相互ルール

微積分学では、逆数法則は関数 f の逆数の導関数を fの導関数で表します。逆数 法則は、正の指数に対してべき乗法則がすでに成立している場合、負の指数に対してもべき乗法則が成立することを示すために使用できます。また、逆数法則と積法則から商法則を簡単に導き出すことができます。

逆数規則は、fが点xで微分可能であり、f ( x ) ≠ 0である場合、g( x ) = 1/ f ( x )もxで微分可能であり、

$${\displaystyle g'(x)=-{\frac {f'(x)}{f(x)^{2}}}.}$$

この証明は、 がで微分可能であるという前提と、 がそこで必然的に連続であるという定理に依存し ています。でのの微分の定義を に適用すると 、次のようになります。 この積の極限が存在し、その因数の既存の極限の積に等しいです。 最初の極限での の微分可能性により に等しく、および の連続性により2 番目の極限で に等しく、したがって次のようになり ます。${\displaystyle f}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)\neq 0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}g'(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{f(x)}}\right)&=\lim _{h\to 0}\left({\frac {{\frac {1}{f(x+h)}}-{\frac {1}{f(x)}}}{h}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x)-f(x+h)}{h\cdot f(x)\cdot f(x+h)}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left(-({\frac {(f(x+h)-f(x)}{h}})\cdot ({\frac {1}{f(x)\cdot f(x+h)}})\right)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \left(-\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {1}{f(x)\cdot f(x+h)}}\right)}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -f'(x),}$${\displaystyle f(x)\neq 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1/f(x)^{2},}$$${\displaystyle g'(x)=-f'(x)\cdot {\frac {1}{f(x)^{2}}}=-{\frac {f'(x)}{f(x)^{2}}}}$$

次のように主張されるかもしれない。

$${\displaystyle f(x)\cdot {\frac {1}{f(x)}}=1,}$$

積の法則を適用すると、

$${\displaystyle f'(x)\left({\frac {1}{f}}\right)(x)+f(x)\left({\frac {1}{f}}\right)'(x)=0,}$$

これを代数的に整理すると、

$${\displaystyle \left({\frac {1}{f}}\right)'(x)={\frac {-f'(x)}{f(x)^{2}}}.}$$

しかし、これは 1/ f がxで微分可能である ことを証明していません。これは、 1/ fがxで微分可能であることがすでに確立されている場合にのみ有効です。その意味では、上で証明された逆数規則よりも弱い結果です。しかし、微分できないものはなく、導関数が極限によって定義されない微分代数のコンテキストでは、逆数規則とより一般的な商規則がこのようにして確立されます。

多くの場合、 というべき乗則は、 nが非負の整数の場合にのみ有効な方法によって証明されます。 これは、とすることで負の整数nに拡張できます。ここで、mは正の整数です。 ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(x^{n})=nx^{n-1}}$${\displaystyle n=-m}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}x^{n}&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)\\&=-{\frac {{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}},{\text{ by the reciprocal rule}}\\&=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}},{\text{ by the power rule applied to the positive integer }}m,\\&=-mx^{-m-1}=nx^{n-1},{\text{ by substituting back }}n=-m.\end{aligned}}}$$

逆数則は商則の特別な場合であり、fとgがxで微分可能でg ( x )≠0のとき、

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]={\frac {g(x)f\,'(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.}$$

商の法則は次のように記述することで証明できる。

$${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}}$$

まず積の法則を適用し、次に逆数の法則を 2 番目の要素に適用します。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]&={\frac {d}{dx}}\left[f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right]\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.\end{aligned}}}$$

逆数規則を使用すると、割線関数と余割関数の導関数を求めることができます。

セカント関数の場合:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sec x&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{\cos x}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos x}}\cdot {\frac {\sin x}{\cos x}}=\sec x\tan x.\end{aligned}}}$$

コセカントも同様に扱われます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\csc x&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{\sin x}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}\sin x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {1}{\sin x}}\cdot {\frac {\cos x}{\sin x}}=-\csc x\cot x.\end{aligned}}}$$

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