有界関数

数学において、関数${\displaystyle f}$ある集合上で定義される${\displaystyle X}$実数または複素数を持つ関数は、その値の集合（その像）が有界である場合に有界であると呼ばれます。言い換えれば、実数が存在する${\displaystyle M}$そのため

${\displaystyle |f(x)|\leq M}$

すべての人々のために${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$^{[ 1 ]}有界でない関数は、非有界であると言われます。

もし${\displaystyle f}$実数値であり、${\displaystyle f(x)\leq A}$すべての人々のために${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$すると、関数は上から制限されると言われる。${\displaystyle A}$。 もし${\displaystyle f(x)\geq B}$すべての人々のために${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$すると、関数は（から）下から制限されると言われる。${\displaystyle B}$実数値関数は、上と下の両方が有界である場合に限り、有界である。^{[ 1 ]}

重要な特殊ケースは有界数列であり、${\displaystyle X}$集合とみなされる${\displaystyle \mathbb {N} }$自然数の数列。${\displaystyle f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$実数が存在する場合、有界である。${\displaystyle M}$そのため

${\displaystyle |a_{n}|\leq M}$

すべての自然数に対して${\displaystyle n}$すべての有界数列の集合が数列空間を形成する。$\displaystyle l^{\infty }}$。

有界性の定義は関数にも一般化できる${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$より一般的な空間で値を取る${\displaystyle Y}$画像に${\displaystyle f(X)}$は有界集合である${\displaystyle Y}$。

有界性よりも弱い概念として、局所有界性がある。有界関数の族は一様有界である可能性がある。

有界作用素${\displaystyle T:X\rightarrow Y}$は、このページの定義の意味では有界関数ではありません（ただし、${\displaystyle T=0}$）だが、有界性を保持するという弱い性質を持つ。有界集合${\displaystyle M\subseteq X}$境界付き集合にマッピングされる${\displaystyle T(M)\subseteq Y}$この定義はあらゆる関数に拡張できる。${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$有界集合の概念を許容する。有界性はグラフを見ることによっても判断できる。

• 正弦関数​${\displaystyle \sin$ :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } は有界です。${\displaystyle |\sin(x)|\leq 1}$すべての人々のために${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$[ ^{1 ] [ 2 ]​}
• 機能${\displaystyle f(x)=(x^{2}-1)^{-1}}$、すべての実数に対して定義される${\displaystyle x}$−1と1を除いて、は有界ではありません。${\displaystyle x}$が −1 または 1 に近づくと、この関数の値は絶対値が大きくなります。この関数は、定義域を例えば次のように制限することで有界にすることができます。${\displaystyle [2,\infty )}$または${\displaystyle (-\infty ,-2]}$。
• 機能${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$、すべての実数に対して定義される${\displaystyle x}$は有界である。${\textstyle |f(x)|\leq 1}$すべての人々のために${\displaystyle x}$。
• 逆三角関数アークタンジェントは次のように定義されます。${\displaystyle y=\arctan(x)}$または${\displaystyle x=\tan(y)}$すべての実数に対して増加している${\displaystyle x}$そして境界を接する${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$ラジアン^{[ 3 ]}
• 有界性定理により、閉区間上のすべての連続関数、例えば${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$は有界である。^{[ 4 ]}より一般的には、コンパクト空間から距離空間への任意の連続関数は有界である。
• すべての複素数値関数${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$リウヴィルの定理の結果として、全体であるものは無限または定数である。^{[ 5 ]}特に、複素数は${\displaystyle \sin$ :\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} } は 全体集合であるため、有界でないはずです。
• 機能${\displaystyle f}$これは、0 の値をとります${\displaystyle x}$有理数と 1 は${\displaystyle x}$無理数(ディリクレ関数参照)は有界です。したがって、関数は有界であるために「良い」ものである必要はありません。 上で定義されたすべての有界関数の集合${\displaystyle [0,1]}$その区間における連続関数の集合よりもはるかに大きい。さらに、連続関数は有界である必要はない。例えば、関数${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$そして${\displaystyle h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle g(x,y):=x+y}$そして${\displaystyle h(x,y):={\frac {1}{x+y}}}$どちらも連続関数ですが、どちらも有界ではありません。^{[ 6 ]}（ただし、連続関数は、定義域が閉関数かつ有界関数であれば、必ず有界関数になります。^{[ 6 ]}）

• 有界集合
• コンパクトサポート
• 局所的な境界
• 一様有界性