ライプニッツの記法

微積分学では、 17世紀のドイツの哲学者で数学者のゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツにちなんで名付けられたライプニッツ記法では、記号dxとdyはそれぞれxとyの無限小（または無限小）増分を表し、 ΔxとΔyはそれぞれxとyの有限増分を表します。^{[ 1 ]}

y を変数xの関数、つまりy = f ( x )とします。この場合、xに関するyの導関数は、後に極限として見なされるようになりました。

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},}$

ライプニッツによれば、それはyの無限小増分をxの無限小増分で割った商、または

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x),}$

右辺は、fのxにおける導関数を表すジョセフ＝ルイ・ラグランジュの記法です。この微小増分は微分と呼ばれます。これに関連して、 微小増分を合計する積分があります (例えば、長さ、面積、体積を微小な部分の和として計算する場合)。ライプニッツは、積分についても、同じ微分を含む密接に関連した記法を提供しました。この記法の効率性は、ヨーロッパ大陸の数学の発展において決定的な役割を果たしました。

ライプニッツの無限小の概念は、長らく微積分学の基礎として用いるには不正確すぎると考えられており、最終的には19世紀にワイエルシュトラスらが開発した厳密な概念に取って代わられた。その結果、ライプニッツの商の記号は、現代の定義の極限を表すものとして再解釈された。しかし、多くの場合、この記号は実際の商のように機能しているように見え、その有用性から、競合するいくつかの記号が存在する中でも人気を保ち続けた。20世紀には、非標準解析、接空間、O記号など、無限小と無限小変位の概念に厳密な意味を与えることができるいくつかの異なる形式が開発された。

微積分における導関数と積分は、現代の微分形式理論にまとめることができ、そこでは導関数は真に2つの微分の比であり、積分も同様にライプニッツ記法に厳密に従って振る舞う。しかしながら、そのためにはまず導関数と積分を別の方法で定義する必要があり、したがって、ライプニッツ記法に新たな基礎を与えるのではなく、その自己整合性と計算効率性を表現するにとどまる。

ニュートンとライプニッツによる微積分学のアプローチは17世紀に導入された。ニュートンは流率と流率を用いて研究を行ったが、ライプニッツは和と差の一般化に基づいてアプローチを構築した。^{[ 2 ]}ライプニッツは積分記号を応用した。${\displaystyle \textstyle \int }$当時書かれていたラテン語のſ umma ("合計") の最初の長い sから。差分を合計の逆演算と見なして、 ^{[ 3 ]}彼はこの逆演算を示すために、ラテン語のdifferentiaの最初の文字である記号dを使用した。^{[ 2 ]}ライプニッツは表記法にこだわり、何年もかけて実験、調整、却下、そして他の数学者とのやり取りを行っていた。^{[ 4 ]} yの微分に使用した表記法は、ω、l、そして⁠ y / d ⁠から順に変化し、最終的にdyに落ち着いた。^{[ 5 ]}彼の積分記号が初めて公に登場したのは、 1686 年 6 月にActa Eruditorumに掲載された論文「 De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum」（「不可分なものと無限の隠された幾何学と解析について」）であるが、 ^{[ 6 ] [ 7 ]}彼は少なくとも 1675 年以来、私的な手稿でそれを使用していた。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}ライプニッツは、 1684 年にActa Eruditorumに掲載された論文「Nova Methodus pro Maximis et Minimis 」で初めてdxを使用した。 ^{[ 11 ]}記号⁠ dx / dy ⁠は 1675 年の私的な手稿には登場するが、^{[ 12 ] [ 13 ]}上記の出版物のいずれにもこの形式では登場しない。しかし、ライプニッツは印刷物でdy ad dxやdy : dxのような形式を使用していた。 ^{[ 11 ]} 

19世紀末、ワイエルシュトラスの追随者たちは、ライプニッツの微分と積分の記法を文字通りに解釈しなくなった。つまり、数学者たちは、無限小の概念の発展には論理的な矛盾が含まれていると感じたのである。19世紀の数学者（ワイエルシュトラスなど）の多くは、上記のように極限を用いて、無限小を用いずに微分と積分を扱う論理的に厳密な方法を見出し、一方、コーシーは無限小と極限の両方を利用した（『解析学講義』参照）。とはいえ、ライプニッツの記法は今でも一般的に使われている。記法を文字通りに解釈する必要はないが、微分方程式の解法に変数分離法を用いる場合、通常は他の方法よりも簡便である。例えば、物理の応用では、f ( x )をメートル毎秒、dxを秒で測定したものとみなすことができ、f ( x )dxはメートル単位となり、その定積分の値もメートル単位となる。このように、ライプニッツの記法は次元解析と調和している。

