積分積分

積分は、微積分における通常の和ベースの積分の積ベース版である。積分は、1887年に数学者ヴィト・ヴォルテラによって線形微分方程式系を解くために開発された。^{[1] [2]}

関数の古典的なリーマン積分は、次の関係式で定義される。 ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\Delta x\to 0}\sum f(x_{i})\,\Delta x,}$

ここで、極限はノルムがゼロに近づく区間のすべての分割に対して取られます。積積分も同様ですが、和の極限ではなく積の極限を取ります。これらは「離散」積の「連続」バージョンと考えることができます。これらは次のように定義されます。 ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {\big (}1+f(x_{i})\,\Delta x{\big )}.}$

の場合、積分はルベーグ積分の場合、つまり古典的な微積分 の場合とまったく同じになります。したがって、 が有限次元行列体などの可換代数である場合、または が非可換代数である場合の関数 について、興味深いケースが生じます。これら 2 つのケース、つまり可換ケースと非可換ケースの理論には、共通点がほとんどありません。非可換ケースははるかに複雑で、積分を明確に定義するには適切なパス順序付けが必要です。 ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f:[a,b]\to A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

可換積分の場合、文献ではタイプ I、タイプ II または幾何積分、タイプ III または二幾何積分と呼ばれる 3 つの異なる定義が一般的です。^{[3] [4] [5]このような積分は、}疫学(カプラン・マイヤー推定量) や確率的人口動態 で使用されています。幾何積分は、幾何微分とともに、画像分析^[6]や成長/減衰現象の研究 (経済成長、細菌増殖、放射性崩壊など) に有用です。^{[7] [8]二幾何積分は、二幾何微分とともに、}フラクタル^{[9] [10] [11] [12]}のいくつかの応用や、経済学の弾力性理論で有用です。[ 3 ] ^{[ 5] [13]}

非可換な場合は、量子力学と量子場の理論でよく発生します。被積分関数は一般に、何らかの非可換代数に属する演算子です。この場合、積分中に経路順序を確立するように注意する必要があります。典型的な結果は、順序付けられた指数関数です。マグナス展開は、ボルテラ積分を計算するための1つの手法を提供します。例としては、ダイソン展開、演算子積展開で発生する積分、およびゲージ場上の積積分であるウィルソン線があります。ウィルソンループは、ウィルソン線のトレースです。積積分は、マスター方程式タイプの形式 で記述された線形システムの状態遷移を記述するペアノ–ベーカー級数として、制御理論でも発生します。

ヴォルテラ積分は、行列値関数またはバナッハ代数の値を持つ関数に適用すると最も有用である。非可換体に属するスカラー、行列、演算子、つまり可換でない数学的対象に適用する場合、ヴォルテラ積分は2つの定義に分かれる。^[14]

左積分は

${\displaystyle P(A,D)=\prod _{i=m}^{1}(\mathbb {1} +A(\xi _{i})\Delta t_{i})=(\mathbb {1} +A(\xi _{m})\Delta t_{m})\cdots (\mathbb {1} +A(\xi _{1})\Delta t_{1})}$

この左積の表記（つまり左から適用された通常の積）では

${\displaystyle \prod _{a}^{b}(\mathbb {1} +A(t)dt)=\lim _{\max \Delta t_{i}\to 0}P(A,D)}$

適切な製品インテグラル

${\displaystyle P(A,D)^{*}=\prod _{i=1}^{m}(\mathbb {1} +A(\xi _{i})\Delta t_{i})=(\mathbb {1} +A(\xi _{1})\Delta t_{1})\cdots (\mathbb {1} +A(\xi _{m})\Delta t_{m})}$

この右積の表記（つまり右から適用）では

${\displaystyle (\mathbb {1} +A(t)dt)\prod _{a}^{b}=\lim _{\max \Delta t_{i}\to 0}P(A,D)^{*}}$

ここで、は単位行列であり、 D はリーマンの意味で区間 [a,b] の分割です。つまり、極限は分割の最大区間を超えています。 この場合、定義において 時間の順序が明らかになることに注意してください。${\displaystyle \mathbb {1} }$

マグヌス展開は積分を計算するための手法を提供します。これは、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ公式の連続時間バージョンを定義します。

積分は、1パラメータ連続群を定義する一連の特性を満たします。これらは、ダイソン級数とペアノ・ベーカー級数という応用を示す2つの論文で述べられています。

可換な場合ははるかに単純であり、その結果、多種多様な表記法と定義が登場しました。文献では 3 つの異なるスタイルが人気があります。このサブセクションでは、積積分に、ボルテラなどが好んだ積分 (通常は重ね合わせた倍数記号または文字 P で修正)ではなく、積表記法を採用します。この分野に何らかの秩序を課すために、任意の型の分類を採用します。 ${\displaystyle \textstyle \prod }$${\displaystyle \textstyle \int }$

