合成関数の導関数の場合
微積分学 において 、 連鎖律 は、 2つの 微分可能関数 f と gの 合成 の 導関数を f と g の導関数で 表す 公式 である 。より正確には、 が 任意の x に対してとなる関数である場合 、連鎖律は ラグランジュの記法 で、
または同等に、
h
=
f
∘
g
{\displaystyle h=f\circ g}
h
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle h(x)=f(g(x))}
h
′
(
x
)
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x).}
h
′
=
(
f
∘
g
)
′
=
(
f
′
∘
g
)
⋅
g
′
.
{\displaystyle h'=(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.}
連鎖律は ライプニッツ記法 で表現することもできます。変数 z が変数 y に依存し、変数 y 自体が変数 x に依存する場合(つまり、 y と z が 従属変数 )、 中間変数 yを介して zも x に依存します 。この場合、連鎖律は および として表現され
、
どの点で導関数を評価する必要があるかを示します。
d
z
d
x
=
d
z
d
y
⋅
d
y
d
x
,
{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}},}
d
z
d
x
|
x
=
d
z
d
y
|
y
(
x
)
⋅
d
y
d
x
|
x
,
{\displaystyle \left.{\frac {dz}{dx}}\right|_{x}=\left.{\frac {dz}{dy}}\right|_{y(x)}\cdot \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x},}
積分 において 、連鎖律に対応するのは 置換律 です。
直感的な説明 直感的に言えば、連鎖律は、 y に対する z の瞬間的な変化率と x に対する yの瞬間的な変化率を知ることで、2 つの変化率の積として x に対する z の瞬間的な変化率を計算できることを示しています 。
ジョージ・F・シモンズ 氏は次のように述べています 。「自動車の速度が自転車の2倍で、自転車の速度が歩行者の4倍だとすると、自動車は歩行者の2×4=8倍の速度で移動することになる。」 [1]
この例と連鎖律の関係は次のようになります。z 、 y 、 xをそれぞれ車、自転車、歩行者の（可変の ） 位置とします。車と自転車の相対位置の変化率は 同様に、 車と歩行者の相対位置の変化率は
d
z
d
y
=
2.
{\textstyle {\frac {dz}{dy}}=2.}
d
y
d
x
=
4.
{\textstyle {\frac {dy}{dx}}=4.}
d
z
d
x
=
d
z
d
y
⋅
d
y
d
x
=
2
⋅
4
=
8.
{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=2\cdot 4=8.}
位置の変化率は速度の比であり、速度は時間に対する位置の微分です。つまり、
または同等に、
これも連鎖律の応用です。
d
z
d
x
=
d
z
d
t
d
x
d
t
,
{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {\frac {dz}{dt}}{\frac {dx}{dt}}},}
d
z
d
t
=
d
z
d
x
⋅
d
x
d
t
,
{\displaystyle {\frac {dz}{dt}}={\frac {dz}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}},}
歴史 連鎖律は、 ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ が初めて使用したようです。彼は、平方根関数と関数の合成として の導関数を計算するためにそれを使用しました 。彼は、1676 年の回想録で初めてそれを言及しました (計算に符号エラーがありました)。 [2] 連鎖律の一般的な表記は、ライプニッツによるものです。 [3] ギヨーム・ド・ロピタルは、彼の 「小無限大の分析」 で暗黙のうちに連鎖律を使用しました。連鎖律は、 ライプニッツの発見から 100 年以上経って書かれた レオンハルト・オイラー の解析学の本にはどこにも登場しません。 [ 要出典 ] 。連鎖律の最初の「現代」バージョンは、ラグランジュの 1797 年の 「解析関数の理論」 に登場すると考えられています。また、コーシーの 1823 年の『 Résumé des Leçons données a L'École Royale Polytechnique sur Le Calcul Infinitesimal』 にも登場します。 [3]
a
+
b
z
+
c
z
2
{\displaystyle {\sqrt {a+bz+cz^{2}}}}
a
+
b
z
+
c
z
2
{\displaystyle a+bz+cz^{2}\!}
声明 連鎖律の最も単純な形は、1つの 実 変数の実数値関数に対するものである。これは、 g が 点 c で微分可能な関数（つまり導関数 g ′( c ) が存在する）であり、 fが g ( c ) で微分可能な関数である場合 、合成関数は c で微分可能であり 、導関数は [4] である、というものである。
この規則は次のように略されることもある。
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g}
(
f
∘
g
)
′
(
c
)
=
f
′
(
g
(
c
)
)
⋅
g
′
(
c
)
.
{\displaystyle (f\circ g)'(c)=f'(g(c))\cdot g'(c).}
(
f
∘
g
)
′
=
(
f
′
∘
g
)
⋅
g
′
.
