双曲線関数

数学において、双曲関数は通常の三角関数に類似していますが、円ではなく双曲線を使用して定義されます。点(cos t、sin t )が単位半径の円を形成するのと同様に、点(cosh t、sinh t )は単位双曲線の右半分を形成します。また、sin( t )とcos( t )の導関数がそれぞれcos( t )と–sin( t )であるのと同様に、 sinh( t )とcosh( t )の導関数はそれぞれcosh( t )と+sinh( t )です。

双曲関数は、双曲幾何学における角度と距離の計算で使用されます。また、多くの線形微分方程式(懸垂線を定義する方程式など)、3 次方程式、直交座標におけるラプラス方程式の解にも使用されます。ラプラス方程式は、電磁気理論、熱伝達、流体力学、特殊相対性理論など、物理学の多くの分野で重要です。

基本的な双曲線関数は以下の通りである: ^[1]

• 双曲線正弦" sinh " ( / ˈ s ɪ ŋ、ˈ s ɪ n tʃ、ˈ ʃ aɪ n / )、^[2]
• 双曲余弦「cosh」（ / ˈkɒʃ、ˈkoʊʃ / ）、[ ³ ]

そこから派生したもの: ^[4]

• 双曲線正接" Tanh " ( / ˈ t æ ŋ、ˈ t æ n tʃ、ˈ θ æ n / )、^[5]
• 双曲余接「coth」（/ ˈkɒθ 、 ˈkoʊθ / ） 、[ 6 ^{] [7} ]
• 双曲正割" sech " ( / ˈ s ɛ tʃ , ˈ ʃ ɛ k / )、^[8]
• 双曲線余割" csch " または " cosech " ( / ˈ k oʊ s ɛ tʃ , ˈ k oʊ ʃ ɛ k / ^[3] )

導出された三角関数に対応する。

逆双曲線関数は次のとおりです。

• 面積双曲正弦「arsinh」（「sinh ⁻¹」、「asinh」、時には「arcsinh」とも表記される）^{[9] [10] [11]}
• 面積双曲余弦「arcosh」（「cosh ⁻¹」、「acosh」、または「arccosh」と表記されることもある）
• 面積双曲正接「artanh」（「tanh ⁻¹」、「atanh」、または「arctanh」とも表記される）
• 面積双曲余接「アークス」（「アークス⁻¹」、「アークス」、または「アークス」とも表記される）
• 面積双曲正割「arsech」（「sech ⁻¹」、「asech」、または「arcsech」と表記されることもある）
• 面積双曲余割「arcsch」（「arcosech」、「csch ⁻¹」、「cosech ⁻¹」、「acsch」、「acosech」、または「arccsch」や「arccosech」とも表記される）

双曲関数は、双曲角と呼ばれる実引数を取ります。双曲角の大きさは、その双曲セクターの面積の 2 倍です。双曲関数は、このセクターを覆う直角三角形の辺に基づいて定義できます。

複素解析では、通常の正弦関数と余弦関数を虚角に適用すると双曲関数が発生します。双曲正弦関数と双曲余弦関数は完全な関数です。その結果、他の双曲関数は複素平面全体で 有理型になります。

リンデマン・ワイエルシュトラスの定理によれば、双曲関数は引数のゼロ以外の代数値に対して超越値を持つ。 ^[12]

双曲関数は、1760年代にヴィンチェンツォ・リカッティとヨハン・ハインリッヒ・ランバートによって独立に導入されました。^[13]リカッティは円関数を指すのにSc.とCc. ( sinus/cosinuscirculare ) を使用し、双曲関数を指すのにSh.とCh. ( sinus/cosinushyperbolico ^{) を使用しました。ランバートはこれらの名前を採用しましたが、略語を今日使用されているものに変更しました。 [14]個人の好みに応じて、} sh、ch、th、cthの略語も現在使用されています。

双曲関数を定義する同等の方法はいくつかあります。

指数関数の観点から見ると：^{[1] [4]}

• 双曲正弦：指数関数の奇数部、つまり、$${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}= {\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$$
• 双曲余弦：指数関数の偶数部分、つまり、$${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$$
• 双曲正接:$${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.}$$
• 双曲余接: x ≠ 0の場合、$${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.}$$
• 双曲正割:$${\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.}$$
• 双曲余割: x ≠ 0の場合、$${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.}$$

双曲関数は、微分方程式の解として定義できます。双曲正弦と双曲余弦は 、初期条件を持つシステムの 解( s、c )です。初期条件によって解が一意になります。初期条件がなければ、どの関数のペアも解にはなりません。 $${\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x),\\s'(x)&=c(x),\\\end{aligned}}}$$${\displaystyle s(0)=0,c(0)=1.}$${\displaystyle (ae^{x}+be^{-x},ae^{x}-be^{-x})}$

sinh( x )とcosh( x )は方程式f  ″( x ) = f  ( x )の唯一の解でもあり、双曲余弦の場合はf  (0) = 1、f  ′(0) = 0となり、双曲正弦の場合はf  (0) = 0、f  ′(0) = 1 となります。

双曲線関数は、複素引数を持つ三角関数から推定することもできます。

• 双曲正弦: ^[1] $${\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix).}$$
• 双曲余弦: ^[1] $${\displaystyle \cosh x=\cos(ix).}$$
• 双曲正接:$${\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix).}$$
• 双曲余弦:$${\displaystyle \coth x=i\cot(ix).}$$
• 双曲正割:$${\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix).}$$
• 双曲余割:$${\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix).}$$

