立体形状の種類
曲線を回転します。形成される表面は 回転面で あり、回転立体を囲みます。 回転体（ Matemateca Ime-Usp ） 幾何学 において 、 回転立体とは、 平面図形を 直線 （ 回転 軸 ）の周りで 回転させる ことによって得られる 立体 であり、 その直線は 母線 と交差し ない （境界を除く）。 この回転によって作られ、立体の境界となる面が 回転 面で ある。
曲線が軸と交差しないと仮定すると、立体の 体積は 図形の 重心によって描かれる 円 の 長さに図形の 面積 を掛けた ものに等しくなります ( パップスの第 2 重心定理 )。
代表円板は 回転 体の3 次元 体積要素 です。この要素は、 線分 ( 長さ w ) を ( r 単位離れ た) ある軸の周りで回転させることによって作成され、 π r 2 w 単位の 円筒形の 体積 が囲まれます。
ボリュームを見つける 回転体の体積を求める一般的な方法は、 円板法 と 積分殻法の 2 つです。これらの方法を適用するには、まず問題のグラフを描き、回転軸を中心に回転させる領域を特定し、厚さ δx の円板状の固体スライスまたは幅 δx の円筒形のシェルの体積を求め、次に δx が0 に近づくときのこれらの体積の極限の合計を求めます。この値は、適切な積分を評価することで求めることができます。より厳密な根拠は、2 つの異なる積分次数を使用して 円筒座標 で 三重積分 を評価してみることで得られます 。
ディスク方式 y軸を中心とした円板積分 ディスク法は、描かれたスライスが 回転軸 に対して垂直で ある場合、つまり回転軸
に対して平行に積分する場合に使用されます。
f ( y ) と g ( y ) の曲線と y = a と y = b の線の間の領域を y 軸の周りで回転させて形成される立体の体積は次 のように与えられます
。 g ( y ) = 0 の
場合 (たとえば、曲線と y 軸の間の領域を回転させる場合)、これは次のように簡略化されます。
五 = π
∫
1つの
b
|
ふ （ ええ
）
2
− グ （ ええ
）
2
|
d ええ 。
{\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(y)^{2}-g(y)^{2}\right|\,dy\,.}
五 = π
∫
1つの
b
ふ （ ええ
）
2
d ええ 。
{\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}f(y)^{2}\,dy\,.}
この方法は、 y における上部の f ( y ) と下部の g ( y ) の間の 薄い水平長方形を考え、それを y 軸の周りに回転させることによって視覚化できます。これは、外半径が f ( y ) で内半径が g ( y )であるリング（ g ( y ) = 0 の場合はディスク） を形成します。リングの面積は π( R 2 − r 2 ) です。ここで、 R は外半径（この場合は f ( y ) ）、 r は内半径（この場合は g ( y ) ）です。したがって、各微小ディスクの体積は π f ( y ) 2 dy です。aと b の 間のディスクの体積のリーマン和の極限は 積分（1）になります。
フビニの定理 と多変量変数変換の公式が適用可能であると仮定すると 、ディスク法は次のように簡単に導くことができます（立体を D と表記します）。
五 =
∭
だ
d 五 =
∫
1つの
b
∫
グ （ ず ）
ふ （ ず ）
∫
0
2 π
r d θ d r d ず = 2 π
∫
1つの
b
∫
グ （ ず ）
ふ （ ず ）
r d r d ず = 2 π
∫
1つの
b
1 2
r
2
‖
グ （ ず ）
ふ （ ず ）
d ず = π
∫
1つの
b
（ ふ （ ず
）
2
− グ （ ず
）
2
） d ず
{\displaystyle V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}r\,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}r\,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}r^{2}\Vert _{g(z)}^{f(z)}\,dz=\pi \int _{a}^{b}(f(z)^{2}-g(z)^{2})\,dz}
シェル積分法 シェル統合 シェル法 (「シリンダー法」と呼ばれることもあります) は、描画されたスライスが 回転軸 に平行で ある場合、つまり回転軸
に垂直に積分する場合に使用されます。
f ( x ) と g ( x ) の曲線と x = a と x = b の線の間の領域を y 軸の周りで回転させて形成される立体の体積は次 のように与えられます