積分される関数が実数で評価される場合、理論はルベーグ積分の理論に正確に帰着します。

タイプIの積分は、ヴォルテラの元の定義に対応しています。^{[2] [15] [16]}スカラー関数 には次の関係があります。 ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}=\exp \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right),}$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}f(x)^{dx}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {f(x_{i})^{\Delta x}}=\exp \left(\int _{a}^{b}\ln f(x)\,dx\right),}$

これは幾何積分と呼ばれます。対数は、f が実数または複素数内の値を取る場合、またはf が可換トレースクラス演算子の可換体内の値を取る場合に明確に定義されます。積積分のこの定義は、離散積演算子( )の連続アナログであり、 (通常の/標準の/加法的な)積分( ) の乗法アナログです。 ${\displaystyle \textstyle \prod _{i=a}^{b}}$${\displaystyle i,a,b\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}dx}$${\displaystyle x\in [a,b]}$

これは確率論において非常に有用であり、対数尤度（すなわち、独立したランダム変数の積分値の対数）は、これらの（無限に小さい）ランダム変数の対数の積分値に等しくなります。

${\displaystyle \ln \prod _{a}^{b}p(x)^{dx}=\int _{a}^{b}\ln p(x)\,dx.}$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}f(x)^{d(\ln x)}=\exp \left(\int _{\ln(a)}^{\ln(b)}\ln f(e^{x})\,dx\right),}$

III 型積分は二幾何積分と呼ばれます。

可換なケースでは、タイプ II 積分 (幾何積分) に対して次の結果が成立します。

${\displaystyle \prod _{a}^{b}c^{dx}=c^{b-a},}$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}x^{dx}={\frac {b^{b}}{a^{a}}}{\rm {e}}^{a-b},}$

${\displaystyle \prod _{0}^{b}x^{dx}=b^{b}{\rm {e}}^{-b},}$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}\left(f(x)^{k}\right)^{dx}=\left(\prod _{a}^{b}f(x)^{dx}\right)^{k},}$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}\left(c^{f(x)}\right)^{dx}=c^{\int _{a}^{b}f(x)\,dx},}$

幾何積分（上記タイプII）は、乗法積分である幾何微積分^{[3] [4] [17]において中心的な役割を果たしている。幾何積分の逆関数である}幾何微分は、 と表記され、次の関係式を使用して定義される。 ${\displaystyle f^{*}(x)}$

${\displaystyle f^{*}(x)=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}$

したがって、次のことが結論付けられます。

基本定理

${\displaystyle \prod _{a}^{b}f^{*}(x)^{dx}=\prod _{a}^{b}\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx\right)={\frac {f(b)}{f(a)}},}$

積のルール

${\displaystyle (fg)^{*}=f^{*}g^{*}.}$

商の法則

${\displaystyle (f/g)^{*}=f^{*}/g^{*}.}$

大数の法則

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{X_{1}X_{2}\cdots X_{n}}}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\prod _{x}X^{dF(x)},}$

ここで、Xは確率分布F ( x ) を持つランダム変数です。

標準的な大数の法則と比較してください。

${\displaystyle {\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\int X\,dF(x).}$

被積分関数が実数の値を取る場合、積分区間は簡単な関数を使用して簡単に操作できるようになります。ルベーグ版の（古典的な）積分の場合と同様に、積分は簡単な関数の積分で近似することで計算できます。タイプ II 幾何積分の場合は、古典的なルベーグ積分の場合とまったく同じになります。

単純関数はステップ関数を一般化するため、以下ではステップ関数である単純関数の特殊なケースのみを検討します。これにより、ルベーグ定義とリーマン定義の比較も容易になります。

タグ付きパーティションを持つステップ関数が与えられた場合${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b,\quad x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1},x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2},\dots ,x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n},}$

第一種積分に対する「リーマン定義」の近似値は^{[18]で与えられる。}

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left[{\big (}1+f(t_{k}){\big )}\cdot (x_{k}-x_{k-1})\right].}$

(タイプ I) 積積分は、大まかに言えば、ルートヴィヒ・シュレジンガーが1931 年の論文でこれらの積の極限として定義しました。 ^{[どの? ]}

第一種積分に対する「リーマン定義」の別の近似は次のように定義される。

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\exp {\big (}f(t_{k})\cdot (x_{k}-x_{k-1}){\big )}.}$

が定数関数のとき、第１のタイプの近似の極限は第２のタイプの近似と等しくなります。^[19]一般に、ステップ関数の場合、第２のタイプの近似の値は、分割がステップ関数を定義する分割の改良である限り、分割に依存しないのに対し、第１のタイプの近似の値は、ステップ関数を定義する分割の改良である場合でも、分割の細かさに依存することに注意してください。 ${\displaystyle f}$

^[20]は、任意の積分可能関数に対して、第1のタイプの近似の極限が第2のタイプの近似の極限に等しいことを示している。ステップ関数の場合、第2のタイプの近似の値は「十分に細かい」分割の細かさに依存しないため、^[21]ステップ関数の「ルベーグ（タイプI）積分」を次のように 定義することは理にかなっている。${\displaystyle f}$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{k=1}^{n}\exp {\big (}f(s_{k})\cdot (y_{k}-y_{k-1}){\big )},}$