{\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.}
y = f ( u ) かつ u = g ( x ) の場合、この省略形は ライプニッツ記法 で次のように表されます 。
d
y
d
x
=
d
y
d
u
⋅
d
u
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}
導関数が評価されるポイントも明示的に記述できます。
d
y
d
x
|
x
=
c
=
d
y
d
u
|
u
=
g
(
c
)
⋅
d
u
d
x
|
x
=
c
.
{\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=c}=\left.{\frac {dy}{du}}\right|_{u=g(c)}\cdot \left.{\frac {du}{dx}}\right|_{x=c}.}
同じ推論をさらに進めると、 合成関数 を持つ n 個の関数が与えられた とき、各関数が その直接の入力で微分可能であれば、連鎖律を繰り返し適用することで合成関数も微分可能になります。ここで、導関数は（ライプニッツの表記法では）次のようになります。
f
1
,
…
,
f
n
{\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\!}
f
1
∘
(
f
2
∘
⋯
(
f
n
−
1
∘
f
n
)
)
{\displaystyle f_{1}\circ (f_{2}\circ \cdots (f_{n-1}\circ f_{n}))\!}
f
i
{\displaystyle f_{i}\!}
d
f
1
d
x
=
d
f
1
d
f
2
d
f
2
d
f
3
⋯
d
f
n
d
x
.
{\displaystyle {\frac {df_{1}}{dx}}={\frac {df_{1}}{df_{2}}}{\frac {df_{2}}{df_{3}}}\cdots {\frac {df_{n}}{dx}}.}
アプリケーション
2つ以上の関数の合成 連鎖律は、2 つ以上の関数の合成にも適用できます。2 つ以上の関数の合成の導関数を取るには、 f 、 g 、 h （この順序）の合成が、 f と g ∘ h の合成であることに留意してください。連鎖律は、 f ∘ g ∘ hの導関数を計算するには、 fの導関数と g ∘ h の導関数 を計算すれば十分であると述べています 。 f の導関数は直接計算でき、 g ∘ h の導関数は連鎖律を再度適用することで計算できます。 [ 引用が必要 ]
具体的には、関数を考えます。
これは、3 つの関数の合成として分解できます。
つまり、 となります 。
y
=
e
sin
(
x
2
)
.
{\displaystyle y=e^{\sin(x^{2})}.}
y
=
f
(
u
)
=
e
u
,
u
=
g
(
v
)
=
sin
v
,
v
=
h
(
x
)
=
x
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}y&=f(u)=e^{u},\\u&=g(v)=\sin v,\\v&=h(x)=x^{2}.\end{aligned}}}
y
=
f
(
g
(
h
(
x
)
)
)
{\displaystyle y=f(g(h(x)))}
それらの派生語は次のとおりです。
d
y
d
u
=
f
′
(
u
)
=
e
u
,
d
u
d
v
=
g
′
(
v
)
=
cos
v
,
d
v
d
x
=
h
′
(
x
)
=
2
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{du}}&=f'(u)=e^{u},\\{\frac {du}{dv}}&=g'(v)=\cos v,\\{\frac {dv}{dx}}&=h'(x)=2x.\end{aligned}}}
連鎖律によれば、点 x = a におけるそれらの合成値の導関数は次のようになります。
(
f
∘
g
∘
h
)
′
(
a
)
=
f
′
(
(
g
∘
h
)
(
a
)
)
⋅
(
g
∘
h
)
′
(
a
)
=
f
′
(
(
g
∘
h
)
(
a
)
)
⋅
g
′
(
h
(
a
)
)
⋅
h
′
(
a
)
=
(
f
′
∘
g
∘
h
)
(
a
)
⋅
(
g
′
∘
h
)
(
a
)
⋅
h
′
(
a
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(f\circ g\circ h)'(a)&=f'((g\circ h)(a))\cdot (g\circ h)'(a)\\&=f'((g\circ h)(a))\cdot g'(h(a))\cdot h'(a)\\&=(f'\circ g\circ h)(a)\cdot (g'\circ h)(a)\cdot h'(a).\end{aligned}}}
ライプニッツの記法 では 、これは次のようになります。
または、簡単に言えば、
したがって、微分関数は次のようになります。
d
y
d
x
=
d
y
d
u
|
u
=
g
(
h
(
a
)
)
⋅
d
u
d
v
|
v
=
h
(
a
)
⋅
d
v
d
x
|
x
=
a
,
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\left.{\frac {dy}{du}}\right|_{u=g(h(a))}\cdot \left.{\frac {du}{dv}}\right|_{v=h(a)}\cdot \left.{\frac {dv}{dx}}\right|_{x=a},}
d
y
d
x
=
d
y
d
u
⋅
d
u
d
v
⋅
d
v
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dv}}\cdot {\frac {dv}{dx}}.}
d
y
d
x
=
e
sin
(
x
2
)
⋅
cos
(
x
2
)
⋅
2
x
.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{\sin(x^{2})}\cdot \cos(x^{2})\cdot 2x.}
この導関数を計算する別の方法は、合成関数 f ∘ g ∘ h を f ∘ g と h の合成として見ることです 。この方法で連鎖律を適用すると、次のようになります。
(
f
∘
g
∘
h
)
′
(
a
)
=
(
f
∘
g
)
′
(
h
(
a
)
)
⋅
h
′
(
a
)
=
f
′
(
g
(
h
(
a
)
)
)
⋅
g
′
(
h
(
a
)
)
⋅
h
′
(
a
)
.
