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数学において、平方とは、ある数をそれ自身で掛け合わせた結果のことです。この操作を表すのに動詞「平方する」が使われます。平方とは、 2乗することと同じで、上付き文字の2で表されます。例えば、3の平方は3²と書くことができ、これは9になります。プログラミング言語やプレーンテキストファイルなど、上付き文字が使えない場合、代わりに(キャレット)や( 2 )の表記が使われることがあります。平方に対応する形容詞は「quadratic」です。 x^2x**2x2
整数の平方は、平方数または完全平方数とも呼ばれます。代数学では、平方演算は多項式、その他の式、または数値以外の数学的値の体系の値に一般化されることがよくあります。たとえば、線形多項式x + 1の平方は、二次多項式( x + 1) 2 = x 2 + 2 x + 1です。
数だけでなく他の多くの数学体系においても、平方演算の重要な性質の一つは、（すべての数xについて） xの二乗がその加法逆元− xの二乗と等しいということです。つまり、平方関数はx 2 = (− x ) 2という恒等式を満たします。これは、平方関数が偶関数であると言うことによっても表現できます。
二乗演算は、実関数を定義します。二乗関数または二乗関数。定義域は実数全体であり、像は非負の実数の集合である。
平方関数は正の数の順序を保持します。つまり、数が大きいほど平方も大きくなります。言い換えれば、平方関数は区間[ 0, +∞)上で単調関数です。負の数では、絶対値が大きいほど平方も大きくなるため、平方関数は(−∞,0 ]上で単調減少関数です。したがって、0は平方関数の（大域的）最小値です。数xの平方x 2がxより小さい（つまりx 2 < x ）のは、 0 < x < 1の場合、つまりxが開区間(0,1)に属する場合に限ります。これは、整数の平方が元の数xより小さくなることはないことを意味します。
すべての正の実数は、正の数と負の数の2乗で表すことができます。ゼロは、ゼロ自身の2乗で表すことができます。このため、非負の実数に対して、その2乗が元の数になる非負の数を対応付ける平方根関数を定義することが可能です。
実数体系では、負の数の平方根は存在しません。なぜなら、すべての実数の平方は非負だからです。負の数に実数の平方根が存在しないという事実を利用して、 −1の平方根の 1 つである虚数単位iを仮定することで、実数体系を複素数に拡張することができます。
「すべての非負の実数は平方数である」という性質は、実閉体という概念に一般化されました。実閉体とは、すべての非負の要素が平方数であり、奇数次のすべての多項式が根を持つような順序体です。実閉体は、その代数的性質によって実数体と区別することはできません。実数のすべての性質は、一階述語論理で表現できます（つまり、∀ または ∃ で量化される変数が集合ではなく要素を表す式で表現できます）。これはすべての実閉体にも当てはまります。逆に、一階述語論理のすべての性質は、特定の実閉体に対しても当てはまります。
幾何学において、平方関数にはいくつかの重要な用途がある。
平方関数という名称は、面積の定義におけるその重要性を示しています。これは、辺の長さがlの正方形の面積がl 2に等しいという事実から来ています。面積は大きさの 2 乗に比例します。つまり、 n倍の大きさの図形の面積はn 2倍になります。これは、平面だけでなく 3 次元の面積にも当てはまります。例えば、球の表面積は半径の 2 乗に比例します。この事実は、重力などの物理的な力の強さが距離に応じてどのように変化するかを説明する逆二乗法則によって物理的に表されます。
二乗関数は、ピタゴラスの定理とその一般化である平行四辺形の法則を通して距離と関連付けられます。ユークリッド距離は滑らかな関数ではありません。固定点からの距離の3次元グラフは円錐を形成し、円錐の先端には滑らかでない点があります。しかし、距離の二乗（d²またはr²と表記）は放物面をグラフとして持ち、滑らかで解析的な関数です。
ユークリッドベクトルとそれ自身との内積は、その長さの二乗に等しい。v ⋅ v = v 2。これは、内積を介して線形空間の二次形式にさらに一般化される。力学における慣性テンソルは二次形式の一例である。これは、慣性モーメントとサイズ（長さ）の二次関係を示している。
