部品ごとの統合

微積分学、およびより一般的には数学的解析学において、部分積分または部分積分は、関数の積の積分を、その導関数と原始関数の積の積分によって求める処理です。これは、関数の積の原始関数を、解をより簡単に見つけることができる原始関数に変換するためによく使用されます。この規則は、微分の積の規則の積分バージョンと考えることができます。実際、この規則は積の規則を使用して導出されます。

部分積分式は次のように表されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

あるいは、とwhileとを使うと、式はより簡潔に書くことができます。 ${\displaystyle u=u(x)}$${\displaystyle du=u'(x)\,dx}$${\displaystyle v=v(x)}$${\displaystyle dv=v'(x)\,dx,}$$${\displaystyle \int u\,dv\ =\ uv-\int v\,du.}$$

前者の式は定積分として書かれ、後者は不定積分として書かれます。後者の式に適切な制限を適用すると前者が得られるはずですが、後者は必ずしも前者と同等ではありません。

数学者ブルック・テイラーは部分積分を発見し、1715年に初めてそのアイデアを発表しました。 ^{[1] [2]}部分積分のより一般的な定式化は、リーマン・スティルチェス積分とルベーグ・スティルチェス積分に対して存在します。数列の離散類似物は部分和と呼ばれます。

定理は次のように導出されます。 2 つの連続微分可能 関数 とに対して、積の法則は次のように述べます。 ${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle v(x)}$

$${\displaystyle {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).}$$

両辺を について積分すると、 ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \int {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\,dx=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$$

そして不定積分は不定積分である ことに注目すると、

$${\displaystyle u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$$

ここで積分定数の記述は無視します。これにより、部分積分の式が得られます。

$${\displaystyle \int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx,}$$

あるいは微分 の観点から言えば、${\displaystyle du=u'(x)\,dx}$${\displaystyle dv=v'(x)\,dx,\quad }$

$${\displaystyle \int u(x)\,dv=u(x)v(x)-\int v(x)\,du.}$$

これは、各辺に不特定の定数を加えた関数の等式として理解される。2つの値との各辺の差を取り、微積分の基本定理を適用すると、定積分バージョンが得られる。 元の積分には導関数v'が含まれている。定理を適用するには、v'の不定積分であるvを見つけ、結果として得られる積分を評価する必要がある。${\displaystyle x=a}$${\displaystyle x=b}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.}$$${\displaystyle \int uv'\,dx}$ ${\displaystyle \int vu'\,dx.}$

と は連続的に微分可能である必要はない。が絶対連続で、指定された関数がルベーグ積分可能（ただし必ずしも連続とは限らない）であれば、部分積分は成立する。 ^[3]（に不連続点がある場合、その不連続点における原始導関数は導関数を持たない可能性がある。） ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle v}$

積分区間がコンパクトでない場合、区間全体で が絶対連続である必要はなく、区間内で がルベーグ積分可能である必要もありません。これは、いくつかの例（と が連続かつ連続微分可能である場合）が示すとおりです。たとえば、 ${\displaystyle u}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

$${\displaystyle u(x)=e^{x}/x^{2},\,v'(x)=e^{-x}}$$

${\displaystyle u}$は区間[1,∞)上で絶対連続ではないが、それでも次のようになる。

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}$$

がの極限を意味し、右辺の2つの項が有限である限り、これは次の式を選んだ場合にのみ成り立ちます。同様に、 ${\displaystyle \left[u(x)v(x)\right]_{1}^{\infty }}$${\displaystyle u(L)v(L)-u(1)v(1)}$${\displaystyle L\to \infty }$${\displaystyle v(x)=-e^{-x}.}$

$${\displaystyle u(x)=e^{-x},\,v'(x)=x^{-1}\sin(x)}$$

${\displaystyle v'}$は区間[1,∞)上でルベーグ積分可能ではないが、それでも

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}$$ 同じ解釈で。

およびが連続的に微分可能でない類似の例も簡単に思いつくでしょう。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

さらに、が線分上の有界変化の関数であり、が上 で微分可能である場合、${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b],}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle [a,b],}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }{\widetilde {\varphi }}(x)\,d({\widetilde {\chi }}_{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x)),}$$