{\displaystyle (f\circ g\circ h)'(a)=(f\circ g)'(h(a))\cdot h'(a)=f'(g(h(a)))\cdot g'(h(a))\cdot h'(a).}
これは上で計算したものと同じです。 ( f ∘ g ) ∘ h = f ∘ ( g ∘ h ) なので、これは予想される結果です。
場合によっては、形式 の任意の長さの合成を微分する必要があります 。この場合、
が
どこで 、 いつであるかを定義します 。すると、連鎖律は形式
、またはラグランジュ表記で次のように表されます。
f
1
∘
f
2
∘
⋯
∘
f
n
−
1
∘
f
n
{\displaystyle f_{1}\circ f_{2}\circ \cdots \circ f_{n-1}\circ f_{n}\!}
f
a
.
.
b
=
f
a
∘
f
a
+
1
∘
⋯
∘
f
b
−
1
∘
f
b
{\displaystyle f_{a\,.\,.\,b}=f_{a}\circ f_{a+1}\circ \cdots \circ f_{b-1}\circ f_{b}}
f
a
.
.
a
=
f
a
{\displaystyle f_{a\,.\,.\,a}=f_{a}}
f
a
.
.
b
(
x
)
=
x
{\displaystyle f_{a\,.\,.\,b}(x)=x}
b
<
a
{\displaystyle b<a}
D
f
1
.
.
n
=
(
D
f
1
∘
f
2
.
.
n
)
(
D
f
2
∘
f
3
.
.
n
)
⋯
(
D
f
n
−
1
∘
f
n
.
.
n
)
D
f
n
=
∏
k
=
1
n
[
D
f
k
∘
f
(
k
+
1
)
.
.
n
]
{\displaystyle Df_{1\,.\,.\,n}=(Df_{1}\circ f_{2\,.\,.\,n})(Df_{2}\circ f_{3\,.\,.\,n})\cdots (Df_{n-1}\circ f_{n\,.\,.\,n})Df_{n}=\prod _{k=1}^{n}\left[Df_{k}\circ f_{(k+1)\,.\,.\,n}\right]}
f
1
.
.
n
′
(
x
)
=
f
1
′
(
f
2
.
.
n
(
x
)
)
f
2
′
(
f
3
.
.
n
(
x
)
)
⋯
f
n
−
1
′
(
f
n
.
.
n
(
x
)
)
f
n
′
(
x
)
=
∏
k
=
1
n
f
k
′
(
f
(
k
+
1
.
.
n
)
(
x
)
)
{\displaystyle f_{1\,.\,.\,n}'(x)=f_{1}'\left(f_{2\,.\,.\,n}(x)\right)\;f_{2}'\left(f_{3\,.\,.\,n}(x)\right)\cdots f_{n-1}'\left(f_{n\,.\,.\,n}(x)\right)\;f_{n}'(x)=\prod _{k=1}^{n}f_{k}'\left(f_{(k+1\,.\,.\,n)}(x)\right)}
商の法則 連鎖律は、よく知られている微分法の規則を導くために使用できます。たとえば、 商の規則は連鎖律と積の規則 の結果です。これを確認するには、関数 f ( x )/ g ( x ) を 積 f ( x ) · 1/ g ( x ) と書きます。まず、積の規則を適用します。
d
d
x
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
=
d
d
x
(
f
(
x
)
⋅
1
g
(
x
)
)
=
f
′
(
x
)
⋅
1
g
(
x
)
+
f
(
x
)
⋅
d
d
x
(
1
g
(
x
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)&={\frac {d}{dx}}\left(f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{g(x)}}\right).\end{aligned}}}
1/ g ( x ) の導関数を計算するには、 g と逆関数、つまり x を 1/ x に送る関数と の合成であることに注意してください 。逆関数の導関数は です 。連鎖律を適用すると、最後の式は次のようになります。
これは商則の通常の式です。
−
1
/
x
2
{\displaystyle -1/x^{2}\!}
f
′
(
x
)
⋅
1
g
(
x
)
+
f
(
x
)
⋅
(
−
1
g
(
x
)
2
⋅
g
′
(
x
)
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
g
(
x
)
2
,
{\displaystyle f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left(-{\frac {1}{g(x)^{2}}}\cdot g'(x)\right)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}},}
逆関数の導関数 y = g ( x )に 逆関数が あると します 。その逆関数を fと呼び、 x = f ( y ) とします。 g の導関数による f の導関数の式があります 。これを確認するには、 f と g が 次の式を満たすこと
に注意してください。
f
(
g
(
x
)
)
=
x
.
