微分形式

微分k形式は、次元kの向き付けられた多様体上で積分できます。微分1形式は、無限小の向き付けられた長さ、または1次元の向き付けられた密度を測定するものと考えることができます。微分2形式は、無限小の向き付けられた面積、または2次元の向き付けられた密度を測定するものと考えることができます。以下同様です。

微分形式の積分は、向き付けられた多様体上でのみ適切に定義されます。1次元多様体の例として区間[ a , b ]があり、区間には向きを与えることができます。a < b の場合は正の向き、それ以外の場合は負の向きになります。a < b の場合、区間[ a , b ]（自然な正の向きを持つ）上の微分1形式f ( x ) dxの積分は次のようになります。 $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$ これは、同じ区間における同じ微分形式の積分の負の値であり、向きが逆になっている。つまり、次のようになる。 $${\displaystyle \int _{b}^{a}f(x)\,dx=-\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$これは、区間の向きを反転すると符号が変わるという、一次元積分の慣例 に幾何学的な意味合いを与える。一変数積分理論におけるこのことの標準的な説明は、積分範囲が逆順（ b < a）の場合、増分dx は積分方向に対して負になるというものである。

より一般的に言えば、m形式とは、 m次元の向き付けられた多様体上で積分可能な向き付けられた密度のことである。（例えば、1形式は向き付けられた曲線上で積分でき、2形式は向き付けられた曲面上で積分できる、など。）Mが向き付けられたm次元多様体であり、M ′が向きが逆の同じ多様体で、ωがm形式である場合、次の関係が成り立つ。 $${\displaystyle \int _{M}\omega =-\int _{M'}\omega \,.}$$ これらの慣例は、被積分関数を微分形式として解釈し、鎖上で積分することに対応する。一方、測度論では、被積分関数を測度μに関する関数fとして解釈し、向きの概念なしに部分集合A上で積分する。${\textstyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$部分集合A上の積分を表す。これは 1 次元では些細な違いだが、高次元多様体ではより微妙になる。詳細は下記を参照のこと。

向き付けられた密度の概念、ひいては微分形式の概念を厳密に定義するには、外積代数を用いる必要がある。座標の微分dx ¹ , ..., dx ^{n は}、すべての1形式の基底として使用できる。これらの各微分は、多様体上の各点における共変ベクトルを表し、対応する座標方向の小さな変位を測定するものと考えることができる。一般的な1形式は、多様体上の各点におけるこれらの微分の線形結合である。 $${\displaystyle f_{1}\,dx^{1}+\cdots +f_{n}\,dx^{n},}$$ ここで、f _k = f _k ( x ¹ , ... , x ⁿ )はすべての座標の関数です。微分1形式は、向き付けられた曲線に沿って線積分として積分されます。

式dx ⁱ ∧ dx ^j ( i < j)は、多様体上のすべての点において、すべての2形式の基底として使用できます。これは、 x ⁱ – x ^j平面に平行な、向き付けられた無限小の正方形と考えることができます。一般的な2形式は、多様体上のすべての点において、これらの線形結合で表されます。${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$そして、それは面積分と同じように積分されます。

微分形式に定義される基本的な演算は外積（記号はウェッジ∧）です。これはベクトル解析の外積に似ており、交代積です。例えば、 $${\displaystyle dx^{1}\wedge dx^{2}=-dx^{2}\wedge dx^{1}}$$

なぜなら、1 辺がdx ¹で 2 辺がdx ²である正方形は、 1 辺がdx ²で 2 辺がdx ¹である正方形とは逆の向きを持つとみなされるからです。このため、i < jである式dx ⁱ ∧ dx ^jについてのみ合計すればよいのです。例えば、a ( dx ⁱ ∧ dx ^j ) + b ( dx ^j ∧ dx ⁱ ) = ( a − b ) dx ⁱ ∧ dx ^jとなります。外積により、ベクトル解析における外積によって平行四辺形の面積ベクトルを 2 辺上向きのベクトルから計算できるのとほぼ同じように、低次の微分形式から高次の微分形式を構築できます。交代とは、平行ベクトルの外積（その大きさはそれらのベクトルによって張られる平行四辺形の面積）がゼロになるのと同様に、dx ⁱ ∧ dx ⁱ = 0であることを意味します。高次元では、添え字i ₁、 ...、i _mのいずれか 2 つが等しい場合、 dx ^{i ₁} ∧ ⋅⋅⋅ ∧ dx ^{i _m} = 0となります。これは、辺ベクトルが線形従属である平行多面体によって囲まれた「体積」がゼロになるのと同様です。