ここで、 は有界変化の関数に対応する符号付き測度を表し、関数 はそれぞれ有界変化と微分可能な のへの拡張です。 ^{[引用が必要]}${\displaystyle d(\chi _{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x))}$${\displaystyle \chi _{[a,b]}(x)f(x)}$${\displaystyle {\widetilde {f}},{\widetilde {\varphi }}}$${\displaystyle f,\varphi }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

3 つの乗算関数、、、の積分則を積分すると、同様の結果が得られます。 ${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle v(x)}$${\displaystyle w(x)}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}uv\,dw\ =\ {\Big [}uvw{\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}uw\,dv-\int _{a}^{b}vw\,du.}$$

一般的に、要因 としては${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right)'\ =\ \sum _{j=1}^{n}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x),}$$

それは

$${\displaystyle \left[\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right]_{a}^{b}\ =\ \sum _{j=1}^{n}\int _{a}^{b}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x).}$$

パラメトリック曲線を考える。曲線が局所的に1対1で積分可能であると仮定すると、次のように定義できる。 ${\displaystyle (x,y)=(f(t),g(t))}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x(y)&=f(g^{-1}(y))\\y(x)&=g(f^{-1}(x))\end{aligned}}}$$

青い領域の面積は

$${\displaystyle A_{1}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)\,dy}$$

同様に、赤い領域の面積は $${\displaystyle A_{2}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)\,dx}$$

総面積A ₁ + A ₂は、大きい長方形の面積x ₂ y ₂から小さい長方形の面積x ₁ y ₁を引いたものに等しくなります。

$${\displaystyle \overbrace {\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)\,dy} ^{A_{1}}+\overbrace {\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)\,dx} ^{A_{2}}\ =\ {\biggl .}x\cdot y(x){\biggl |}_{x_{1}}^{x_{2}}\ =\ {\biggl .}y\cdot x(y){\biggl |}_{y_{1}}^{y_{2}}}$$または、 t の観点から見ると、 または、不定積分の観点から見ると、これは 次のように書くことができます。整理する と、 このように部分積分は、長方形の面積と赤い領域の面積から青い領域の面積を導くものと考えることができます。 $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}x(t)\,dy(t)+\int _{t_{1}}^{t_{2}}y(t)\,dx(t)\ =\ {\biggl .}x(t)y(t){\biggl |}_{t_{1}}^{t_{2}}}$$$${\displaystyle \int x\,dy+\int y\,dx\ =\ xy}$$$${\displaystyle \int x\,dy\ =\ xy-\int y\,dx}$$

この図解は、関数f ( x ) の積分がわかっているときに、部分積分が逆関数f ⁻¹ ( x ) の積分を見つけるのに役立つ理由も説明しています。確かに、関数x ( y ) とy ( x ) は逆関数であり、積分 ∫ x dy は、積分 ∫ y dxがわかっていることから上記のように計算できます。特に、これは部分積分を使用して対数関数と逆三角関数を積分する方法について説明します。実際、 が区間上の 1 対 1 で微分可能な関数である場合、部分積分を使用して の積分の式を の積分で導くことができます。これは、記事「逆関数の積分」で実証されています。   ${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f}$

部分積分は、積分を解くための純粋に機械的なプロセスではなく、経験的なプロセスです。積分する単一の関数が与えられた場合、典型的な戦略は、部分積分式の残差積分が単一の関数よりも簡単に評価できるように、この単一の関数を 2 つの関数の積u ( x ) v ( x ) に慎重に分割することです。次の形式は、取るべき最善の戦略を示すのに役立ちます。

$${\displaystyle \int uv\,dx=u\int v\,dx-\int \left(u'\int v\,dx\right)\,dx.}$$

右側では、uは微分され、vは積分されます。したがって、微分すると単純化される関数としてu を選択するか、積分すると単純化される関数としてv を選択すると便利です。簡単な例として、次の式を考えます。

$${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx\,.}$$

ln( x )の導関数は⁠1/x⁠、 (ln( x )) をu の部分とする。 ⁠の不定積分は1/× ²⁠は − ⁠1/x⁠、人は⁠1/× ²⁠パートv . 式は次のようになります。

$${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\,dx\,.}$$

− ⁠の不定積分1/× ²⁠ はべき乗則で見つけられ、⁠1/x⁠ .