{\displaystyle f(g(x))=x.}
そして、関数 と x は等しいので、それらの導関数も等しくなければなりません。 x の導関数 は値が 1 の定数関数であり、 の導関数は 連鎖律によって決定されます。したがって、次の式が成り立ちます。
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f(g(x))}
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f(g(x))}
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
=
1.
{\displaystyle f'(g(x))g'(x)=1.}
f' を独立変数 y の関数として 表すには 、 x が現れる場所にそれを代入します。すると f' を解くことができます 。
f
(
y
)
{\displaystyle f(y)}
f
′
(
g
(
f
(
y
)
)
)
g
′
(
f
(
y
)
)
=
1
f
′
(
y
)
g
′
(
f
(
y
)
)
=
1
f
′
(
y
)
=
1
g
′
(
f
(
y
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(g(f(y)))g'(f(y))&=1\\f'(y)g'(f(y))&=1\\f'(y)={\frac {1}{g'(f(y))}}.\end{aligned}}}
例えば、関数 g ( x ) = e x を考えてみましょう。この関数には逆関数 f ( y ) = ln y があります。g ′ ( x ) = e x なので、上記の式は
d
d
y
ln
y
=
1
e
ln
y
=
1
y
.
{\displaystyle {\frac {d}{dy}}\ln y={\frac {1}{e^{\ln y}}}={\frac {1}{y}}.}
この式は、 g が微分可能で、その逆関数 f も微分可能な場合は常に成立します。これらの条件の 1 つが成立しない場合、この式は成立しません。たとえば、 g ( x ) = x 3 を考えます。その逆関数は f ( y ) = y 1/3 であり、これは 0 で微分可能ではありません。上記の式を使用して0 での fの導関数を計算しようとすると、 1/ g ′( f (0)) を評価する必要があります 。 f (0) = 0 かつ g ′(0) = 0であるため、未定義の 1/0 を評価する必要があります。したがって、この場合、式は成立しません。 f は 0 で微分可能ではないため、これは驚くことではありません 。
バックプロパゲーション 連鎖律は バックプロパゲーション アルゴリズムの基礎を形成し、 ディープラーニング （ 人工知能 ）における ニューラルネットワーク の 勾配降下法 で使用されます。 [5]
高次の派生語 ファア・ディ・ブルーノの公式は 連鎖律を高次の導関数に一般化したものです。y = f ( u ) かつ u = g ( x ) と 仮定 する と 、 最初 の いくつかの導関数は次のようになります。
d
y
d
x
=
d
y
d
u
d
u
d
x
d
2
y
d
x
2
=
d
2
y
d
u
2
(
d
u
d
x
)
2
+
d
y
d
u
d
2
u
d
x
2
d
3
y
d
x
3
=
d
3
y
d
u
3
(
d
u
d
x
)
3
+
3
d
2
y
d
u
2
d
u
d
x
d
2
u
d
x
2
+
d
y
d
u
d
3
u
d
x
3
d
4
y
d
x
4
=
d
4
y
d
u
4
(
d
u
d
x
)
4
+
6
d
3
y
d
u
3
(
d
u
d
x
)
2
d
2
u
d
x
2
+
d
2
y
d
u
2
(
4
d
u
d
x
d
3
u
d
x
3
+
3
(
d
2
u
d
x
2
)
2
)
+
d
y
d
u
d
4
u
d
x
4
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}\\{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}&={\frac {d^{2}y}{du^{2}}}\left({\frac {du}{dx}}\right)^{2}+{\frac {dy}{du}}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\\{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}&={\frac {d^{3}y}{du^{3}}}\left({\frac {du}{dx}}\right)^{3}+3\,{\frac {d^{2}y}{du^{2}}}{\frac {du}{dx}}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {dy}{du}}{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}\\{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}&={\frac {d^{4}y}{du^{4}}}\left({\frac {du}{dx}}\right)^{4}+6\,{\frac {d^{3}y}{du^{3}}}\left({\frac {du}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{du^{2}}}\left(4\,{\frac {du}{dx}}{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}+3\,\left({\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\right)^{2}\right)+{\frac {dy}{du}}{\frac {d^{4}u}{dx^{4}}}.\end{aligned}}}
証明
最初の証明 連鎖律の証明の一つは、合成関数 f ∘ g の導関数を定義することから始まります。ここで、 x が a に 近づく につれて f ∘ g の 差商 の 極限 をとります 。
(
f
∘
g
)
′
(
a
)
=
lim
x
→
a
f
(
g
(
x
)
)
−
f
(
g
(
a
)
)
x
−
a
.