基本的なウェッジ積の一般的な表記法${\displaystyle k}$-forms は、いわゆるマルチインデックス表記法です。${\displaystyle n}$次元コンテキスト、${\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}),1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}$定義する${\textstyle dx^{I}:=dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}=\bigwedge _{i\in I}dx^{i}}$^{[ 2 ]}長さが厳密に増加する多重インデックスの集合を定義することによって、別の有用な表記法が得られます。${\displaystyle k}$次元空間において${\displaystyle n}$、と表記される${\displaystyle {\mathcal {J}}_{k,n}:=\{I=(i_{1},\ldots ,i_{k}):1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$.次にローカルで（座標が適用される場所であればどこでも）、${\displaystyle \{dx^{I}\}_{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}}$微分空間を張る${\displaystyle k}$多様体の中に形を作る${\displaystyle M}$寸法${\displaystyle n}$リング上のモジュールとして見た場合${\displaystyle C^{\infty }(M)}$滑らかな関数の${\displaystyle M}$. サイズを計算することで${\displaystyle {\mathcal {J}}_{k,n}}$組み合わせ論的に、モジュール${\displaystyle k}$-フォームは${\displaystyle n}$次元多様体、一般に空間では${\displaystyle k}$-covectors on an${\displaystyle n}$次元ベクトル空間は、${\displaystyle n}$ 選ぶ ${\displaystyle k}$:${\textstyle |{\mathcal {J}}_{k,n}|={\binom {n}{k}}}$これはまた、基礎となる多様体の次元よりも大きい次数を持つ非零微分形式が存在しないことも示している。

外部製品に加えて、外部派生オペレーターも存在する。${\displaystyle d}$微分形式の外微分は、関数の微分の一般化である。つまり、の外微分は${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)=\Omega ^{0}(M)}$は正確には${\displaystyle f}$より高次の形態に一般化すると、${\displaystyle \omega =f{\text{d}}x^{I}}$シンプルです${\displaystyle k}$-形式、次にその外部導関数${\displaystyle d\omega }$は${\displaystyle (k+1)}$係数関数の微分をとることによって定義される形式： $${\displaystyle d\omega =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.}$$線形性による一般のk形式 への拡張：${\textstyle \tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)}$すると、その外微分は $${\displaystyle d\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial a_{I}}{\partial x^{j}}}\,dx^{j}\right)\wedge dx^{I}\in \Omega ^{k+1}(M)}$$

で${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ホッジスター演算子では、外微分は勾配、回転、発散に対応しますが、この対応関係は外積と同様に高次元には一般化されず、注意して扱う必要があります。

外微分自体は任意の有限次元に適用でき、微分幾何学、微分位相幾何学、および物理学の多くの分野で幅広く応用される柔軟で強力なツールです。注目すべきは、上記の外微分の定義は局所座標に関して定義されていますが、微分形式の外微分代数上の1次の反微分として、完全に座標に依存しない方法で定義できることです。このより一般的なアプローチの利点は、多様体上での積分を自然な座標に依存しない方法で行うことができることです。また、多様体上の積分理論の中心的な結果である、（一般化された）ストークスの定理と呼ばれる微積分学の基本定理の自然な一般化も可能になります。

させて${\displaystyle U}$オープンセットである${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$差分${\displaystyle 0}$-形式（「ゼロ形式」）は滑らかな関数として定義される。${\displaystyle f}$の上${\displaystyle U}$– その集合は次のように表される${\displaystyle C^{\infty }(U)}$。 もし${\displaystyle \mathbf {v} }$は任意のベクトルです${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$、 それから${\displaystyle f}$方向微分を持つ${\displaystyle \partial _{\mathbf {v} }f}$これは、${\displaystyle U}$ある時点での価値${\displaystyle p\in U}$変化率（${\displaystyle p}$） の${\displaystyle f}$で${\displaystyle \mathbf {v} }$方向： $${\displaystyle (\partial _{\mathbf {v} }f)(p)=\left.{\frac {d}{dt}}f(p+t\mathbf {v} )\right|_{t=0}.}$$ （この概念は、次の場合にもポイントごとに拡張できます。${\displaystyle \mathbf {v} }$はベクトル場である${\displaystyle U}$評価することによって${\displaystyle \mathbf {v} }$その時点で${\displaystyle p}$定義の中で。）