あるいは、uとv を選択して、積u ′ (∫ v  dx ) が相殺により単純化されるようにすることもできます。たとえば、次のように積分するとします。

$${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx.}$$

u ( x ) = ln(|sin( x )|) およびv ( x ) = sec ² xを選択した場合、連鎖律を使用してu はに微分され、v はtan xに積分されます。したがって、式は次のようになります。 ${\displaystyle {\frac {1}{\tan x}}}$

$${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}\,dx\ .}$$

積分関数は 1 に簡略化されるため、不定積分はxです。簡略化の組み合わせを見つけるには、多くの場合、実験が必要になります。

アプリケーションによっては、部分積分によって生成される積分が単純な形式であることを確認する必要がない場合があります。たとえば、数値解析では、積分の大きさが小さく、誤差項が小さいだけで十分な場合があります。その他の特別な手法については、以下の例で説明します。

計算するには

$${\displaystyle I=\int x\cos(x)\,dx\,,}$$

させて： $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=x\ &\Rightarrow \ &&du&=dx\\dv&=\cos(x)\,dx\ &\Rightarrow \ &&v&=\int \cos(x)\,dx=\sin(x)\end{alignedat}}}$$

それから：

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x)\,dx&=\int u\ dv\\&=u\cdot v-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\,dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C,\end{aligned}}}$$

ここでCは積分定数です。

の 高次のべき乗については、${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \int x^{n}e^{x}\,dx,\ \int x^{n}\sin(x)\,dx,\ \int x^{n}\cos(x)\,dx\,,}$$

部分積分を繰り返し使用すると、このような積分を評価できます。定理を適用するたびに、 のべき乗は1 ずつ低下します。 ${\displaystyle x}$

部分積分の仕組みを調べるためによく使われる例は

$${\displaystyle I=\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$$

ここでは部分積分を2回行う。まず

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=\cos(x)\ &\Rightarrow \ &&du&=-\sin(x)\,dx\\dv&=e^{x}\,dx\ &\Rightarrow \ &&v&=\int e^{x}\,dx=e^{x}\end{alignedat}}}$$

それから：

$${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\,dx.}$$

さて、残りの積分を評価するために、次のように再び部分積分を使用します。

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=\sin(x)\ &\Rightarrow \ &&du&=\cos(x)\,dx\\dv&=e^{x}\,dx\,&\Rightarrow \ &&v&=\int e^{x}\,dx=e^{x}.\end{alignedat}}}$$

それから：

$${\displaystyle \int e^{x}\sin(x)\,dx=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$$

これらをまとめると、

$${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$$

この式の両辺に同じ積分が現れます。積分を両辺に加えると、

$${\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C,}$$

それを並べ替えると

$${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx={\frac {1}{2}}e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C'}$$

ここで、(および)は積分定数です。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle C'={\frac {C}{2}}}$

同様の方法を使用して、正割の 3 乗の積分を求めます。

他の 2 つのよく知られた例は、1 とそれ自身の積として表される関数に部分積分を適用する場合です。これは、関数の導関数がわかっていて、この導関数の積分もわかっている場合に機能します。 ${\displaystyle x}$

最初の例は です。これは次のように書きます。 ${\displaystyle \int \ln(x)dx}$

$${\displaystyle I=\int \ln(x)\cdot 1\,dx\,.}$$

させて：

$${\displaystyle u=\ln(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{x}}}$$ $${\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}$$

それから：

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}}$$

ここで積分定数です。 ${\displaystyle C}$

2番目の例は逆正接関数です。 ${\displaystyle \arctan(x)}$

$${\displaystyle I=\int \arctan(x)\,dx.}$$

これを書き直すと

$${\displaystyle \int \arctan(x)\cdot 1\,dx.}$$

さて、次のようになります。

$${\displaystyle u=\arctan(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{1+x^{2}}}}$$

$${\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}$$

それから

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arctan(x)\,dx&=x\arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=x\arctan(x)-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}}+C\end{aligned}}}$$

逆連鎖律法と自然対数積分条件を組み合わせて使用​​します。

LIATE規則は部分積分の経験則である。これは、次のリストの最初に来る関数をuとして選択することを意味している。 ^[4]