{\displaystyle (f\circ g)'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{x-a}}.}
今のところ、 は の 近くの 任意の値に対して 等しくないと仮定します 。すると、前の式は 2 つの因数の積に等しくなります。
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)\!}
g
(
a
)
{\displaystyle g(a)}
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
lim
x
→
a
f
(
g
(
x
)
)
−
f
(
g
(
a
)
)
g
(
x
)
−
g
(
a
)
⋅
g
(
x
)
−
g
(
a
)
x
−
a
.
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}.}
がa 付近で振動する 場合、 a にどれだけ近づいても 、 g ( x ) = g ( a ) となるさらに近い x が常に存在する可能性があります。たとえば、 x = 0 の場合には g ( x ) = 0 で、それ以外の 場合には g ( x ) = x 2 sin(1/ x ) で定義される 連続関数 gの場合、 a = 0 付近でこの現象が発生します。このような場合、 ゼロ除算が 含まれるため、上記の式は定義されません。この問題を回避するには、次のような
関数を導入します。 f ∘ g
の差商が常に次の値に等しいことを示します 。
g
{\displaystyle g}
Q
{\displaystyle Q}
Q
(
y
)
=
{
f
(
y
)
−
f
(
g
(
a
)
)
y
−
g
(
a
)
,
y
≠
g
(
a
)
,
f
′
(
g
(
a
)
)
,
y
=
g
(
a
)
.
{\displaystyle Q(y)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {f(y)-f(g(a))}{y-g(a)}},&y\neq g(a),\\f'(g(a)),&y=g(a).\end{cases}}}
Q
(
g
(
x
)
)
⋅
g
(
x
)
−
g
(
a
)
x
−
a
.
{\displaystyle Q(g(x))\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}.}
g ( x ) が g ( a ) と等しくない 場合はいつでも、 g ( x ) − g ( a ) の因数が 打ち消されるため、これは明らかです。 g ( x )が g ( a ) と等しい場合、 f ( g ( x )) が f ( g ( a )) と等しい ため、 f ∘ g の差商はゼロになり 、上記の積は f ′( g ( a )) のゼロ倍に等しいためゼロになります。 したがって、上記の積は常に差商に等しく、 a における f ∘ gの導関数が存在することを示し、その値を決定するには、上記の積の x が a に近づくときの極限 が存在することを示してその値を決定すれば
よいだけです。
これを行うには、因数の極限が存在する場合、積の極限が存在することを思い出してください。この場合、これら 2 つの因数の積の極限は、因数の極限の積に等しくなります。2 つの因数は、 Q ( g ( x )) と ( g ( x ) − g ( a )) / ( x − a )です。後者は、 a における g の差分商であり 、仮定により gは a で微分可能であるため、 x が a に近づく ときの極限が 存在し、 g ′( a ) に等しくなります。
Q ( g ( x )) に関しては 、 fがどこにあっても Q が定義されていることに注意してください 。さらに、 仮定により f は g ( a ) で微分可能であるため 、導関数の定義により Q は g ( a ) で連続です。関数 gは a で微分可能であるため a で連続であり 、したがって Q ∘ g はa で連続です。したがって、 x が a に近づくときの極限が 存在し、 Q ( g ( a )) に等しくなり 、これは f ′( g ( a )) です。
これは、両方の因子の極限が存在し、それぞれ f ′( g ( a )) と g ′( a )に等しいことを示しています。したがって、 a における f ∘ g の導関数が存在し、 f ′( g ( a )) g ′( a ) に等しくなります 。
第二証明 連鎖律を証明する別の方法は、導関数によって決定される線形近似の誤差を測定することです。この証明の利点は、複数の変数に一般化できることです。これは、ある点での微分可能性の次の同等の定義に依存しています。関数 gが a で微分可能 であるとは、実数 g ′( a ) と、 h が 0 に近づくにつれて 0 に近づく 関数 ε ( h ) が存在し、さらに、
ここで左辺は a と a + h における g
の値の真の差を表し 、右辺は導関数と誤差項によって決定される近似を表します。
g
(
a
+
h
)
−
g
(
a
)
=
g
′
(
a
)
h
+
ε
(
h
)
h
.
