成できます。このような連鎖はモノイドの代数構造を持ち、変換モノイドまたは (まれに)合成モノイドと呼ばれます。一般に、変換モノイドは驚くほど複雑な構造を持つことがあります。特に注目すべき例として、ド・ラーム曲線があります。すべての関数 $f$ $:$ $X$ $\to$ $X$ の集合は、 $X$ 上の完全変換半群^[5]または対称半群^[6]と呼ばれます。 (半群演算を関数の左合成または右合成としてどのように定義するかによって、実際には 2 つの半群を定義できます。^[7] )

変換が全単射（したがって可逆）である場合、これらの関数のすべての可能な組み合わせの集合は変換群を形成し、その群はこれらの関数によって生成されると言えます。群論における基本的な結果であるケイリーの定理は、基本的に、任意の群は実際には置換群のサブグループにすぎないことを示しています（同型を除いて）。^[8]

$すべての全単射関数f : X \to X$ (順列と呼ばれる)の集合は、関数合成に関して群を形成します。これは対称群であり、合成群と呼ばれることもあります。

対称半群（すべての変換）では、対称半群が正則半群であるため、より弱い、一意でない逆の概念（擬似逆と呼ばれる）も見つかります。^[9]

機能的権限

$Y \subseteq X$ の場合、 $f : X \to Y は$ それ自身と合成することができます。これは $f 2$ と表記されることもあります。つまり、

(f \circ f)(x) = f (f (x)) = f 2 (x)

(f \circ f \circ f)(x) = f (f (f (x))) = f 3 (x)

(f \circ f \circ f \circ f ) (x) = f (f (f (x)) )) = f 4 (x)

より一般的には、任意の自然数 $n \geq 2$ に対して、 $n$ 次の関数のべき乗は、ハンス・ハインリッヒ・ビュルマン^[^要出典^]^[10]^[11]とジョン・フレデリック・ウィリアム・ハーシェル[12]によって導入された表記法である $f n = f \circ f n -1 = f n -1 \circ f$ によって帰納的に定義できます。^[10]^[^13]^[11]このような関数をそれ自身と繰り返し合成することを関数反復と呼びます。

慣例により、 $f 0 は$ $f$ の定義域、 $id X$ 上の恒等写像として定義されます。
$Y = X$ かつ $f : X \to X が$ 逆関数 $f -1$ を許容する場合、負の関数冪 $f - n は$ $n > 0$ に対して逆関数の冪の反転として定義される: $f - n = (f -1) n$ 。^[12]^[10]^[11]

注: $f が$ 環で値を取る場合(特に実数値または複素数値の $f$ の場合)、 $f n は$ $fの$ $n$ 倍積を表すこともできるため、混乱が生じる可能性があります(例: $f$ $2$ $($ $x$ $) =$ $f$ $($ $x$ $) \cdot$ $f$ $($ $x$ $) )$ 。^[11]三角関数の場合、少なくとも正の指数については、通常は後者を意味します。^[11]たとえば、三角法では、この上付き表記は三角関数で使用される標準的な指数を表します。

$sin 2 (x) = sin(x) \cdot sin(x)$ 。

ただし、負の指数（特に -1）の場合でも、通常は逆関数を参照します。たとえば、 $tan -1 = arctan \neq 1/tan です$ 。

場合によっては、与えられた関数 $f$ に対して、方程式 $g \circ g = f が$ 唯一の解 $gを持つとき、その関数は$ $f$ の関数平方根として定義され、 $g$ $=$ $f$ $1/2$ と表記されます。

より一般的には、 $g n = f が何らかの自然数$ $n > 0$ に対して一意の解を持つ場合、 $f m / n は$ $g m$ として定義できます。

追加の制約の下では、この考え方は、反復回数が連続パラメータになるように一般化できます。この場合、そのようなシステムはフローと呼ばれ、シュレーダー方程式の解によって指定されます。反復関数とフローは、フラクタルと動的システムの研究で自然に発生します。