• L –対数関数など${\displaystyle \ln(x),\ \log _{b}(x),}$
• I –逆三角関数（双曲関数を含む） など${\displaystyle \arctan(x),\ \operatorname {arcsec}(x),\ \operatorname {arsinh} (x),}$
• A –代数関数（多項式など）など${\displaystyle x^{2},\ 3x^{50},}$
• T –三角関数（双曲関数を含む）など${\displaystyle \sin(x),\ \tan(x),\ \operatorname {sech} (x),}$
• E –指数関数など${\displaystyle e^{x},\ 19^{x},}$

dvとなる関数は、リストの最後にある関数です。これは、リストの下位にある関数は、上位にある関数よりも一般に不等式が簡単なためです。この規則は「DETAIL」と表記されることもあります。ここで、D はdvを表し、リストの先頭がdvとして選択される関数です。この規則の代替として、逆三角関数が対数関数の前に来る ILATE 規則があります。

LIATE規則を証明するために、積分を考えてみましょう。

$${\displaystyle \int x\cdot \cos(x)\,dx.}$$

LIATE規則に従うと、u = x、dv = cos( x )  dxなので、du = dx、v = sin( x )となり、積分は 次のよう になる。$${\displaystyle x\cdot \sin(x)-\int 1\sin(x)\,dx,}$$$${\displaystyle x\cdot \sin(x)+\cos(x)+C.}$$

一般的には、 duがuよりも単純で、 dvが積分しやすいようにuとdvを選択する。代わりにcos( x )がuとして選択され、x dxがdvとして選択された場合、積分は次のようになる 。

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}\cos(x)+\int {\frac {x^{2}}{2}}\sin(x)\,dx,}$$

部分積分公式を再帰的に適用すると、明らかに無限再帰となり、どこにも到達しないことになります。

LIATE ルールは便利な経験則ですが、例外もあります。一般的な代替案は、代わりに「ILATE」順序でルールを検討することです。また、場合によっては、多項式の項を非自明な方法で分割する必要があります。たとえば、次の式を積分するには、

$${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx,}$$

1つは

$${\displaystyle u=x^{2},\quad dv=x\cdot e^{x^{2}}\,dx,}$$

となることによって

$${\displaystyle du=2x\,dx,\quad v={\frac {e^{x^{2}}}{2}}.}$$

それから

$${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx=\int \left(x^{2}\right)\left(xe^{x^{2}}\right)\,dx=\int u\,dv=uv-\int v\,du={\frac {x^{2}e^{x^{2}}}{2}}-\int xe^{x^{2}}\,dx.}$$

最終的に、これは $${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx={\frac {e^{x^{2}}\left(x^{2}-1\right)}{2}}+C.}$$

部分積分は数学解析における定理を証明するツールとしてよく使用されます。

ウォリス無限積は${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \end{aligned}}}$$

部分積分を使って導くことができる。

ガンマ関数は特殊関数の例であり、の不定積分として定義されます。部分積分により、これが階乗関数の拡張であることが示されます。 ${\displaystyle z>0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{z-1}dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,d\left(e^{-x}\right)\\[6pt]&=-{\Biggl [}e^{-x}x^{z-1}{\Biggl ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-x}d\left(x^{z-1}\right)\\[6pt]&=0+\int _{0}^{\infty }\left(z-1\right)x^{z-2}e^{-x}dx\\[6pt]&=(z-1)\Gamma (z-1).\end{aligned}}}$$

以来

$${\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,dx=1,}$$

が自然数、つまり のとき、この式を繰り返し適用すると階乗 が得られます。${\displaystyle z}$${\displaystyle z=n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$

部分積分は調和解析、特にフーリエ解析でよく使用され、十分に滑らかな被積分関数を持つ急速に振動する積分が急速に減衰することを示します。最も一般的な例は、以下で説明するように、関数のフーリエ変換の減衰がその関数の滑らかさに依存することを示す場合です。

が -回連続的に微分可能な関数であり、 番目の導関数までのすべての導関数が無限大でゼロに減衰する場合、そのフーリエ変換は次式を満たす。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

$${\displaystyle ({\mathcal {F}}f^{(k)})(\xi )=(2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi ),}$$

