微分ルール

任意の値に対して${\textstyle c}$、 どこ${\textstyle c\in \mathbb {R} }$、 もし${\textstyle f(x)}$は定数関数で、${\textstyle f(x)=c}$、 それから$\textstyle {\frac {df}{dx}}=0}$[ ^{4 ]​}

直感的（幾何学的）説明

ある点における関数の導関数は、その点における曲線の接線の傾きに等しい。定数関数の傾きは0である。なぜなら、定数関数の接線は水平であり、その角度は0度だからである。

言い換えれば、定数関数の値、${\textstyle y}$、値が変更されても変わりません${\textstyle x}$増加または減少する。

あらゆる機能について${\textstyle f}$そして${\textstyle g}$そして実際の数字${\textstyle a}$そして${\textstyle b}$関数の導関数${\textstyle h(x)=af(x)+bg(x)}$に関して${\textstyle x}$は${\textstyle h'(x)=af'(x)+bg'(x)}$。

ライプニッツの記法では、この式は次のように表される。 $${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}$$

特別なケースとしては、以下のようなものがあります。

• 定数係数ルール：

$${\displaystyle (af)'=af',}$$

• 合計ルール：

$${\displaystyle (f+g)'=f'+g',}$$

• 差分ルール：

$${\displaystyle (fg)'=f'-g'.}$$

機能については${\textstyle f}$そして${\textstyle g}$関数の導関数${\textstyle h(x)=f(x)g(x)}$に関して${\textstyle x}$は： $${\displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}$$

ライプニッツの記法では、この式は次のように表される。 $$\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}=g{\frac {df}{dx}}+f{\frac {dg}{dx}}.}$$

関数の導関数${\textstyle h(x)=f(g(x))}$は： $${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}$$

ライプニッツの記法では、この式は次のように表される。 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)=\left.{\frac {d}{dz}}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}$$ しばしば以下のように略される： $${\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}$$

地図という概念、そして差分が地図であるという点に焦点を当てる${\textstyle {\text{D}}}$この式は、より簡潔に次のように表されます。 $${\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}.}$$

関数が${\textstyle f}$逆関数を持つ${\textstyle g}$つまり、${\textstyle g(f(x))=x}$そして${\textstyle f(g(y))=y}$、 それから： $${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}$$

ライプニッツ記法では、この式は次のように表されます。 $$\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.}$$

もし${\textstyle f(x)=x^{r}}$任意の実数に対して${\textstyle r\neq 0}$、 それから： $${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}.}$$

いつ${\textstyle r=1}$この式は、もし${\textstyle f(x)=x}$、 それから${\textstyle f'(x)=1}$。

べき乗の法則と和の法則、定数倍の法則を組み合わせることで、任意の多項式の導関数を計算することができる。

の導関数${\textstyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}$任意の（ゼロでない）関数に対して${\textstyle f}$は： $${\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}},}$$ どこでも${\textstyle f}$ゼロではない。

ライプニッツの記法では、この式は次のように表される。 $$\displaystyle {\frac {d\left({\frac {1}{f}}\right)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.}$$

逆数の法則は、商の法則から導き出すことも、べき乗の法則と連鎖律を組み合わせることによって導き出すこともできる。

もし${\textstyle f}$そして${\textstyle g}$関数である場合： $${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}},}$$ どこでも${\textstyle g}$ゼロではない。

これは積の法則と逆数の法則から導き出すことができる。

基本的なべき乗法則はかなり一般化される。最も一般的なべき乗法則は関数べき乗法則である。任意の関数に対して${\textstyle f}$そして${\textstyle g}$、 $${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }$$ 両側が明確に定義されている場合。

特別なケース：

• もし${\textstyle f(x)=x^{a}}$、 それから${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$いつ${\textstyle a}$はゼロでない実数であり、${\textstyle x}$正の値です。
• 相互ルールは、次の特殊なケースとして導出できます。${\textstyle g(x)=-1\!}$。

対数微分は、関数の対数を微分するための規則（連鎖律を用いる）を別の方法で表現したものです。 $${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}},}$$ どこでも${\textstyle f}$正の値です。

対数微分とは、実際に導関数を適用する前に、対数とその微分法則を用いて特定の式を簡略化する手法である。

対数を用いることで、指数を取り除いたり、積を和に変換したり、除算を減算に変換したりすることができ、これらの操作はいずれも導関数を求めるための簡略化された式につながる可能性がある。

$${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma '(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt\\&=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)\\&=\Gamma (x)\psi (x),\end{aligned}}}$$ と${\textstyle \psi (x)}$は、右辺の括弧で囲まれた式で表されるディガンマ関数である。${\textstyle \Gamma (x)}$上の行に。

$${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta '(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \\&=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\end{aligned}}}$$

もし${\textstyle f}$そして${\textstyle g}$は${\textstyle n}$－回微分可能であるならば、次のようになる。 $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}},}$$ どこ${\textstyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$そしてセット${\textstyle \{k_{m}\}}$ディオファントス方程式のすべての非負整数解から構成される${\textstyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$。

もし${\textstyle f}$そして${\textstyle g}$は${\textstyle n}$－回微分可能であるならば、次のようになる。 $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x).}$$