特異点（カスプ）

数学において、尖点（古い文献ではスピノードとも呼ばれる）とは、曲線上で移動する点が必ず方向転換しなければならない点のことである。典型的な例を図に示す。したがって、尖点は曲線の特異点の一種である。

解析的、媒介変数方程式で定義される平面曲線の場合

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=f(t)\\y&=g(t),\end{aligned}}}$

尖点とは、fと gの両方の導関数がゼロであり、接線の方向の方向導関数が符号を変える点である（接線の方向は傾きの方向である）。${\displaystyle \lim(g'(t)/f'(t))}$尖点は、パラメータtの値が 1 つだけであるという意味で局所的な特異点であり、複数の値を含む自己交点とは対照的です。場合によっては、方向微分に関する条件を省略できますが、この場合、特異点は正則点のように見えることがあります。

陰関数方程式で定義される曲線の場合

${\displaystyle F(x,y)=0,}$

滑らかな曲線であるカスプとは、 Fのテイラー展開の最低次項が線形多項式のべき乗となる点のことです。ただし、この性質を持つ特異点がすべてカスプであるとは限りません。ピュイズー級数の理論によれば、F が解析関数(例えば多項式)である場合、線形座標変換によって、カスプの近傍で曲線を次のようにパラメータ化することができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=at^{m}\\y&=S(t),\end{aligned}}}$

ここで、 aは実数、mは正の偶数、 S ( t )は、 mより大きい次数k (最低次数の非ゼロ項の次数)のべき級数です。数mは、カスプの次数または多重度と呼ばれることもあり、 Fの最低次数の非ゼロ部分の次数に等しくなります。文脈によっては、カスプの定義は次数 2 のカスプの場合、つまりm = 2の場合に限定されます。

平面曲線と暗黙的に定義された曲線の定義は、ルネ・トムとウラジミール・アーノルドによって微分可能な関数によって定義される曲線に一般化されました。曲線は、周囲空間内のその点の近傍に、曲線を上記の定義された尖点のいずれかに写像する微分同相写像が存在する場合に、その点で尖点を持つと言えます。

2 つの変数の滑らかな実数値関数f ( x , y )を考えます。ここで、xとyは実数です。つまり、fは平面から直線への関数です。このようなすべての滑らかな関数の空間には、平面の微分同相写像群と直線の微分同相写像群、つまりソースとターゲットの両方における座標の微分同相変換が作用します。この作用により、関数空間全体が同値類、つまり群作用の軌道に分割されます。

同値類の族の一つは、次のように表される。${\displaystyle A_{k}^{\pm },}$ここでkは非負整数である。関数fは 型であると言われる。${\displaystyle A_{k}^{\pm }}$⁠それが軌道上にある場合${\displaystyle x^{2}\pm y^{k+1},}$すなわち、ソースとターゲットに微分同相変換が存在し、f をこれらの形式のいずれかに変換する。これらの単純な形式${\displaystyle x^{2}\pm y^{k+1}}$型に対して正規形を与えると言われている${\displaystyle A_{k}^{\pm }}$⁠ -特異点。⁠${\displaystyle A_{2n}^{+}}$はと同じです${\displaystyle A_{2n}^{-}}$座標の微分同相変換以来${\displaystyle (x,y)\to (x,-y)}$ソースでは${\displaystyle x^{2}+y^{k+1}}$に${\displaystyle x^{2}-y^{2n+1}.}$したがって、± を削除できます。${\displaystyle A_{2n}^{\pm }}$表記法。