曖昧さを避けるために、一部の数学者^[要出典]は、合成的な意味を表すために $\circ を$ 使用することを選択し、関数 $f$ $($ $x$ $)の$ $n$ 回目の反復を $f \circ n (x)$ と書きます。たとえば、 $f$ $\circ3$ $($ $x$ $) は$ $f$ $($ $f$ $($ $f$ $($ $x$ $)))$ を意味します。同じ目的で、ベンジャミン・パース^[14]^[11]は $f$ $[$ $n$ $]$ $($ $x$ $)$ を使用しましたが、アルフレッド・プリンシャイムとジュール・モルクは代わりに $n$ $f$ $($ $x$ $)$ を提案しました。^[15]^[11]^{[nb 2]}

代替表記

多くの数学者、特に群論の分野では $、$ g∘f $を$ $gf$ $と$ 書き、合成記号を省略する。^[16]

20世紀半ば、一部の数学者は後置記法を採用し、 $f$ $($ $x$ $)$ を $xf$ 、 $g$ $($ $f$ $($ $x$ $))$ を $($ $xf$ $)$ $g$ と書きました。^{[17]これは、}線型代数で $x が$ 行ベクトルで $f$ と $g が$ 行列を表し、合成が行列の乗算によって行われる場合など、多くの場合、前置記法よりも自然です。関数の合成は必ずしも可換ではないため、順序は重要です。連続した変換を右に適用して合成することは、左から右への読み取り順序と一致します。

後置記法を使用する数学者は、後置記法での記号の出現順序に従って、最初に $f を$ 適用し、次に $gを適用することを意味する「$ $fg 」と書くことがあるが、このため「$ $fg$ 」という表記は曖昧になる。コンピュータ科学者はこれを「 $f$ $;$ $g$ 」と書き、 ^[18]合成の順序の曖昧さを解消する。左合成演算子をテキストのセミコロンと区別するために、Z表記法では左関係合成に ⨾ 文字を使用する。^{[19]すべての関数は}二項関係であるため、関数合成にも [太字] セミコロンを使用するのが正しい（この表記法の詳細については、関係の合成に関する記事を参照）。

合成演算子

関数 $g$ が与えられたとき、合成演算子 $C g は、$ 関数を関数に写像する演算子として定義されます。合成演算子は、演算子理論の分野で研究されています。 $C_{g}f=f\circ g.$

プログラミング言語では

関数合成は、さまざまなプログラミング言語で何らかの形で現れます。

多変数関数

多変数関数では部分合成が可能です。関数 $f$ の引数 $x i を$ 関数 $gに置き換えたときに得られる関数は、コンピュータエンジニアリングの文脈では$ $f$ と $g$ の合成と呼ばれ、 $f$ $|$ $x$ $i$ $=$ $g$ と表記されます。 $f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).$

$g$ が単純な定数 $b$ のとき、合成は（部分）評価に退化し、その結果は制限または共因子としても知られています。^[20]

$f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).$

一般に、多変数関数の合成には、原始再帰関数の定義のように、引数として他のいくつかの関数が含まれることがあります。 $n$ 元関数 $f$ と $n 個の$ $m$ 元関数 $g$ $1$ $、...、$ $g$ $n$ $が与えられた場合、 f$ と $g$ $1$ $、...、$ $g$ $n$ の合成は $m$ 元関数です。 $h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m})).$

これは、 fと $g$ $1$ $、...、$ $g$ $n$ との一般化合成または重ね合わせと呼ばれることもあります。^[21]前述の1つの引数のみの部分合成は、1つを除くすべての引数関数を適切に選択された射影関数に設定することで、このより一般的なスキームからインスタンス化できます。ここで、 $g$ $1$ $、...、$ $g$ $n は$ 、この一般化スキームでは単一のベクトル/タプル値関数として見ることができ、その場合、これはまさに関数合成の標準的な定義です。^[22]