特に、v = e _jがj番目の座標ベクトルである場合、∂ _v fはj番目の座標ベクトルに関するfの偏微分、すなわち∂ f / ∂ x ^jであり、ここでx ¹、x ²、 ...、x ⁿはUの座標ベクトルです。偏微分は定義上、座標の選択に依存します。新しい座標y ¹、y ²、 ...、y ⁿが導入されると、 $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}.}$$

微分形式につながる最初のアイデアは、 ∂ _v f ( p )がvの線形関数であるという観察です。

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\partial _{\mathbf {v} +\mathbf {w} }f)(p)&=(\partial _{\mathbf {v} }f)(p)+(\partial _{\mathbf {w} }f)(p)\\(\partial _{c\mathbf {v} }f)(p)&=c(\partial _{\mathbf {v} }f)(p)\end{aligned}}}$$

任意のベクトルv、wおよび任意の実数cに対して。各点pにおいて、 R ⁿからRへのこの線形写像はdf _pと表記され、pにおけるfの導関数または微分と呼ばれます。したがって、df _p ( v ) = ∂ _v f ( p )となります。集合全体に拡張すると、オブジェクトdfは、 U上のベクトル場を受け取り、各点での値が関数fのベクトル場に沿った導関数である実数値関数を返す関数と見なすことができます。各pにおいて、微分df _pは実数ではなく、接線ベクトル上の線形汎関数であり、微分1形式の典型的な例であることに注意してください。

任意のベクトルv は、その成分の線形結合Σ v ^j e _jであるため、df は、各jおよび各p ∈ Uに対してdf _p ( e _j )によって一意に決定され、これらはU上のfの偏微分に他なりません。したがって、df はfの偏微分を符号化する方法を提供します。座標x ¹、x ²、 ...、x ⁿはU上の関数であり、微分1形式dx ¹、dx ²、 ...、dx ⁿを定義することに着目することで、これを復号できます。f = x ⁱとします。∂ x i ^/ ∂ x ^j = δ _ij（クロネッカーのデルタ関数）であるため、次のことが導かれます。

この式の意味は、任意の点pで両辺を評価することによって与えられます。右辺では、和は「点ごとに」定義されるため、 $${\displaystyle df_{p}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)(dx^{i})_{p}.}$$e _j の両辺を適用すると、各辺の結果はpにおけるfのj階偏導関数になります。p と j は任意だったので、これで式(*)が証明されます。

より一般的に、 U上の任意の滑らかな関数g _iおよびh _iに対して、微分1形式α = Σ _i g _i dh _{i を}各点で次のように 定義します。$${\displaystyle \alpha _{p}=\sum _{i}g_{i}(p)(dh_{i})_{p}}$$ 各p ∈ Uに対して。任意の微分1形式はこのようにして生じ、(*)を使用すると、 U上の任意の微分1形式α は座標で次のように表すことができること がわかります。$${\displaystyle \alpha =\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,dx^{i}}$$U上の いくつかの滑らかな関数f _iについて。

微分形式につながる2番目のアイデアは、次の質問から生じます。U上の微分1形式αが与えられたとき、 α = dfとなるようなU上の関数fはいつ存在するのでしょうか？上記の展開は、この問題を、偏導関数∂f / ∂xiがn個の与えられた関数f ⁱに等しい関数f_を探すことに帰着させます。n > 1の場合、そのような関数は必ずしも存在するとは限りません。任意 の滑らかな関数fは、$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\,\partial x^{i}}},}$$そのため、そのようなfを 見つけることは不可能です。 $${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial f_{i}}{\partial x^{j}}}=0}$$すべてのiとj について。

iとjの左辺の歪対称性から、微分1形式に反対称積∧ を導入し、外積 とすることで、これらの式を単一の条件にまとめることができる。 $${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}=0,}$$ ここで、∧は次のように定義される。 $${\displaystyle dx^{i}\wedge dx^{j}=-dx^{j}\wedge dx^{i}.}$$