{\displaystyle g(a+h)-g(a)=g'(a)h+\varepsilon (h)h.}
連鎖律の状況では、 g が a で微分可能であると仮定される ため、このような関数 ε が 存在します。また、仮定により、 g ( a )における f にも同様の関数が存在します。この関数 η と呼ぶと、次のようになります
。
上記の定義 では、 k がゼロに近づくにつれて η ( k ) がゼロに近づくと仮定していますが、 η (0) には 制約が課せられません。 η (0) = 0 と設定すると 、 η は 0 で連続になります。
f
(
g
(
a
)
+
k
)
−
f
(
g
(
a
)
)
=
f
′
(
g
(
a
)
)
k
+
η
(
k
)
k
.
{\displaystyle f(g(a)+k)-f(g(a))=f'(g(a))k+\eta (k)k.}
定理を証明するには、 h が 0 に近づくときの 差 f ( g ( a + h )) − f ( g ( a )) を調べる必要があります。最初のステップは、 a における g の微分可能性の定義を使用して、 g ( a + h ) を代入することです。
次のステップは、 g ( a )における f の微分可能性の定義を使用することです。これには、ある kに対して f ( g ( a ) + k ) という形式の項が必要です 。上記の式では、正しい k は h によって異なります 。 k h = g ′( a ) h + ε ( h ) h と設定すると、右辺は f ( g ( a ) + k h ) − f ( g ( a )) になります。導関数の定義を適用すると、
次のようになります。 h が 0 に近づく
ときのこの式の挙動を調べるには 、 k h を 展開します。項をまとめると、右辺は次のようになります。
h が0 に近づくにつれて ε ( h ) と η ( k h ) は0 に近づく
ため 、括弧で囲まれた最初の 2 つの項は、 h が 0 に近づくにつれて 0 に近づきます。最初の証明と同じ極限の積の定理を適用すると、括弧で囲まれた 3 番目の項も 0 に近づきます。上記の式は差 f ( g ( a + h )) − f ( g ( a )) に等しいため、導関数の定義により、 f ∘ g はa で微分可能であり 、その導関数は f ′( g ( a )) g ′( a ) です。
f
(
g
(
a
+
h
)
)
−
f
(
g
(
a
)
)
=
f
(
g
(
a
)
+
g
′
(
a
)
h
+
ε
(
h
)
h
)
−
f
(
g
(
a
)
)
.
{\displaystyle f(g(a+h))-f(g(a))=f(g(a)+g'(a)h+\varepsilon (h)h)-f(g(a)).}
f
(
g
(
a
)
+
k
h
)
−
f
(
g
(
a
)
)
=
f
′
(
g
(
a
)
)
k
h
+
η
(
k
h
)
k
h
.
{\displaystyle f(g(a)+k_{h})-f(g(a))=f'(g(a))k_{h}+\eta (k_{h})k_{h}.}
f
′
(
g
(
a
)
)
g
′
(
a
)
h
+
[
f
′
(
g
(
a
)
)
ε
(
h
)
+
η
(
k
h
)
g
′
(
a
)
+
η
(
k
h
)
ε
(
h
)
]
h
.
{\displaystyle f'(g(a))g'(a)h+[f'(g(a))\varepsilon (h)+\eta (k_{h})g'(a)+\eta (k_{h})\varepsilon (h)]h.}
最初の証明における Q の役割は、この証明では η によって果たされます。これらは次の式で関連しています。g
( a ) で Q を
定義する必要があることは、ゼロで η を 定義する必要があることに似ています 。
Q
(
y
)
=
f
′
(
g
(
a
)
)
+
η
(
y
−
g
(
a
)
)
.