ある基底集合X上の有限演算の集合は、それがすべての射影を含み、一般化合成の下で閉じている場合、クローンと呼ばれます。クローンには一般にさまざまな引数の演算が含まれます。^[21]交換の概念は、多変数の場合にも興味深い一般化が見られます。引数がnの関数f は引数がmの関数gと交換できると、 f がg を保存する準同型である場合に言われ、その逆も同様です。つまり、次のようになります。^[21] $f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm})).$

単項演算は常にそれ自身と可換であるが、二項演算（またはそれ以上の項数）の場合は必ずしもそうではない。それ自身と可換である二項演算（またはそれ以上の項数）はメディアル演算またはエントロピー演算と呼ばれる。^[21]

一般化

合成は $任意の$ 二項関係に一般化できる。R ⊆ X × Y と S ⊆ Y × Z が2つの二項関係である場合 $、それらの合成$ は $次のようになる$ 。

$R\circ S=\{(x,z)\in X\times Z:(\exists y\in Y)((x,y)\in R\,\land \,(y,z)\in S)\}$ 。

関数を二項関係（つまり関数関係）の特殊なケースと見なすと、関数合成は関係合成の定義を満たします。小さな円 $R \circ S は、$ 関数だけでなく関係の合成の挿入記法にも使用されています。ただし、関数の合成を表すために使用される場合、テキストのシーケンスは逆になり、それに応じて異なる操作シーケンスが示されます。 $(g\circ f)(x)\ =\ g(f(x))$

合成は部分関数に対しても同様に定義され、ケイリーの定理にはワグナー・プレストン定理と呼ばれる類似物がある。^[23]

関数を射とする集合の圏は原型圏である。圏の公理は、実際、関数合成の性質（および定義）からヒントを得ている。^{[24]合成によって与えられる構造は、圏論において、関数の圏論的置き換えとしての}射の概念によって公理化され一般化されている。式 $($ $f$ $\circ$ $g$ $)$ $-1$ $= ($ $g$ $-1$ $\circ$ $f$ $-1$ $)$ における逆の合成順序は、逆関係を用いた関係の合成に適用され、したがって群論にも適用される。これらの構造はダガー圏を形成する。

数学の標準的な「基礎」は、集合とその要素から始まります。集合の要素ではなく集合間の関数を公理化することで、異なる方法で始めることも可能です。これは、カテゴリと普遍的な構成の言語を使用することで実現できます。

. . . 集合の所属関係は、関数の合成演算に置き換えることができる場合が多い。これにより、カテゴリ、具体的にはすべての関数のカテゴリに基づく数学の代替基盤が生まれる。数学の多くは動的であり、あるオブジェクトから同じ種類の別のオブジェクトへの射を扱っている。このような射は(関数のように)カテゴリを形成するため、カテゴリを介したアプローチは、数学を体系化し理解するという目的によく適合する。実際、それが数学の適切な哲学の目標であるべきである。
-サンダース・マクレーン『数学：形態と機能』^[25]

タイポグラフィ

合成記号 $\circは、$ U+2218 ∘ RING OPERATOR ( ∘, ∘ )としてエンコードされます。類似した Unicode 文字については、度記号の記事を参照してください。TeX では、と記述されます。 \circ

参照

注記

^ 厳密な意味では、例えば、サブセット関係が包含関数によって明示的にモデル化されるカテゴリー理論で使用されます。
^ アルフレッド・プリングシャイムとジュール・モルク(1907) による関数合成を表す表記 $n f (x)$ は、ハンス・マウラー (1901) とルーベン・ルイス・グッドスタイン(1947)がテトレーションを表すために導入したルドルフ・フォン・ビッター・ラッカー( 1982)の表記 $n x$ や、デイヴィッド・パターソン・エラーマン(1995) による根を表す $n$ $x の$ 上付き文字の前表記と混同してはならない。

