線分

幾何学において、線分は2 つの異なる端点によって囲まれた直線の一部であり、その端点間にある線上のすべての点を含みます。これは円弧の特殊なケースであり、曲率はゼロです。線分の長さは、端点間のユークリッド距離によって与えられます。閉じた線分には両方の端点が含まれますが、開いた線分には両方の端点が含まれません。半開線分には端点の 1 つだけが含まれます。幾何学において、線分はABのように、2 つの端点の記号の上に上線( vinculum ) を使用して表されることがよくあります。^[1]

線分の例としては、三角形や正方形の辺が挙げられます。より一般的には、線分の両端が多角形または多面体の頂点である場合、その線分は、隣接する頂点であれば（その多角形または多面体の）辺、そうでない場合は対角線となります。両端が曲線（円など）上にある場合、その線分は（その曲線の） 弦と呼ばれます。

Vが⁠ ⁠または⁠ ⁠上のベクトル空間であり、L がVの部分集合である場合、L が次のようにパラメータ化できる とき、L は線分である。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}}$

vがゼロでないベクトルがいくつかあります。L の端点はベクトルuとu + vです。 ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$

時には、「開いた」線分と「閉じた」線分を区別する必要がある。この場合、閉じた線分を上記のように定義し、開いた線分を次のようにパラメータ化できる 部分集合Lとして定義する。

${\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}}$

いくつかのベクトル${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V.}$

同様に、線分は2 つの点の凸包です。したがって、線分は、線分の 2 つの端点の 凸結合として表現できます。

幾何学では、距離| AB |に距離| BC |を加えた値が距離| AC |に等しい場合、点B は他の 2 つの点Aと点Cの間にあると定義できます。したがって、⁠ ⁠では、端点とを持つ線分は次の点の集合です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle A=(a_{x},a_{y})}$${\displaystyle C=(c_{x},c_{y})}$

${\displaystyle {\Biggl \{}(x,y)\mid {\sqrt {(x-c_{x})^{2}+(y-c_{y})^{2}}}+{\sqrt {(x-a_{x})^{2}+(y-a_{y})^{2}}}={\sqrt {(c_{x}-a_{x})^{2}+(c_{y}-a_{y})^{2}}}{\Biggr \}}.}$

• 線分は連結された空でない 集合です。
• V が位相ベクトル空間である場合、閉じた線分はV内の閉集合です。ただし、開いた線分がV内の開集合となるのは、 Vが1 次元である場合のみです。
• 上記よりも一般的には、線分という概念は順序付けられた幾何学で定義することができます。
• 線分のペアは​​、交差、平行、斜め、またはこれらに該当しない、のいずれかになります。最後の可能性は、線分が直線と異なる点です。2 本の平行でない直線が同じユークリッド平面にある場合、それらは必ず交差しますが、線分の場合は必ずしもそうではありません。

幾何学の公理的な扱いにおいて、媒介性の概念は、特定の数の公理を満たすと仮定されるか、または直線の 等長変換（座標系として使用される）の観点から定義されます。

線分は他の理論でも重要な役割を果たします。たとえば、凸集合では、集合の任意の 2 点を結ぶ線分は集合に含まれます。これは、凸集合の解析の一部を線分の解析に変換するため重要です。線分加算公理は、等しい長さの合同な線分を追加し、その結果、他の線分を別のステートメントに代入して線分を合同にするために使用できます。

線分は楕円の退化したケースと見なすことができ、楕円では短半径が 0、焦点が端点、離心率が 1 になります。楕円の標準的な定義は、2 つの焦点に対する 1 つの点の距離の合計が定数である点の集合です。この定数が焦点間の距離に等しい場合、線分が結果として得られます。この楕円の完全な軌道は、線分を 2 回横切ります。退化した軌道であるため、これは放射状楕円軌道です。

線分は、多角形や多面体の辺や対角線として現れるだけでなく、他の幾何学的形状に関連してさまざまな場所にも現れます。

三角形の中で非常に頻繁に考慮される線分には、3 つの高さ(それぞれ1 つの辺またはその延長線を反対側の頂点に垂直に接続)、3 つの中線(それぞれ 1 つの辺の中点を反対側の頂点に接続)、辺の垂直二等分線(1 つの辺の中点を他の 1 つの辺に垂直に接続)、および内角二等分線(それぞれ 1 つの頂点を反対側の辺に接続) が含まれます。それぞれの場合において、これらの線分の長さを他の線分の長さと関連付けるさまざまな等式(さまざまな種類の線分に関する記事で説明) と、さまざまな不等式があります。

三角形の他の興味深い線分には、さまざまな三角形の中心を相互に接続する線分があり、最も顕著なのは内心、外心、九点中心、重心、垂心です。

四辺形の辺と対角線に加えて、重要な線分として、2 つの双中線(反対側の辺の中点を結ぶ) と 4 つの中線(それぞれ 1 つの辺を反対側の辺の中点に垂直に結ぶ) があります。

円または楕円上の 2 点を結ぶ直線部分は弦と呼ばれます。弦のない円内の弦は直径と呼ばれ、円の中心(直径の中点) と円上の点を結ぶ線分は半径と呼ばれます。

楕円では、最も長い弦（つまり最も長い直径）を長軸と呼び、長軸の中点（楕円の中心）から長軸のいずれかの端点までの線分を半長軸と呼びます。同様に、楕円の最も短い直径を短軸と呼び、その中点（楕円の中心）から長軸のいずれかの端点までの線分を半短軸と呼びます。長軸に垂直で、楕円の焦点の 1 つを通る楕円の弦は、楕円の外側直角線と呼ばれます。焦点間線分は2 つの焦点を結びます。

線分に向き(方向) が与えられると、それは有向線分または有向線分と呼ばれます。これは、（おそらく力によって引き起こされる）平行移動または変位を示唆します。大きさと方向は、潜在的な変化を示します。有向線分を半無限に延長すると有向半直線が生成され、両方向に無限に延長すると有向線が生成されます。この提案は、ユークリッドベクトルの概念を通じて数理物理学に取り入れられました。^{[2] [3]}すべての有向線分の集合は通常、長さと向きが同じである任意のペアを等分することによって縮小されます。 ^[4]この同値関係の応用は、1835年に ジュスト・ベラヴィティスによって導入されました。

上記の直線部分と同様に、円弧を曲線の部分として定義することもできます。

1 次元空間では、ボールは線分です。

有向平面セグメントまたはバイベクトルは、有向線分を一般化します。

ユークリッド幾何学を超えて、測地線分は線分の役割を果たします。

• 弦（幾何学）
• 直径
• 半径

• 多角形チェーン
• 区間（数学）
• 線分の交差、線分の集合の中で交差するペアを見つけるアルゴリズムの問​​題

• デイヴィッド・ヒルベルト 『幾何学の基礎』オープン・コート出版 1950年、4ページ

ウィキメディア・コモンズには、線分に関連するメディアがあります。

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• ワイスタイン、エリック・W.「線分」。マスワールド。
• PlanetMathの線分
• コンパスと定規を使って線分をコピーする
• コンパスと定規を使って線分を N 等分するアニメーションデモンストレーション

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