。g ( x ) = 0 の
場合(たとえば、 曲線 とy 軸の間の領域を回転させる場合 )、これは次のように簡略化されます。
五 = 2 π
∫
1つの
b
x
|
ふ （ x ） − グ （ x ）
|
d x 。
{\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.}
五 = 2 π
∫
1つの
b
x
|
ふ （ x ）
|
d x 。
{\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)|\,dx\,.}
この方法は、 x に高さ f ( x ) − g ( x ) の薄い垂直長方形を考え 、それを y 軸を中心に回転させることによって視覚化できます。円筒形のシェルが形成されます。円筒の側面積は 2π rh です。ここで、 r は半径 (この場合は x )、 h は高さ (この場合は f ( x ) − g ( x ) ) です。間隔に沿ったすべての表面積を合計すると、全体の体積が得られます。
この方法は、同じ三重積分で、今度は異なる積分の順序で導くことができます。
五 =
∭
だ
d 五 =
∫
1つの
b
∫
グ （ r ）
ふ （ r ）
∫
0
2 π
r d θ d ず d r = 2 π
∫
1つの
b
∫
グ （ r ）
ふ （ r ）
r d ず d r = 2 π
∫
1つの
b
r （ ふ （ r ） − グ （ r ） ） d r 。
{\displaystyle V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}r\,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}r(f(r)-g(r))\,dr.}
数学と芸術： パオロ・ウッチェロ による回転体としての花瓶の研究 。15世紀 ある区間 [ a , b ] において曲線が パラメトリック 形式 ( x ( t ), y ( t ))で定義される場合、その曲線を x 軸または y 軸の周りで回転させることによって生成される立体の体積は [1] で与えられる。
五
x
=
∫
1つの
b
π
ええ
2
d x
d t
d t 、
五
ええ
=
∫
1つの
b
π
x
2
d ええ
d t
d t 。
{\displaystyle {\begin{aligned}V_{x}&=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,{\frac {dx}{dt}}\,dt\,,\\V_{y}&=\int _{a}^{b}\pi x^{2}\,{\frac {dy}{dt}}\,dt\,.\end{aligned}}}
同じ状況下で、曲線をx 軸または y 軸の周りに回転させることによって生成される立体の表面積は [2] で与えられる。
A
x
=
∫
a
b
2
π
y
(
d
x
d
t
)
2
+
(
d
y
d
t
)
2
d
t
,
A
y
=
∫
a
b
2
π
x
(
d
x
d
t
)
2
+
(
d
y
d
t
)
2
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}2\pi y\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,,\\A_{y}&=\int _{a}^{b}2\pi x\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,.\end{aligned}}}
これは多変数積分からも導かれる。平面曲線が で与えられる場合 、対応する回転面は x 軸の周りを回転すると で与えられる直交座標を持つ 。 この場合、表面積は 表面積積分で与えられる。
⟨
x
(
t
)
,
y
(
t
)
⟩
{\displaystyle \langle x(t),y(t)\rangle }
r
(
t
,
θ
)
=
⟨
y
(
t
)
cos
(
θ
)
,
y
(
t
)
sin
(
θ
)
,
x
(
t
)
⟩
{\displaystyle \mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle }
0
≤
θ
≤
2
π
{\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }
A
x
=
∬
S
d
S
=
∬
[
a
,
b
]
×
[
0
,
2
π
]
‖
∂
r
∂
t
×
∂
r
∂
θ
‖
d
θ
d
t
=
∫
a
b
∫
0
2
π
‖
∂
r
∂
t
×
∂
r
∂
θ
‖
d
θ
d
t
.