従属変数y が独立変数xの関数fを表していると仮定します。つまり、

${\displaystyle y=f(x).}$

すると、関数fの導関数は、ライプニッツの微分記号では次のように表される。

$\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,{\text{ または }}{\frac {d}{dx}}y\,{\text{ または }}{\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}.}$

ライプニッツ式（dy / dxとも表記される）は、導関数や派生関数を表すのに用いられるいくつかの表記法の一つである。一般的な代替表記法としてはラグランジュ式がある。

$\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x).}$

もう一つの方法はニュートンの記法で、これは時間に関する微分（速度など）によく用いられ、従属変数（この場合はx ）の上にドットを置く必要がある。

$\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\dot {x}}.}$

ラグランジュの「プライム」記法は、導関数の議論において特に有用であり、特定の値における導関数の値を自然な方法で表すことができるという利点がある。しかし、ライプニッツ記法にも、長年にわたって人気を保ち続けている他の利点がある。

現代の解釈では、式⁠ dy / dx ⁠は (ライプニッツが想定したように) 2 つの量dxとdyの除算として読むべきではなく、むしろ、式全体は、

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

（Δとdの違いに注意してください。ここでΔは有限の差を表します。）

この式は、 xの関数とみなされるyに微分演算子d / dx (これも単一の記号) を適用したものと考えることもできます。この演算子は、オイラーの記法ではD と表記されます。ライプニッツはこの形式を使用しませんでしたが、彼が使用した記号d は、この現代の概念とかなり近いものです。

伝統的にはこの表記法には除算は含まれていないが（非標準解析を参照）、除算のような表記法は、多くの状況で微分演算子が除算のように振る舞うため、微分に関するいくつかの結果を簡単に取得して覚えることができるので便利である。^{[ 14 ]} この表記法が長く使われているのは、それが微積分学の幾何学的および力学的応用の中核にまで及んでいるように見えるからである。^{[ 15 ]}

ライプニッツは、現在では一般的に使用されている積分記号[19]（または「逆微分」）を導入^{しました。}${\displaystyle \displaystyle \int }$

この記号は1675年に彼の私的な著作で導入されました。^{[ 20 ] [ 21 ]}初めて公に登場したのは、 1686年6月にActa Eruditorumに掲載された論文「De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum」（不可分なものと無限の隠された幾何学と解析について）です。^{[ 22 ] [ 23 ]}この記号はſ（長いs ）文字 に基づいており、ライプニッツが積分を無限小の項の無限和と考えていたため選ばれました。

ライプニッツの微積分表記が長きにわたって使われてきた理由の一つは、微分と積分に用いられる適切な公式を容易に思い出すことができるからである。例えば、連鎖律―関数gがxで微分可能であり、y = f ( u )がu = g ( x )で微分可能であると仮定する。すると、合成関数y = f ( g ( x ))はxで微分可能であり、その導関数はライプニッツ表記で次のように表すことができる。 ^{[ 24 ]}

$\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

これは、適切に定義され関連している複数の関数u ₁、u ₂、 ...、u _nの合成を扱うように一般化することができ、次のように表現されます。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}.}$

また、置換積分公式は^{[ 25 ]}のように表すことができる。

${\displaystyle \int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du,}$

ここで、xは新しい変数uの関数と考えられ、左側の関数yはxで表され、右側の関数 y はuで表されます。

y = f ( x )で、 fが可逆な微分可能な関数である場合、逆関数の導関数が存在する場合は、次のように与えられます。^{[ 26 ]}

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left({\frac {dy}{dx}}\right)}},}$