{\displaystyle Q(y)=f'(g(a))+\eta (y-g(a)).}
第三の証明 コンスタンティン・カラテオドリ による関数の微分可能性の別の定義は連鎖律のエレガントな証明を与えるために使用することができる。 [6]
この定義によれば、関数 f が 点 a で微分可能であるのは、 a で連続し、 f ( x ) − f ( a ) = q ( x )( x − a )を満たす関数 q が存在する場合のみで ある。そのような関数は最大で 1 つ存在し、 f が a で微分可能であれば 、 f ′( a ) = q ( a ) である。
連鎖律の仮定と、微分可能関数と連続関数の合成が連続であるという事実から、 g ( a ) で連続する関数 q とa で連続 する関数 rが存在し、 かつ 、かつとなることが
わかる。
したがって
、
しかし h ( x ) = q ( g ( x )) r ( x )
で与えられる関数は a で連続であり、この a に対して、となる
。同様のアプローチは、多変数の連続微分可能（ベクトル）関数にも適用できる。この因数分解法では、導関数が リプシッツ連続 、 ホルダー連続 などであることが求められる場合に、より強い微分可能性形式への統一的なアプローチも可能になる。微分自体は、適切な関数のクラスに一般化された 多項式剰余定理 （小 ベズー 定理、または因数定理）と見なすことができる。 [ 要出典 ]
f
(
g
(
x
)
)
−
f
(
g
(
a
)
)
=
q
(
g
(
x
)
)
(
g
(
x
)
−
g
(
a
)
)
{\displaystyle f(g(x))-f(g(a))=q(g(x))(g(x)-g(a))}
g
(
x
)
−
g
(
a
)
=
r
(
x
)
(
x
−
a
)
.
{\displaystyle g(x)-g(a)=r(x)(x-a).}
f
(
g
(
x
)
)
−
f
(
g
(
a
)
)
=
q
(
g
(
x
)
)
r
(
x
)
(
x
−
a
)
,
{\displaystyle f(g(x))-f(g(a))=q(g(x))r(x)(x-a),}
(
f
(
g
(
a
)
)
)
′
=
q
(
g
(
a
)
)
r
(
a
)
=
f
′
(
g
(
a
)
)
g
′
(
a
)
.
{\displaystyle (f(g(a)))'=q(g(a))r(a)=f'(g(a))g'(a).}
無限小による証明 かつ の場合 、 無限小を選択すると、 対応する を計算し 、対応する が計算されます 。したがって、 となり
、 標準部分を
適用すると、
連鎖律が
得られます
。
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
x
=
g
(
t
)
{\displaystyle x=g(t)}
Δ
t
≠
0
{\displaystyle \Delta t\not =0}
Δ
x
=
g
(
t
+
Δ
t
)
−
g
(
t
)
{\displaystyle \Delta x=g(t+\Delta t)-g(t)}
Δ
y
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
{\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}
Δ
y
Δ
t
=
Δ
y
Δ
x
Δ
x
Δ
t
{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}}
d
y
d
t
=
d
y
d
x
d
x
d
t
{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}{\frac {dx}{dt}}}
多変数の場合 連鎖律を 多変数関数 （ など）に完全に一般化するのはかなり技術的である。しかし、 、 各 に対して である形の関数の場合は、次のよう
に 書く方が簡単である
。
f
:
R
m
→
R
n
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}
f
(
g
1
(
x
)
,
…
,
g
k
(
x
)
)
,
{\displaystyle f(g_{1}(x),\dots ,g_{k}(x)),}
f
:
R
k
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }
g
i
:
R
→
R
{\displaystyle g_{i}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
i
=
1
,
2
,
…
,
k
.
{\displaystyle i=1,2,\dots ,k.}
このケースは単一変数の関数の研究では頻繁に発生するため、個別に説明する価値があります。
とし 、 各 について とします
。関数の合成に対する連鎖律を書くには、関数
f の k 番目 の引数に関する 偏微分が
必要です 。偏微分の通常の表記には、関数の引数の名前が含まれます。これらの引数は上記の式では名前が付けられていないため、 D 表記 を使用し、
fの i 番目の引数に関する
偏微分を で表し 、
この微分の z
における値で表す方が簡単で明確です 。
f
:
R
k
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }
g
i
:
R
→
R
{\displaystyle g_{i}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
i
=
1
,
2
,
…
,
k
.