ここで はの 番目の導関数です。（右側の正確な定数は、使用されるフーリエ変換の慣例に依存します。）これは、次の式で証明されます。 ${\displaystyle f^{(k)}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dy}}e^{-2\pi iy\xi }=-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi },}$$

微分をフーリエ変換して部分積分すると次の式が得られる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {F}}f')(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f'(y)\,dy\\&=\left[e^{-2\pi iy\xi }f(y)\right]_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }(-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi })f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi \int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi {\mathcal {F}}f(\xi ).\end{aligned}}}$$

これを帰納的に適用すると、一般的な の結果が得られます。同様の方法を使用して、関数の導関数の ラプラス変換を求めることができます。${\displaystyle k}$

上記の結果はフーリエ変換の減衰について教えてくれる。なぜなら、とが積分可能ならば、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{(k)}}$

$${\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq {\frac {I(f)}{1+\vert 2\pi \xi \vert ^{k}}},{\text{ where }}I(f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigl (}\vert f(y)\vert +\vert f^{(k)}(y)\vert {\Bigr )}\,dy.}$$

言い換えれば、 がこれらの条件を満たす場合、そのフーリエ変換は無限大で少なくとも1/| ξ | ^kと同じ速さで減衰します。特に、の場合、フーリエ変換は積分可能です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle k\geq 2}$

証明には、フーリエ変換の定義から直接得られる次の事実を用いる。

$${\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f(y)\vert \,dy.}$$

この節の冒頭で述べた等式に同じ考え方を適用すると、

$${\displaystyle \vert (2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f^{(k)}(y)\vert \,dy.}$$

これら 2 つの不等式を合計し、 1 + |2 π ξ ^k |で割ると、上記の不等式が得られます。

作用素論における部分積分の用途の1つは、 −∆（ここで∆はラプラス作用素）が（L ^p空間を参照）上の正の作用素であることを示すことである。が滑らかでコンパクトにサポートされている場合、部分積分を使用すると、 ${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle -\Delta f,f\rangle _{L^{2}}&=-\int _{-\infty }^{\infty }f''(x){\overline {f(x)}}\,dx\\[5pt]&=-\left[f'(x){\overline {f(x)}}\right]_{-\infty }^{\infty }+\int _{-\infty }^{\infty }f'(x){\overline {f'(x)}}\,dx\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f'(x)\vert ^{2}\,dx\geq 0.\end{aligned}}}$$

• シュトゥルム・リウヴィル理論における境界条件の決定
• 変分法におけるオイラー・ラグランジュ方程式の導出

部分積分の公式の左辺の積分における の 2 次導関数を考慮すると、右辺の積分に繰り返し適用することが示唆されます。${\displaystyle v}$$${\displaystyle \int uv''\,dx=uv'-\int u'v'\,dx=uv'-\left(u'v-\int u''v\,dx\right).}$$

この反復部分積分の概念をn次の微分に拡張すると、次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int u^{(0)}v^{(n)}\,dx&=u^{(0)}v^{(n-1)}-u^{(1)}v^{(n-2)}+u^{(2)}v^{(n-3)}-\cdots +(-1)^{n-1}u^{(n-1)}v^{(0)}+(-1)^{n}\int u^{(n)}v^{(0)}\,dx.\\[5pt]&=\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}u^{(k)}v^{(n-1-k)}+(-1)^{n}\int u^{(n)}v^{(0)}\,dx.\end{aligned}}}$$

この概念は、 の連続積分が容易に得られる場合（例えば、 ラプラス変換やフーリエ変換における単純な指数関数や正弦関数、余弦関数）、およびのn次導関数がゼロになる場合（例えば、次数 の多項式関数として）に有用である。後者の条件は、右辺積分がゼロになるため、部分積分の繰り返しを停止する。 ${\displaystyle v^{(n)}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle (n-1)}$

上記の部分積分の繰り返しの過程で、積分 ととが関連づけられる。これは、被積分関数間および被積分関数内 の導関数を任意に「シフト」するものと解釈でき、有用であることも証明されている（ロドリゲスの公式を参照）。 $${\displaystyle \int u^{(0)}v^{(n)}\,dx\quad }$$${\displaystyle \quad \int u^{(\ell )}v^{(n-\ell )}\,dx\quad }$${\displaystyle \quad \int u^{(m)}v^{(n-m)}\,dx\quad {\text{ for }}1\leq m,\ell \leq n}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$

