条件付き収束

数学では、級数または積分は収束するが絶対収束しない場合には条件付き収束すると言われます。

より正確には、実数の級数は、（有限の実数として、つまりまたはではなく）が存在する場合、 条件付き収束すると言われるが、${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$${\textstyle \lim _{m\rightarrow \infty }\,\sum _{n=0}^{m}a_{n}}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle -\infty}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=\infty .}$

典型的な例は、によって与えられる交代調和級数です。これは に収束します が、絶対収束しません (調和級数を参照)。 $${\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n},}$$${\displaystyle \ln(2)}$

ベルンハルト・リーマンは、条件付き収束級数は、∞ または −∞ を含む任意の値に収束するように並べ替えることができることを証明しました。リーマン級数定理を参照してください。アグニューの定理は、すべての収束級数に対して収束を保存する並べ替えについて説明します。

レヴィ・シュタイニッツの定理は、R ⁿ内の一連の項が収束できる値の集合を識別します。

典型的な条件付き収束積分は、 の非負実軸上の積分です（フレネル積分を参照）。 ${\textstyle \sin(x^{2})}$

• 絶対収束
• 無条件収束

• ウォルター・ルーディン『数学解析の原理』（McGraw-Hill：ニューヨーク、1964年）。