これは微分2形式の一例です。この2形式は、 α = ∑ ⁿ _{j =1} f _j dx ^jの外微分dαと呼ばれます。これは次のように与えられます。 $${\displaystyle d\alpha =\sum _{j=1}^{n}df_{j}\wedge dx^{j}=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}.}$$

要約すると、dα = 0はα = dfとなる関数fの存在に必要な条件です。

微分0形式、1形式、2形式は微分形式の特殊な場合である。各kに対して、微分k形式の空間が存在し、それは座標を用いて次のように表すことができる。 $${\displaystyle \sum _{i_{1},i_{2}\ldots i_{k}=1}^{n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$$ 関数の集合f _{i 1 i 2 ⋅⋅⋅ i k}について。2形式ですでに存在していた反対称性により、和をi ₁ < i ₂ < ... < i _{k −1} < i _kを満たすインデックスの集合に制限することが可能になります。

微分形式は外積を用いて掛け合わせることができ、任意の微分k形式αに対して、 αの外微分と呼ばれる微分( k + 1)形式dαが存在する。

微分形式、外積、外微分は、座標の選択に依存しません。したがって、これらは任意の滑らかな多様体M上で定義できます。その方法の一つは、M を座標チャートで覆い、各チャート上の重なり合う部分で一致する微分 k 形式の族を M 上の微分 k 形式として定義することです。しかし、座標の独立性をより明確にする、より本質的な定義も存在します。

の外部製品${\displaystyle k}$-形状${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \ell }$-形状${\displaystyle \beta }$、と表記される${\displaystyle \alpha \wedge \beta }$は${\displaystyle (k+\ell )}$-形式。各ポイントで${\displaystyle p}$多様体の${\displaystyle M}$フォーム${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$は、余接空間の外積の要素である。${\displaystyle p}$外積代数をテンソル代数の商とみなすと、外積はテンソル積（外積代数を定義する同値関係を法とする）に対応する。

外代数に内在する反対称性は、${\displaystyle \alpha \wedge \beta }$は多重線形関数とみなされ、交代的である。しかし、交代写像によって外積代数がテンソル代数の部分空間として埋め込まれると、テンソル積は${\displaystyle \alpha \otimes \beta }$は交代的ではありません。この状況における外部積を記述する明示的な式があります。外部積は $${\displaystyle \alpha \wedge \beta =\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).}$$ 埋め込み${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}T^{*}M}$の中へ${\displaystyle {\bigotimes }^{n}T^{*}M}$地図を通して行われます${\displaystyle n!\operatorname {Alt} }$の代わりに${\displaystyle \operatorname {Alt} }$外装製品は $${\displaystyle \alpha \wedge \beta ={\frac {(k+\ell )!}{k!\ell$$ !}}\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).} この説明は明示的な計算に役立ちます。たとえば、${\displaystyle k=\ell =1}$、 それから${\displaystyle \alpha \wedge \beta }$は${\displaystyle 2}$-ある時点での値が決まる形式${\displaystyle p}$は、次のように定義される 交代双線形形式です。$${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )_{p}(v,w)=\alpha _{p}(v)\beta _{p}(w)-\alpha _{p}(w)\beta _{p}(v)}$$ のために${\displaystyle v,w\in T_{p}M}$。

外形は双線形です。${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$、 そして${\displaystyle \gamma }$微分形式であれば、${\displaystyle f}$は任意の滑らかな関数である。 $${\displaystyle \alpha \wedge (\beta +\gamma )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \gamma ,}$$$${\displaystyle \alpha \wedge (f\cdot \beta )=f\cdot (\alpha \wedge \beta ).}$$

これは歪可換（次数付き可換とも呼ばれる）であり、形式の次数に依存する反可換性の変種を満たすことを意味します。${\displaystyle \alpha }$は${\displaystyle k}$-形式と${\displaystyle \beta }$は${\displaystyle \ell }$-形式、次に $${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{k\ell }\beta \wedge \alpha .}$$また、段階的なライプニッツの法則 もある。 $${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .}$$