ここで括弧が追加されているのは、導関数が分数ではないことを強調するためです。

しかし、微分方程式を解く際には、 dyとdxを分離可能と考えるのは容易です。最も単純なタイプの微分方程式の 1 つは^{[ 27 ]}です。

${\displaystyle M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,}$

ここで、MとNは連続関数である。このような方程式を（暗黙的に）解くには、方程式を微分形式で調べる必要がある。

${\displaystyle M(x)dx+N(y)dy=0}$

そして積分して

${\displaystyle \int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.}$

可能な場合は微分方程式をこの形式に書き換え、上記の議論を適用する方法は、このような方程式を解くための変数分離法として知られています。

これらの例のいずれにおいても、ライプニッツの導関数表記は分数のように振る舞うように見えるが、現代的な解釈ではそれは分数ではない。

1960年代、アブラハム・ロビンソンは、エドウィン・ヒューイットとイェジー・ウォシュの先行研究を基に、ライプニッツの無限小に関する数学的説明を、当時の厳密な基準に照らして妥当なものへと発展させ、これらの考えに基づいた非標準解析を開発した。ロビンソンの手法は、ごく一部の数学者によってのみ用いられている。ジェローム・ケイスラーは、ロビンソンの手法に基づき、初等微積分学の教科書『初等微積分：無限小アプローチ』を執筆した。

現代の微小理論の観点から見ると、Δxは微小なx増分であり、Δyはそれに対応するy増分であり、導関数は微小比の標準部分である。

${\displaystyle f'(x)={\rm {st}}{\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigg )}}$。

次にセットします${\displaystyle dx=\Delta x}$、${\displaystyle dy=f'(x)dx}$定義により、${\displaystyle f'(x)}$はdyとdxの比率です。

同様に、現在ほとんどの数学者は積分を

${\displaystyle \int f(x)\,dx}$

制限として

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,}$

ここで、Δ xはx _iを含む区間であり、ライプニッツはそれを無限に多くの無限小量f ( x ) dx の和 (積分記号は彼にとって総和を表す) とみなした。非標準解析の観点からは、積分をそのような無限和の標準部分とみなすのが正しい。

これらの概念の精度を得るために必要なトレードオフは、実数の集合を超実数の集合に拡張する必要があるということである。

ライプニッツは数学のさまざまな分野でさまざまな記法を試しました。彼は、数学を追求する上で良い記法が基本であると考えていました。1693年にロピタルに宛てた手紙の中で彼は次のように述べています。^{[ 28 ]}

分析の秘訣の一つは特性、つまり利用可能な記号を巧みに用いる技術にあり、先生も（行列式に関する）小さな囲み記事からお分かりのように、ヴィエタとデカルトはすべての謎を知り尽くしていたわけではありません。

彼は時間をかけて良い表記法の基準を洗練させ、「行間を広げて広がりのある記号のためのスペースを作る必要なく、通常の活字のように一行に配置できる記号を採用すること」の価値を認識するようになった。^{[ 29 ]}例えば、初期の作品では記号のグループ化を示すためにビンキュラムを多用していたが、後にこの目的のために括弧のペアを使用するアイデアを導入し、ページ上の行間を広げる必要がなくなった植字工を満足させ、ページをより魅力的に見せるようになった。^{[ 30 ]}

ライプニッツが導入した 200 を超える新しい記号の多くは、今日でも使用されています。^{[ 31 ]}すでに述べた微分dx、dyおよび積分記号 (∫) に加えて、彼は除算用のコロン (:)、乗算用の中点 (⋅)、相似 (~) および合同 (≅) の幾何学的記号、比例式にレコードの等号 (=) (オウトレッドの::表記法に代わるもの)、および行列式に二重サフィックス表記法も導入しました。^{[ 28 ]}

• ライプニッツとニュートンの微積分論争
• 微分表記法

• ブリッグス、ウィリアム、コックラン、ライル (2010)、微積分 / 初等超越関数 / 単変数、アディソン・ウェスリー、ISBN 978-0-321-66414-3
• カジョリ、フロリアン（1993）[1928]、『数学記号の歴史』、ニューヨーク：ドーバー、ISBN 0-486-67766-4
• カッツ、ビクター・J. (1993)、『数学史入門』（第2 版）、アディソン・ウェスリー・ロングマン、ISBN 978-0-321-01618-8
• マズール、ジョセフ（2014）、『啓発的なシンボル／数学記号の短い歴史とその隠された力』、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-17337-5
• スウォコウスキー、アール・W. (1983)、解析幾何学を伴う微積分（別 版）、プリンドル、ウェーバー、シュミット、ISBN 0-87150-341-7