上記の式の基本的なプロセスは表にまとめることができ、その結果得られる方法は「表形式積分」^[5]と呼ばれ、映画「スタンド・アンド・デリバー」（1988年）で取り上げられました。^[6]

例えば、積分

$${\displaystyle \int x^{3}\cos x\,dx\quad }$$そして取る${\displaystyle \quad u^{(0)}=x^{3},\quad v^{(n)}=\cos x.}$

列Aに関数とそれに続く導関数をゼロに達するまでリストし始めます。次に、列 Bのサイズが列 A のサイズと同じになるまで、関数とそれに続く積分を列Bにリストします。結果は次のようになります。 ${\displaystyle u^{(0)}=x^{3}}$${\displaystyle u^{(i)}}$${\displaystyle v^{(n)}=\cos x}$${\displaystyle v^{(n-i)}}$

列Aと列Bの行iのエントリの積とそれぞれの符号は、部分積分の繰り返しの過程でステップiの関連する積分を与えます。ステップi = 0は元の積分を与えます。ステップi > 0の完全な結果を得るには、i番目の積分を、列 A のj番目のエントリと列 B の( j + 1)番目のエントリの以前のすべての積 ( 0 ≤ j < i )に追加する必要があります(つまり、列 A の 1 番目のエントリを列 B の 2 番目のエントリに、列 A の 2 番目のエントリを列 B の 3 番目のエントリに、などと乗算します) 。このプロセスは、積分を与える積がゼロ (例ではi = 4 ) になると自然に停止します。完全な結果は次のとおりです (各項の符号が交互に変わります)。

$${\displaystyle \underbrace {(+1)(x^{3})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(3x^{2})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {(+1)(6x)(-\sin x)} _{j=2}+\underbrace {(-1)(6)(\cos x)} _{j=3}+\underbrace {\int (+1)(0)(\cos x)\,dx} _{i=4:\;\to \;C}.}$$

これにより

$${\displaystyle \underbrace {\int x^{3}\cos x\,dx} _{\text{step 0}}=x^{3}\sin x+3x^{2}\cos x-6x\sin x-6\cos x+C.}$$

繰り返し部分積分は、関数をそれぞれ微分および積分する過程で、 それらの積が元の積分関数の倍数になるときにも有用である。この場合、繰り返しはこのインデックスi で終了することもある。これは、予想どおり、指数関数や三角関数で起こり得る。例として、 ${\displaystyle u^{(i)}}$${\displaystyle v^{(n-i)}}$

$${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx.}$$

この場合、インデックスi = 2の適切な符号を持つ列Aと列Bの項の積は、元の積分関数の負の値を生成します (行i = 0とi = 2を比較してください)。

$${\displaystyle \underbrace {\int e^{x}\cos x\,dx} _{\text{step 0}}=\underbrace {(+1)(e^{x})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(e^{x})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {\int (+1)(e^{x})(-\cos x)\,dx} _{i=2}.}$$

右辺の積分は独自の積分定数を持つことができることに注目し、抽象積分を反対側に持ってくると、次のようになります。 ${\displaystyle C'}$

$${\displaystyle 2\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x+C',}$$

そして最後に:

$${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx={\frac {1}{2}}\left(e^{x}(\sin x+\cos x)\right)+C,}$$

どこ。 ${\displaystyle C={\frac {C'}{2}}}$

部分積分は、微積分学の基本定理を適切な積分則に適用することで、多変数関数に拡張することができる。多変数微積分学では、スカラー値関数uとベクトル値関数（ベクトル場）Vの組み合わせがいくつか可能である。^[7]

発散の積の法則は次のように述べます。

$${\displaystyle \nabla \cdot (u\mathbf {V} )\ =\ u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \ +\ \nabla u\cdot \mathbf {V} .}$$

が、区分的に滑らかな境界を持つ の開いた有界部分集合であるとします。 を標準体積形式 に関して積分し、発散定理を適用すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma =\partial \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle d\Omega }$