リーマン多様体、あるいはより一般的には擬リーマン多様体において、計量は接束と余接束のファイバーごとの同型性を定義します。これにより、ベクトル場を余ベクトル場に変換したり、その逆を行ったりすることが可能になります。また、ホッジスター演算子などの追加の演算を定義することも可能になります。${\displaystyle \star \colon \Omega ^{k}(M)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ \Omega ^{n-k}(M)}$そして共微分${\displaystyle \delta \colon \Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)}$これは次数が-1であり、外微分dに随伴する。

外微分の重要な性質の1つは、${\displaystyle d^{2}=0}$これは、外部微分がコチェイン複合体を定義することを意味します。 $${\displaystyle 0\ \to \ \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\ \to \ \cdots \ \to \ \Omega ^{n}(M)\ \to \ 0.}$$

この複体はド・ラーム複体と呼ばれ、そのコホモロジーは定義により、${\displaystyle M}$ポアンカレの補題により、ド・ラーム複体は、以下の点を除いて局所的に完全である。${\displaystyle \Omega ^{0}(M)}$カーネルは${\displaystyle \Omega ^{0}(M)}$は、上の局所定数関数の空間である。${\displaystyle M}$したがって、この複体は定数層の分解である。${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$これは、ド・ラームの定理の一形態を意味する。ド・ラーム・コホモロジーは、層コホモロジーを計算する。${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$。

させて${\displaystyle U}$の開部分集合である${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$。 与える${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$その標準的な向きと${\displaystyle U}$その方向の制限。すべての滑らかな${\displaystyle n}$-形状${\displaystyle \omega }$の上${\displaystyle U}$形式は $${\displaystyle \omega =f(x)\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$$ 滑らかな関数の場合${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$このような関数は、通常のリーマン積分またはルベーグ積分の意味で積分を持ちます。これにより、次の積分を定義できます。${\displaystyle \omega }$積分である${\displaystyle f}$: $${\displaystyle \int _{U}\omega \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{U}f(x)\,dx^{1}\cdots dx^{n}.}$$ 向きを固定することが、これを適切に定義するために必要です。微分形式の歪対称性は、例えば、の積分が、${\displaystyle {\text{d}}x^{1}\wedge {\text{d}}x^{2}}$積分の負の値でなければならない${\displaystyle {\text{d}}x^{2}\wedge {\text{d}}x^{1}}$リーマン積分とルベーグ積分は、座標の順序に依存するこの性質を考慮できないため、積分の符号が確定しません。向きを指定することで、この曖昧さが解消されます。

させて${\displaystyle M}$になる${\displaystyle n}$-多様体と${\displaystyle \omega }$1${\displaystyle n}$-フォーム${\displaystyle M}$まず、パラメータ化が存在すると仮定します。${\displaystyle M}$ユークリッド空間の開部分集合によって。つまり、微分同相写像が存在すると仮定する。 $${\displaystyle \varphi \colon D\to M}$$ どこ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$。 与える${\displaystyle M}$によって誘発される配向${\displaystyle \varphi }$すると（Rudin 1976 ）は、の積分を定義する。${\displaystyle \omega }$以上${\displaystyle M}$積分である${\displaystyle \varphi ^{*}\omega }$以上${\displaystyle D}$座標では、これは次の式で表されます。埋め込みを固定します。${\displaystyle M}$で${\displaystyle \mathbb {R} ^{I}}$座標付き${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{I}}$。 それから $${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}({\mathbf {x} })\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}.}$$ 仮に${\displaystyle \varphi }$定義される $${\displaystyle \varphi ({\mathbf {u} })=(x^{1}({\mathbf {u} }),\ldots ,x^{I}({\mathbf {u} })).}$$ すると、積分は座標で次のように表すことができます。 $${\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{D}\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(\varphi ({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\dots ,u^{n})}}\,du^{1}\cdots du^{n},}$$ どこ $${\displaystyle {\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\ldots ,u^{n})}}}$$はヤコビ行列 の行列式です。ヤコビ行列が存在する理由は${\displaystyle \varphi }$微分可能である。