ここでiは虚数単位で、i ² = −1です。

上記の定義は、オイラーの公式を介して指数定義と関連しています(以下の § 複素数の双曲線関数を参照)。

双曲余弦曲線の下の面積（有限区間）は、常にその区間に対応する弧の長さに等しいことが示される： ^[15] $${\displaystyle {\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}}$$

双曲正接は、微分方程式 f  ′ = 1 − f  ²（f  (0) = 0）の（唯一の）解である。^{[16] [17]}

双曲関数は多くの恒等式を満たし、それらはすべて三角関数の恒等式 と形が似ています。実際、オズボーンの定理^[18]によれば、 、 、およびの任意の三角関数の恒等式 (sinh または 4 次暗黙の sinh を除く) を、正弦と余弦の積分べきで完全に展開し、正弦を sinh に、余弦を cosh に変更し、2 つの sinh の積を含むすべての項の符号を入れ替えることで、双曲関数の恒等式に変換できます。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle 3\theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$

奇数関数と偶数関数: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}}$$

したがって: $${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}$$

したがって、cosh xとsech xは偶関数であり、その他は奇関数です。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}}$$

双曲線正弦と双曲線余弦は次を満たします。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}}$$

最後のものはピタゴラスの三角関数の恒等式に似ています。

また、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}}$$

その他の機能については。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$$ 特に $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}}$$

また： $${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$$

また：^[19] $${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}$$

ここで、sgnは符号関数です。

x ≠ 0ならば^[20]

$${\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x-1)\\\cosh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x+1)\end{aligned}}}$$

次の不等式は統計学において有用である: ^[21] $${\displaystyle \operatorname {cosh} (t)\leq e^{t^{2}/2}.}$$

これは、2 つの関数のテイラー級数を各項ごとに比較することで証明できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

各関数sinhとcosh はその2 次導関数に等しくなります。つまり、次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.}$$

この性質を持つすべての関数はsinhとcoshの線形結合であり、特に指数関数とがこれに該当します。^[22] ${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle e^{-x}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\sinh(ax)\right|+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right|+C=a^{-1}\ln \left|\coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right|+C=-a^{-1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+C\end{aligned}}}$$

次の積分は双曲置換法を使って証明できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}$$

ここでCは積分定数です。

上記の関数のゼロにおけるテイラー級数（関数がゼロで定義されていない場合は ローラン級数）を明示的に表現することができます。

$${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$$ この級数はxのすべての複素数値に対して収束します。関数sinh xは奇数なので、テイラー級数には xの奇数指数のみが現れます。

$${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$$ この級数はxのすべての複素数値に対して収束します。関数cosh xは偶数なので、テイラー級数には xの偶数指数のみが現れます。

sinh 級数と cosh 級数の和は、指数関数の無限級数表現です。

次の級数の後には、その収束領域のサブセットの説明が続きます。ここで、級数は収束し、その和は関数に等しくなります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}}$$

どこ：

• ${\displaystyle B_{n}}$n番目のベルヌーイ数である
• ${\displaystyle E_{n}}$n番目のオイラー数である

複素平面全体では、次の展開が有効です。

${\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}}$

双曲関数は、円関数を超えた三角法の拡張を表します。どちらのタイプも、円角または双曲角のいずれかの引数に依存します。

半径rと角度u (ラジアン)を持つ扇形の面積はr 2 ^u / 2なので、 r = √ 2 のときuと等しくなります。図では、このような円は (1,1) で双曲線xy = 1 に接しています。黄色の扇形は面積と角度の大きさを表しています。同様に、黄色と赤色の領域は、双曲角の大きさに対応する面積を持つ双曲扇形を表しています。

角度を定義する直線上の斜辺を持つ2 つの直角三角形の脚の長さは、円関数と双曲関数 の√ 2倍です。

双曲角は、円角が回転に対して不変であるのと同様に、スクイーズ写像に関して不変の測度である。 ^[23]

グーデルマン関数は、複素数を含まない円関数と双曲関数の間の直接的な関係を示します。

関数a cosh( x / a )のグラフは懸垂線、つまり均一な重力下で 2 つの固定点の間に自由に垂れ下がる均一で柔軟な鎖によって形成される曲線 です。

指数関数を偶数部と奇数部に分解する と、 恒等式と が得られます 。 これを オイラーの公式 と組み合わせると、一般的な複素指数関数 が得られます。 $${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x,}$$$${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.}$$ $${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$$${\displaystyle e^{x+iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y)}$$

さらに、 $${\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}$$

指数関数は任意の複素引数に対して定義できるため、双曲関数の定義を複素引数に拡張することもできます。関数sinh zとcosh zは正則関数です。

通常の三角関数との関係は、複素数に対する オイラーの公式によって与えられます 。つまり、 $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}$$

したがって、双曲関数は虚数成分に関して周期的であり、周期は（双曲正接と双曲余接の場合）である。 ${\displaystyle 2\pi i}$${\displaystyle \pi i}$

• e (数学定数)
• 等しい内接円定理、sinhに基づく
• 双曲線関数
• 双曲線成長
• 逆双曲線関数
• 双曲関数の積分一覧
• ポアンソの螺旋
• シグモイド関数
• ソボレバ修正双曲線正接
• 三角関数

ウィキメディア・コモンズには、双曲関数に関連するメディアがあります。

• 「双曲関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• PlanetMathの双曲線関数
• GonioLab: 単位円、三角関数、双曲線関数の視覚化 ( Java Web Start )
• 双曲線関数のウェブベースの計算機