3次導関数

数学の一分野である微積分学において、三次導関数または三次微分は、二次導関数または変化率の変化率が変化する率である。関数の三次導関数は次のように表される。 ${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\quad f'''(x),\quad {\text{or }}{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)].}$

微分化には他の表記法も使用できますが、上記の表記法が最も一般的です。

とします。すると、となります。したがって、この場合、 fの 3 次導関数は、${\displaystyle f(x)=x^{4}}$${\displaystyle f'(x)=4x^{3}}$${\displaystyle f''(x)=12x^{2}}$

${\displaystyle f'''(x)=24x}$

あるいは、ライプニッツ記法を用いると、

${\displaystyle {\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[x^{4}]=24x.}$

より一般的な定義をしましょう。f を x の任意の関数とし、f が微分可能であるとします。すると、  f の3次導関数は次のように表されます。

${\displaystyle {\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)]={\frac {d}{dx}}[f''(x)].}$

3 次導関数は、 2 次導関数( f ''( x )) が変化する速度です。

微分幾何学では、3次元曲線の基本的な性質である曲線のねじれは、曲線を記述する座標関数（または位置ベクトル）の3次導関数を使用して計算されます。 ^[1]

物理学、特に運動学では、ジャークは物体の位置関数の 3 次導関数として定義されます。これは本質的に、加速度が変化する割合です。数学的に言うと、次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {j} (t)={\frac {d^{3}\mathbf {r} }{dt^{3}}}}$

ここで、j ( t )は時間に対するジャーク関数であり、r ( t )は時間に対する物体の位置関数です。

リチャード・ニクソン米大統領は、二期目の大統領選挙運動中、インフレ率の上昇率は低下していると発表したが、これは「現職大統領が再選に向けて三次導関数を使った初めての事例」として注目された。^[2]インフレ自体は導関数（貨幣の購買力が減少する率）であるため、インフレ率の上昇率はインフレの導関数であり、貨幣の購買力の二次導関数とは符号が逆である。関数が減少 すると述べることは、その導関数が負であると述べることと同等であるため、ニクソンの発言は、インフレの二次導関数が負であり、購買力の三次導関数が正である、ということになる。

ニクソンの声明はインフレ率の上昇を容認していたため、必ずしも即時の物価安定を示唆したわけではなく、将来的にはより安定した傾向を示すものであった。

• 異常性（幾何学）
• 微分（数学）
• 2次導関数