ここで、 はステップ関数 に対応するタグ付きパーティションです。(対照的に、対応する量は、最初のタイプの近似を使用して明確に定義されません。) ${\displaystyle y_{0}<a=s_{1}<y_{1}<\dots <y_{n-1}<s_{n}<y_{n}=b}$${\displaystyle f}$

これは任意の測度空間に容易に一般化できる。 が測度を持つ測度空間である場合、任意の積分可能な単純関数（すなわち、いくつかの互いに素な測度可能な集合に対する指示関数の円錐結合）に対して、そのI型積分は次のように定義される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}I_{A_{k}}(x)}$${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\subseteq X}$

${\displaystyle \prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{k=1}^{n}\exp {\big (}a_{k}\mu (A_{k}){\big )},}$

は の任意の点におけるの値であるためです。、がルベーグ測度、すべての測定可能な集合が区間 である特殊なケースでは、これがその特殊なケースに対して上で与えられた定義に等しいことを確認できます。ルベーグ（古典）積分の理論と同様に、任意の積分可能関数のタイプ I 積分は、積分可能単純関数のボルテラ積分の 増加列の極限として記述できます。${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A_{k}}$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A_{k}}$${\displaystyle f}$

上記の定義の両辺の対数をとると、任意の積分可能な単純関数に対して次の式が得られます。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \ln \left(\prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\right)=\ln \left(\prod _{k=1}^{n}\exp {\big (}a_{k}\mu (A_{k}){\big )}\right)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k})=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\iff }$

${\displaystyle \prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}=\exp \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right),}$

ここでは、単純な関数の積分の定義を使用しました。さらに、のような連続関数は極限と交換可能であり、任意の積分可能な関数の積積分は単純な関数の積積分の極限に等しいため、関係式は次のようになります。 ${\displaystyle \exp }$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}=\exp \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right)}$

は一般に積分可能な任意のに対して成り立ちます。これは明らかに上記の性質を一般化したものです。 ${\displaystyle f}$

タイプIの積分は集合関数として乗法的であり、^[22]これは上記の性質を使って示すことができる。より具体的には、積分可能な関数が与えられたとき、すべての測定可能な集合に対して、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\cal {V}}_{f}}$${\displaystyle B\subseteq X}$

${\displaystyle {\cal {V}}_{f}(B){\overset {def}{=}}\prod _{B}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{X}{\big (}1+(f\cdot I_{B})(x)\,d\mu (x){\big )},}$

ここで はの指示関数を表す。すると、任意の2つの互いに素な測定可能な集合に対して、 ${\displaystyle I_{B}(x)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B_{1},B_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {V}}_{f}(B_{1}\sqcup B_{2})&=\prod _{B_{1}\sqcup B_{2}}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\\&=\exp \left(\int _{B_{1}\sqcup B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}}f(x)\,d\mu (x)+\int _{B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}}f(x)\,d\mu (x)\right)\exp \left(\int _{B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\prod _{B_{1}}(1+f(x)d\mu (x))\prod _{B_{2}}(1+f(x)\,d\mu (x))\\&={\cal {V}}_{f}(B_{1}){\cal {V}}_{f}(B_{2}).\end{aligned}}}$

この特性は、シグマ加法 集合関数である測度とは対照的です。

しかし、タイプIの積分は関数としては乗法的ではない 。2つの積分可能な関数と測定可能な集合が与えられた場合、一般に次のようになる。 ${\displaystyle f,g}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \prod _{A}{\big (}1+(fg)(x)\,d\mu (x){\big )}\neq \prod _{A}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\prod _{A}{\big (}1+g(x)\,d\mu (x){\big )}.}$

が測度 を持つ測度空間である場合、任意の積分可能な単純関数（すなわち、いくつかの互いに素な測度可能な集合 に対する指示関数の円錐結合）に対して、そのタイプII積分は次のように定義される。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}I_{A_{k}}(x)}$${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\subseteq X}$

${\displaystyle \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}{\overset {def}{=}}\prod _{k=1}^{n}a_{k}^{\mu (A_{k})}.}$

これは上記の定義を一般化したものと考えられます。

両辺の対数をとると、任意の積分可能な単純関数に対して次のことがわかります。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \ln \left(\prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}\right)=\sum _{k=1}^{n}\ln(a_{k})\mu (A_{k})=\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\iff \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\right),}$

ここでは、単純関数のルベーグ積分の定義が使われています。この観察は、すでに上でタイプ II 積分に対して行った観察と類似しており、「タイプ II 幾何積分のルベーグ理論」を (古典的) 積分のルベーグ理論に完全に還元することができます。言い換えると、およびのような連続関数は極限と交換可能であり、任意の積分可能関数の積積分は単純関数の積積分の増加列の極限に等しいため、次の関係が成り立ちます。 ${\displaystyle \exp }$${\displaystyle \ln }$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\right)}$

は一般に積分可能な任意の積分に対して成り立ちます。これは、上で述べた幾何積分の性質を一般化したものです。 ${\displaystyle f}$

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