一般的に、${\displaystyle n}$-多様体は、開部分集合によってパラメータ化することはできません。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$しかし、このようなパラメーター化は局所的には常に可能であるため、任意の多様体上の積分を、局所パラメーター化の集合上の積分の和として定義することで定義することが可能です。さらに、パラメーター化を定義することも可能であり、${\displaystyle k}$次元部分集合${\displaystyle k<n}$、これにより、積分を定義することが可能になります。${\displaystyle k}$-形式。これを正確にするために、標準ドメインを固定するのが便利です。${\displaystyle D}$で${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$通常は立方体または単体。${\displaystyle k}$-チェーンは滑らかな埋め込みの形式的な和である${\displaystyle D\rightarrow M}$つまり、それは滑らかな埋め込みの集合であり、それぞれの滑らかな埋め込みには整数の多重度が割り当てられています。各滑らかな埋め込みは、${\displaystyle k}$次元部分多様体の${\displaystyle M}$チェーンが $${\displaystyle c=\sum _{i=1}^{r}m_{i}\varphi _{i},}$$ すると、${\displaystyle k}$-形状${\displaystyle \omega }$以上${\displaystyle c}$は、 の項に関する積分の合計として定義される。${\displaystyle c}$: $${\displaystyle \int _{c}\omega =\sum _{i=1}^{r}m_{i}\int _{D}\varphi _{i}^{*}\omega .}$$

この積分定義のアプローチでは、多様体全体にわたる積分に直接的な意味は割り当てられていない。${\displaystyle M}$しかし、あらゆる滑らかな多様体は本質的に一意な方法で滑らかに三角形分割でき、積分は${\displaystyle M}$これは、三角形分割によって決定される鎖上の積分として定義できる。

（Dieudonné 1972 ）で詳述されている別のアプローチでは、積分に直接意味が割り当てられています。${\displaystyle M}$しかし、このアプローチでは、${\displaystyle M}$の積分${\displaystyle n}$-形状${\displaystyle \omega }$オン${\displaystyle n}$次元多様体はチャート上で定義される。まず、${\displaystyle \omega }$単一の正の方向のチャートでサポートされています。このチャートでは、${\displaystyle n}$の開部分集合上の形式${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ここで、この形式は、以前と同様に、明確に定義されたリーマン積分またはルベーグ積分を持ちます。変数変換の公式と、チャートが正に方向付けられているという仮定により、積分が保証されます。${\displaystyle \omega }$選択したチャートとは無関係です。一般的には、単位の分割を使用して記述します。${\displaystyle \omega }$合計として${\displaystyle n}$-形式、それぞれが単一の正向きチャートでサポートされ、積分を定義します。${\displaystyle \omega }$単位の分割における各項の積分の合計となる。

統合することも可能です${\displaystyle k}$- 方向付けられたフォーム${\displaystyle k}$このより本質的なアプローチを用いて次元部分多様体を扱う。形式は部分多様体に引き戻され、積分は以前と同様にチャートを用いて定義される。例えば、パスが与えられた場合${\displaystyle \gamma (t):[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$統合する${\displaystyle 1}$-パス上のフォームは、単にフォームをフォームに戻すだけです${\displaystyle f(t){\text{d}}t}$の上${\displaystyle [0,1]}$、そしてこの積分は関数の積分である${\displaystyle f(t)}$休憩時間に。

フビニの定理は、積である集合上の積分は、その積を構成する2つの因子に対する反復積分として計算できると述べています。これは、積上の微分形式の積分も反復積分として計算できるはずであることを示唆しています。微分形式の幾何学的柔軟性により、これは積だけでなく、より一般的な状況でも可能となります。いくつかの仮定の下では、滑らかな写像のファイバーに沿って積分することが可能であり、フビニの定理の類似例は、この写像が積からその因子の1つへの射影である場合です。

部分多様体上の微分形式を積分するには向きを固定する必要があるため、ファイバーに沿った積分の前提条件は、それらのファイバー上に明確に定義された向きが存在することです。Mと N をそれぞれ純次元 m と n の 2 つの向き付け可能な多様体とします。f : M → Nが全射沈め込みであると仮定します。これは、各ファイバーf −  1 ( ^{y )}が( m − n )次元であり、 Mの各点の周りに、 f が積からその因子の 1 つへの射影のように見えるチャートが存在することを意味します。x ∈ Mを固定し、 y = f ( x )とします。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{x}&\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,\\[2pt]\eta _{y}&\in {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{y}^{*}N,\end{aligned}}}$$ そしてηy_はゼロにならない。( Dieudonné 1972 )に従って、一意の $${\displaystyle \sigma _{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}(f^{-1}(y))}$$これは、 η _yに関するω _x のファイバー部分と考えることができる。より正確には、j : f ^{− 1} ( y ) → Mを包含関係と定義する。すると、σ _xは次の性質によって定義される。  $${\displaystyle \omega _{x}=(f^{*}\eta _{y})_{x}\wedge \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,}$$ どこ $${\displaystyle \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M}$$は、以下の条件を満たす任意の( m − n ) -共ベクトル である。$${\displaystyle \sigma _{x}=j^{*}\sigma '_{x}.}$$σ _{x の} 形式はω _x / η _yと表記されることもあります。