ピタゴラス数とは、最初の2つの正の整数の二乗の和が残りの1つの正の整数の二乗に等しい3つの正の整数の組であり、無限に存在します。これらのピタゴラス数の各組は、直角三角形の辺の長さを整数で表します。
平方関数は、任意の体または環において定義される。この関数の像の要素を平方数と呼び、平方数の逆像を平方根と呼ぶ。
平方の概念は、奇素数pを法とする数によって形成される有限体Z / p Zにおいて特に重要です。この体の非ゼロ元は、 Z / p Zにおいて平方数である場合は平方剰余と呼ばれ、そうでない場合は平方非剰余と呼ばれます。ゼロは平方数ですが、平方剰余とはみなされません。このタイプのすべての有限体には、ちょうど( p − 1)/2 個の平方剰余とちょうど( p − 1)/2 個の平方非剰余があります。平方剰余は乗法に関して群を形成します。平方剰余の性質は、数論において広く用いられています。
より一般的に言えば、環においては、二乗関数は環を分類するために用いられることがある様々な性質を持つ可能性がある。
ゼロは、いくつかの非ゼロ要素の二乗である可能性がある。非ゼロ要素の二乗が決してゼロにならない可換環を既約環と呼ぶ。より一般的に、可換環において、根基イデアルとは、次の条件を満たすイデアルIである。 暗示するヒルベルトのヌルシュテレンザッツのため、これらの概念はどちらも代数幾何学において重要である。
環の要素のうち、自身の平方数と等しいものを冪等元と呼ぶ。任意の環において、0と1は冪等元である。体やより一般的には整域には、他の冪等元は存在しません。ただし、nを法とする整数環には2 k 個の冪等元があり、ここでkはnの異なる素因数の数です。すべての要素がその平方に等しい（すべての要素が冪等である）可換環はブール環と呼ばれます。コンピュータ科学の例としては、要素がバイナリ数である環があり、乗算演算はビットごとの AND、加算演算はビットごとの XOR です。
全順序環では、任意のxに対してx 2 ≥ 0 が成り立つ。さらに、x 2 = 0 となるのはx = 0 の 場合のみである 。
2が可逆である超可換代数では、任意の奇数要素の2乗はゼロになる。
Aが可換半群である場合、次のようになる。
二次形式の言語では、この等式は、平方関数が「合成を許容する形式」であることを示しています。実際、平方関数は、合成を許容する他の二次形式が構築される基礎となっています。この手順は、L.E.ディクソンによって、2倍化によって四元数から八元数を生成するために導入されました。2倍化法は、実数体から出発したA.A.アルバートによって形式化されました。そして、二乗関数を2倍して、二次形式x² + y²を持つ複素数体を得、さらに2倍して四元数を得る。この2倍化の手順はケイリー・ディクソン構成と呼ばれ、対合を持つ体F上の次元2ⁿの代数を形成するように一般化されている。
二乗関数z 2は合成代数の「ノルム」であるここで、恒等関数は自明な対合を形成し、双複素数、双四元数、および双八元数の合成代数につながるケイリー・ディクソン構成を開始します。
複素数 では、二乗関数これは、ゼロでない複素数には必ず2つの平方根があるという意味で、二重被覆である。
複素数の絶対値の二乗は、絶対二乗、二乗絶対値、または二乗絶対値と呼ばれます。[ 1 ] これは複素数とその複素共役の積であり、複素数の実部と虚部の二乗の和に等しくなります。
複素数の絶対値の二乗は常に非負の実数であり、複素数がゼロの場合に限りゼロになります。絶対値よりも計算が容易であり（平方根がないため）、実数値関数として滑らかです。これらの2つの性質から、明示的な計算や数学的解析手法（例えば最適化や積分）を用いる場合、絶対値の二乗が絶対値よりも好まれることがよくあります。
平方数は代数学では至る所に存在し、より一般的には数学のほぼすべての分野に存在し、また物理学でも多くの単位が平方数と逆平方数を使用して定義されています（下記参照）。
統計学や確率論では、値の集合、つまり確率変数の標準偏差を求める際に二乗法が用いられます。各値x iと平均との偏差 集合の差分として定義されるこれらの偏差を二乗し、新しい数値セット（それぞれが正の値）の平均を求めます。この平均が分散であり、その平方根が標準偏差です。