{\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.}
偏微分を計算すると が得られ
、外積を計算すると、 三角
関数の
恒等式が 使用された が得られます。この外積により、
同じ三角関数の恒等式が再び使用された が得られます。y 軸を中心に回転して得られる表面の微分も同様です。
∂
r
∂
t
=
⟨
d
y
d
t
cos
(
θ
)
,
d
y
d
t
sin
(
θ
)
,
d
x
d
t
⟩
,
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\left\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\right\rangle ,}
∂
r
∂
θ
=
⟨
−
y
sin
(
θ
)
,
y
cos
(
θ
)
,
0
⟩
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\right\rangle }
∂
r
∂
t
×
∂
r
∂
θ
=
⟨
y
cos
(
θ
)
d
x
d
t
,
y
sin
(
θ
)
d
x
d
t
,
y
d
y
d
t
⟩
=
y
⟨
cos
(
θ
)
d
x
d
t
,
sin
(
θ
)
d
x
d
t
,
d
y
d
t
⟩
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle =y\left\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle }
sin
2
(
θ
)
+
cos
2
(
θ
)
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}
A
x
=
∫
a
b
∫
0
2
π
‖
∂
r
∂
t
×
∂
r
∂
θ
‖
d
θ
d
t
=
∫
a
b
∫
0
2
π
‖
y
⟨
y
cos
(
θ
)
d
x
d
t
,
y
sin
(
θ
)
d
x
d
t
,
y
d
y
d
t
⟩
‖
d
θ
d
t
=
∫
a
b
∫
0
2
π
y
cos
2
(
θ
)
(
d
x
d
t
)
2
+
sin
2
(
θ
)
(
d
x
d
t
)
2
+
(
d
y
d
t
)
2
d
θ
d
t
=
∫
a
b
∫
0
2
π
y
(
d
x
d
t
)
2
+
(
d
y
d
t
)
2
d
θ
d
t
=
∫
a
b
2
π
y
(
d
x
d
t
)
2
+
(
d
y
d
t
)
2
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}}
および の 極 曲線の場合 、曲線をx軸またはy軸の周りに回転させることによって生成される立体の体積は、
r
=
f
(
θ
)
{\displaystyle r=f(\theta )}
α
≤
θ
≤
β
{\displaystyle \alpha \leq \theta \leq \beta }
f
(
θ
)
≥
0
{\displaystyle f(\theta )\geq 0}
V
x
=
∫
α
β
(
π
r
2
sin
2
θ
cos
θ
d
r
d
θ
−
π
r
3
sin
3
θ
)
d
θ
,
V
y
=
∫
α
β
(
π
r
2
sin
θ
cos
2
θ
d
r
d
θ
+
π
r
3
cos
3
θ
)
d
θ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}V_{x}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left(\pi r^{2}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,{\frac {dr}{d\theta }}-\pi r^{3}\sin ^{3}{\theta }\right)d\theta \,,\\V_{y}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left(\pi r^{2}\sin {\theta }\cos ^{2}{\theta }\,{\frac {dr}{d\theta }}+\pi r^{3}\cos ^{3}{\theta }\right)d\theta \,.\end{aligned}}}
曲線をx 軸または y 軸の周りに回転させることによって生成される立体の表面積は 次のように与えられる。
A
x
=
∫
α
β
2
π
r
sin
θ
r
2
+
(
d
r
d
θ
)
2
d
θ
,
A
y
=
∫
α
β
2
π
r
cos
θ
r
2
+
(
d
r
d
θ
)
2
d
θ
,
{\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{\alpha }^{\beta }2\pi r\sin {\theta }\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta \,,\\A_{y}&=\int _{\alpha }^{\beta }2\pi r\cos {\theta }\,{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta \,,\end{aligned}}}
参照
ウィキメディア・コモンズには、回転体 に関連するメディアがあります 。
注記
^ Sharma, A. K. (2005). 積分計算の応用. Discovery Publishing House. p. 168. ISBN 81-7141-967-4 。 ^ Singh, Ravish R. (1993). 工学数学 (第 6 版). Tata McGraw-Hill. p. 6.90. ISBN 0-07-014615-2 。
参考文献
![{\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b6e20c212de99b253a52f3442b8f74ea73d61ac)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ad143220b39defd5b72caa82d8beb7b47d4946)