さらに、固定されたyに対して、σ _{x は}xに関して滑らかに変化する。つまり、 $${\displaystyle \omega \colon f^{-1}(y)\to T^{*}M}$$ は射影マップの滑らかなセクションです。ωはf ^{− 1} ( y )に沿ったM上の滑らかなm微分形式であると言います。すると^、 f − ¹ ( y )上に滑らかな( m − n )微分形式σが存在し、各x ∈ f ^{− 1} ( y )において、 $${\displaystyle \sigma _{x}=\omega _{x}/\eta _{y}.}$$この形式はω / η _y と表記される。ωがファイバーの近傍のm形式である場合も同様の構成が可能であり、同じ表記が使用される。結果として、各ファイバーf ^{− 1} ( y )は向き付け可能である。特に、MおよびN上の向き付け形式の選択により、 fのすべてのファイバーの向きが定義される。

フビニの定理の類似物は次のとおりです。これまでと同様に、MとNは純次元mとnの 2 つの向き付け可能な多様体であり、f  : M → Nは全射沈め込みです。M と N の向きを固定し、 fの各ファイバーに誘導された向きを与えます。ωをM上のm形式とし、η をN上のn形式で、 Nの向きに関してほとんど至るところで正であるとします。すると、ほとんどすべてのy ∈ Nに対して、形式ω / η _yはf ^{− 1} ( y )上の適切に定義された積分可能なm − n形式です。さらに、 N上には次のように定義される 積分可能なn形式があります。$${\displaystyle y\mapsto {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta _{y}{\bigg )}\,\eta _{y}.}$$ この形式をで表す $${\displaystyle {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .}$$ そして（Dieudonné 1972 ）は一般化されたFubiniの公式を証明する。 $${\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{N}{\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .}$$

沈み込みのファイバーに沿って他の次数の形式を積分することも可能です。前述と同じ仮定を置き、α をM上のコンパクト台を持つ( m − n + k )形式とします。すると、 N上には、 α をfのファイバーに沿って積分した結果であるk形式γが存在します。形式αは、各y ∈ Nにおいて、γ がyにおける各kベクトルvとどのようにペアになるかを指定することによって定義され、そのペアリングの値は、α、v 、およびMとNの向きのみに依存するf ^{− 1} ( y )上の積分です。より正確には、各y ∈ Nにおいて、同型写像が存在します 。$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{y}N\to {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{y}^{*}N}$$ インテリア製品によって定義される $${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y},}$$Nの向きにおける任意の体積形式ζ の選択に対して。x ∈ f ^{− 1} ( y )の場合、yにおけるk - ベクトルv は、引き戻しによって xにおける( n − k ) - 共ベクトルを決定します。$${\displaystyle f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\in {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{x}^{*}M.}$$これらの各共ベクトルはα に対して外積を持つので、 f ^{− 1} ( y )に沿ってM上に( m − n )形式のβ _{v が}存在し、次のように定義される。 $${\displaystyle (\beta _{\mathbf {v} })_{x}=\left(\alpha _{x}\wedge f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\right){\big /}\zeta _{y}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M.}$$この形式はN の向きに依存するが、 ζの選択には依存しない。するとk形式γは次の性質によって一意に定義される。 $${\displaystyle \langle \gamma _{y},\mathbf {v} \rangle =\int _{f^{-1}(y)}\beta _{\mathbf {v} },}$$ また、γは滑らかである( Dieudonné 1972 )。この形式はα ^♭とも表記され、fのファイバーに沿ったαの積分と呼ばれた。ファイバーに沿った積分は、ド・ラーム コホモロジーにおける Gysin 写像の構成に重要である。