ルベーグとスティルチェスの統合

測度論的解析学および関連する数学分野において、ルベーグ・スティルチェス積分は、リーマン・スティルチェス積分とルベーグ積分の両方を一般化したものであり、前者の多くの利点をより一般的な測度論的枠組みの中で保持しています。ルベーグ・スティルチェス積分は、ルベーグ・スティルチェス測度と呼ばれる測度に関する通常のルベーグ積分であり、この測度は実数直線上の任意の有界変動関数に関連付けられます。ルベーグ・スティルチェス測度は正則ボレル測度であり、逆に実数直線上のすべての正則ボレル測度はこの種のものです。

アンリ・レオン・ルベーグとトーマス・ヨハネス・スティルチェスにちなんで名付けられたルベーグ・スティルチェス積分は、その理論の多くをヨハン・ラドンに負っていることから、ルベーグ・ラドン積分、あるいは単にラドン積分とも呼ばれる。これらは、確率論や確率過程、そしてポテンシャル理論を含む解析学の特定の分野で広く応用されている。

ルベーグ・スティルチェス積分

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

定義されるのは${\displaystyle f:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} }$ ボレル-可測かつ有界 であり、${\displaystyle g:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} }$ f が[ a , b ]において有界変動かつ右連続である場合、またはfが非負でg が単調かつ右連続である場合。まず、fが非負でgが単調非減少かつ右連続であると仮定します。w (( s , t ]) = g ( t ) − g ( s ) および w ({ a }) = 0 と定義します。（あるいは、gが左連続の場合、 w ( [ s , t ) ) = g ( t ) − g ( s )およびw ( { b } ) = 0となります。）

カラテオドリの拡張定理によれば、 [ a , b ]上には、すべての区間I上でwと一致する一意のボレル測度μ _gが存在する。測度μ _gは、次の式で与えられる外測度(実際には計量外測度)から生じる。

${\displaystyle \mu _{g}(E)=\inf \left\{\sum _{i}\mu _{g}(I_{i})\$ :\ E\subseteq \bigcup _{i}I_{i}\right\}}

Eを可算個の半開区間で覆ったすべての範囲で取られる下限。この尺度は、 gに関連付けられた^{[ 1 ]}ルベーグ-スティルチェス尺度と呼ばれることもあります。

ルベーグ・スティルチェス積分

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

は、通常の方法で測度μ _gに関するfのルベーグ積分として定義されます。gが非増加関数である場合、次のように定義します。

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x):=-\int _{a}^{b}f(x)\,d(-g)(x),}$

後者の積分は、前述の構成によって定義される。

gが有界変動である場合、次のように書くことができる。

${\displaystyle g(x)=g_{1}(x)-g_{2}(x)}$

ここで、g 1 ₍ x ) = V ^x _a g は区間[ a , x ]におけるg の全変動であり、g ₂ ( x ) = g ₁ ( x ) − g ( x )である。g ₁とg ₂はどちらも単調非減少である。

さて、fが有界である場合、 gに関するfのルベーグ・スティルチェス積分は次のように定義される。

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x),}$

ここで、後者の2つの積分は、前述の構成によって明確に定義されている。

γ : [ a , b ] → R ²が平面上の可測曲線であり、 ρ : R ² → [0, ∞)がボレル可測であると仮定します。このとき、ρ で重み付けされたユークリッド計量に関するγの長さを次のように定義できます。  

${\displaystyle \int _{a}^{b}\rho (\gamma (t))\,d\ell (t),}$

どこ${\displaystyle \ell (t)}$は、 γを[ a , t ]に制限したときの長さです。これは、γのρ長さと呼ばれることもあります。この概念は、さまざまな用途で非常に役立ちます。たとえば、泥だらけの地形では、人が移動できる速度は、泥の深さに依存する場合があります。ρ ( z )がzまたはその近傍での歩行速度の逆数を表す場合、γのρ長さは、 γ を横断するのにかかる時間です。極値長さの概念は、曲線のρ長さの概念を使用しており、等角写像の研究に役立ちます。

関数fは、右極限f ( a +)と左極限f ( a −)が存在し、かつ関数が点a で平均値をとる場合、点aにおいて「正則」であると言われる。

${\displaystyle f(a)={\frac {f(a-)+f(a+)}{2}}.}$

有限変動の2 つの関数UとVが与えられたとき、各点でUまたはVの少なくとも一方が連続であるか、またはUとV の両方が正則である場合、ルベーグ-スティルチェス積分の部分積分公式が成り立つ: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \int _{a}^{b}U\,dV+\int _{a}^{b}V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),\qquad -\infty <a<b<\infty .}$

ここで、関連するルベーグ・スティルチェス測度は、関数UとVの右連続バージョンに関連付けられています。つまり、${\textstyle {\tilde {U}}(x)=\lim _{t\to x^{+}}U(t)}$同様に${\displaystyle {\tilde {V}}(x).}$有界区間( a , b )は、 UとV がこの非有界区間上で有限変動である限り、非有界区間(-∞, b )、( a , ∞)または(-∞, ∞)に置き換えることができます。複素数値関数も使用できます。

確率微積分理論において重要な別の結果は次のとおりです。右連続かつ左極限を持つ（càdlàg関数である）有限変動の2つの関数UとVが与えられた場合、

${\displaystyle U(t)V(t)=U(0)V(0)+\int _{(0,t]}U(s-)\,dV(s)+\int _{(0,t]}V(s-)\,dU(s)+\sum _{u\in (0,t]}\Delta U_{u}\Delta V_{u},}$

ここで、Δ U _t = U ( t ) − U ( t −)である。この結果は伊藤の補題の前段階と見なすことができ、確率積分の一般理論において有用である。最後の項はΔ U ( t )Δ V ( t ) = d [ U , V ] であり、これはUとVの二次共変動から生じる。（先の結果は、ストラトノビッチ積分に関する結果と見なすことができる。）

ヘンシュトック・カーツワイル・スティルチェス積分

• ハルモス、ポール R. (1974)、測定理論、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-90088-9
• ヒューイット、エドウィン；ストロンバーグ、カール（1965）、『実解析と抽象解析』、シュプリンガー・フェルラーク。
• サクス、スタニスワフ（1937）積分理論。
• Shilov, GE、および Gurevich, BL、1978年。『積分、測度、および微分：統一的アプローチ』、Richard A. Silverman 訳、Dover Publications。ISBN 0-486-63519-8。