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外部リンク

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[Cajori_1929-12] Cajori, Florian (1952) [1929 年 3 月]。「§472. 対数のべき乗 / §473. 反復対数 / §533. 逆関数のジョン・ハーシェルの表記法 / §535. 逆関数の競合表記法の持続性 / §537. 三角関数のべき乗」。数学表記法の歴史。第 2 巻 (1929 年発行の第 3 版訂正版)。シカゴ、米国: Open court publishing company。pp . 108、176–179、336、346。ISBN 978-1-60206-714-1. 2016-01-18に取得。[…] §473.反復対数[…] ここで、PringsheimとMolkがEncyclopédie の共同記事で使用した記号に注目します。「² log _b a = log _b (log _b a )、…、^{k +1} log _b a = log _b ( ^k log _b a )。」^[a] […] §533.逆関数sin ⁻¹x、 tan ⁻¹xなどのJohn Herschelの表記は、 1813 年のPhilosophical Transactions of Londonで彼によって発表されました。彼は (p. 10) 次のように述べています。「この表記 cos. ⁻¹e は1/cos. eを意味するのではなく、通常このように記述される arc (cos.= e )を意味すると理解する必要があります。」彼は、一部の著者が cos. を使用していることを認めています。^m Aを (cos. A ) ^mと書いていますが、d ²x、 Δ ³x、 Σ ²x はdd x、 ΔΔΔ x、 ΣΣ xを意味するので、 sin. sin. x の代わりに sin. ²x、 log. log . log. xの代わりに log. ³xと書くべきだと指摘して、彼自身の表記法を正当化しています。 d ⁻ⁿ V=∫ ⁿ Vと書くのと同じように、 sin. ⁻¹x =arc (sin.= x )、 log. ⁻¹x .=c ^xと書くこともできます。数年後、ハーシェルは、1813年にはf ⁿ ( x )、f ⁻ⁿ ( x )、 sin. ⁻¹xなどと、彼が初めて想定した。しかし、この数か月の間に、ドイツの分析家バーマンの研究が彼の知るところとなり、その中で同じことがかなり以前に説明されていた。しかし、彼[バーマン]は、この考えを逆関数 tan ⁻¹に適用することの便利さに気付いていなかったようだ。、など、また、それが生み出す関数の逆計算についてもまったく認識していないようだ。」ハーシェルは、「この表記法の対称性と、とりわけ解析演算の性質についてそれが開く新しい最も広範な見解は、この表記法の普遍的な採用を正当化するようだ。」と付け加えている。^[b] […] §535.逆関数に対する競合表記法の存続。— […] ハーシェルの表記法の使用は、ベンジャミン・パースの著書で、それらに対する主な反対意見を取り除くためにわずかに変更された。パースは次のように書いている。「cos ^[−1] x」、「log ^[−1] x」。^[c] […] §537.三角関数の累乗。—たとえば、sin xの2乗を表すために、(sin x ) ²、sin x ²、sin ² xの3つの主要な表記法が使用されてきた。現在、主流の表記法は sin ² xであるが、最初の表記法は最も一般的ではない。誤解される。 sin ² xの場合、2つの解釈が考えられる。1つは sin x ⋅ sin x、2つ目は^[d] sin (sin x ) である。後者のタイプの関数は通常は現れないため、log ² x の場合に比べて誤解の危険性は非常に低い。log 2 xの場合、log x ⋅ log xと log (log x ) は解析で頻繁に出現する。 […] (sin x ) ⁿの表記 sin ⁿ x は広く使用されており、現在ではこれが主流となっている。 […](xviii+367+1 ページ、うち補遺 1 ページ) (注: ISBN とリンクは、Cosimo, Inc.、ニューヨーク、米国、2013 年の第 2 版の再版です。)

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[27] 「Saunders Mac Lane - 名言集」。数学の歴史。 2024年2月13日閲覧。