尖点は、 の代表のゼロレベル集合によって与えられる。${\displaystyle A_{2n}}$同値類。ただし、 n ≥ 1は整数です。

• 通常の尖点は次のようになります。${\displaystyle x^{2}-y^{3}=0,}$すなわち、 A2型特異点のゼロレベルセット。f ( x , y )をxとyの滑らかな関数とし、簡単のためにf (0,0)=0と仮定する。このとき、(0,0)におけるfのA2型_特異点は次のよう_に特徴づけられる。
  1. 退化した二次部分を持つ、つまりfのテイラー級数の二次項が完全な平方数を形成する、例えばL ( x , y ) ²、ここでL ( x , y )はxとyに関して線形であり、
  2. L ( x , y )はf ( x , y )のテイラー級数の3次項を割り切りません。
• 嘴状尖頭（ギリシャ語の「くちばしのような」に由来）は、もともとは両方の枝が接線の同じ側にある尖頭を指していた^{[ 1 ]}。例えば、方程式の曲線など。 ${\displaystyle (xy^{2})^{2}-y^{5}=0}$特異点は方程式の尖点と同じ微分クラスに属する。${\displaystyle x^{2}-y^{5}=0,}$これはタイプA ₄の特異点であり、この用語はそのようなすべての特異点に拡張されています。これらの尖点には、焦線や波面のような一般的なものはありません。菱形尖点と通常の尖点は微分同相ではありません。パラメトリック形式は${\displaystyle x=t^{2},\,y=at^{4}+t^{5},\,a\neq 0.}$

タイプA _{4 の}特異点の場合、 f が退化した二次部分を持つこと (これによりタイプA _≥2になります)、L が 三次項を割り切ること(これによりタイプA _≥3になります)、別の割り切れる条件 (これによりタイプA _≥4になります)、および最後の非割り切れる条件 (これによりタイプが正確にA ₄になります) が必要です。

これらの追加の可除条件がどこから来るのかを見るために、f が退化した二次部分L ²を持ち、L が三次項を割り切ると仮定します。すると、 fの三次テイラー級数は次のように与えられます。${\displaystyle L^{2}\pm LQ,}$ここで、Qはxとyの二次式である。平方完成すると、${\displaystyle L^{2}\pm LQ=(L\pm Q/2)^{2}-Q^{4}/4.}$ここで微分同相変換（この場合は多項式を線形独立な線形部分で置き換えるだけ）を行うと、${\displaystyle (L\pm Q/2)^{2}-Q^{4}/4\to x_{1}^{2}+P_{1}}$ここで、P _1はx ₁とy ₁に関して4 次（位数 4）です。タイプA _≥4の可除条件は、 x _1がP ₁を割り切ることです。x 1 が P 1 を割り切らない場合、_タイプは_正確にA ₃になります（ここでのゼロレベルセットはtacnodeです）。x 1_がP ₁を割り切る場合、平方完成を行います。${\displaystyle x_{1}^{2}+P_{1}}$そして座標を変換して、${\displaystyle x_{2}^{2}+P_{2}}$ここで、P _2はx ₂とy ₂に関して5 次（位数 5）です。x _{2 が}P ₂を割り切らない場合、正確には A 4_型となり、つまりゼロレベルセットは菱形カスプになります。

3次元ユークリッド空間の滑らかな曲線を平面に投影すると、尖点が自然に現れます。一般に、このような投影は、自己交差点と通常の尖点を特異点とする曲線です。自己交差点は、曲線の異なる2点が同じ投影を持つ場合に現れます。通常の尖点は、曲線の接線が投影方向と平行な場合（つまり、接線が1点に投影される場合）に現れます。複数の現象が同時に発生すると、より複雑な特異点が生じます。例えば、接線が投影方向と平行な変曲点（および波状点）では、劈開尖点が生じます。

多くの場合、特にコンピュータビジョンやコンピュータグラフィックスにおいては、投影される曲線は、投影対象の（滑らかな）空間オブジェクトへの制限における臨界点の曲線である。したがって、尖点（カスプ）は、オブジェクトの画像（ビジョン）またはその影（コンピュータグラフィックス）の輪郭の特異点として現れる。

コースティクスや波面は、現実世界で目に見える尖点を持つ曲線の他の例である。

• 瀬戸際の大惨事
• 心臓型

• ブルース、JW、ギブリン、ピーター（1984）。曲線と特異点。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-42999-3。
• ポーテウス、イアン（1994）。幾何微分。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-39063-7。

• 物理学者たちはコーヒーカップの中に宇宙を見る