{\displaystyle i=1,2,\dots ,k.}
x
↦
f
(
g
1
(
x
)
,
…
,
g
k
(
x
)
)
,
{\displaystyle x\mapsto f(g_{1}(x),\dots ,g_{k}(x)),}
D
i
f
{\displaystyle D_{i}f}
D
i
f
(
z
)
{\displaystyle D_{i}f(z)}
この表記法では、連鎖律は
d
d
x
f
(
g
1
(
x
)
,
…
,
g
k
(
x
)
)
=
∑
i
=
1
k
(
d
d
x
g
i
(
x
)
)
D
i
f
(
g
1
(
x
)
,
…
,
g
k
(
x
)
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(g_{1}(x),\dots ,g_{k}(x))=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx}}{g_{i}}(x)\right)D_{i}f(g_{1}(x),\dots ,g_{k}(x)).}
例: 算術演算 関数 f が加算である場合、つまり、
である場合、かつ である 。したがって、連鎖律は次式を与える。
f
(
u
,
v
)
=
u
+
v
,
{\displaystyle f(u,v)=u+v,}
D
1
f
=
∂
f
∂
u
=
1
{\textstyle D_{1}f={\frac {\partial f}{\partial u}}=1}
D
2
f
=
∂
f
∂
v
=
1
{\textstyle D_{2}f={\frac {\partial f}{\partial v}}=1}
d
d
x
(
g
(
x
)
+
h
(
x
)
)
=
(
d
d
x
g
(
x
)
)
D
1
f
+
(
d
d
x
h
(
x
)
)
D
2
f
=
d
d
x
g
(
x
)
+
d
d
x
h
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(g(x)+h(x))=\left({\frac {d}{dx}}g(x)\right)D_{1}f+\left({\frac {d}{dx}}h(x)\right)D_{2}f={\frac {d}{dx}}g(x)+{\frac {d}{dx}}h(x).}
乗算の場合、
部分項は およびです 。したがって、
f
(
u
,
v
)
=
u
v
,
{\displaystyle f(u,v)=uv,}
D
1
f
=
v
{\displaystyle D_{1}f=v}
D
2
f
=
u
{\displaystyle D_{2}f=u}
d
d
x
(
g
(
x
)
h
(
x
)
)
=
h
(
x
)
d
d
x
g
(
x
)
+
g
(
x
)
d
d
x
h
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(g(x)h(x))=h(x){\frac {d}{dx}}g(x)+g(x){\frac {d}{dx}}h(x).}
累乗の場合は
少し複雑で、
次のように
なります。
f
(
u
,
v
)
=
u
v
{\displaystyle f(u,v)=u^{v}}
D
1
f
=
v
u
v
−
1
,
{\displaystyle D_{1}f=vu^{v-1},}
u
v
=
e
v
ln
u
,
{\displaystyle u^{v}=e^{v\ln u},}
D
2
f
=
u
v
ln
u
.
{\displaystyle D_{2}f=u^{v}\ln u.}
d
d
x
(
g
(
x
)
h
(
x
)
)
=
h
(
x
)
g
(
x
)
h
(
x
)
−
1
d
d
x
g
(
x
)
+
g
(
x
)
h
(
x
)
ln
g
(
x
)
d
d
x
h
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)g(x)^{h(x)-1}{\frac {d}{dx}}g(x)+g(x)^{h(x)}\ln g(x)\,{\frac {d}{dx}}h(x).}
一般的なケースで連鎖律を記述する最も簡単な方法は、 全微分を使用することです。これは、すべての 方向微分を 1 つの式で 表す線型変換です。微分可能関数 f : R m → R k と g : R n → R m 、および R n 内の 点 a を考えます。D a g が a における g の全微分を表し 、 D g ( a ) fが g ( a ) における f の全微分を表すものとします 。これら 2 つの微分は、それぞれ線型変換 R n → R m と R m → R k であるため、合成することができます。全微分に関する連鎖律は、それらの合成が a における f ∘ g の全微分:
または略して となること
です。
高次元の連鎖律は、上記の 2 番目の証明と同様の手法を使用して証明できます。 [7]
D
a
(
f
∘
g
)
=
D
g
(
a
)
f
∘
D
a
g
,
{\displaystyle D_{\mathbf {a} }(f\circ g)=D_{g(\mathbf {a} )}f\circ D_{\mathbf {a} }g,}
D
(
f
∘
g
)
=
D
f
∘
D
g
.
{\displaystyle D(f\circ g)=Df\circ Dg.}
全微分は線形変換なので、式に現れる関数は行列として書き直すことができる。全微分に対応する行列は ヤコビ行列 と呼ばれ、2つの微分の合成はそれらのヤコビ行列の積に対応する。この観点から、連鎖律は次のように表される。
または、簡単に言えば、
J
f
∘
g
(
a
)
=
J
f
(
g
(
a
)
)
J
g
(
a
)
,
{\displaystyle J_{f\circ g}(\mathbf {a} )=J_{f}(g(\mathbf {a} ))J_{g}(\mathbf {a} ),}
J
f
∘
g
=
(
J
f
∘
g
)
J
g
.
{\displaystyle J_{f\circ g}=(J_{f}\circ g)J_{g}.}
つまり、合成関数のヤコビアンは、合成関数のヤコビアンの積（適切なポイントで評価されます）です。
高次元連鎖律は、1 次元連鎖律を一般化したものです。 k 、 m 、 n が 1 で、 f : R → R かつ g : R → Rとなる場合、 f と g のヤコビ行列は 1 × 1 になります 。具体的には、次のようになります。
f ∘ g
のヤコビアンは これらの 1 × 1 行列の積なので、 1 次元連鎖律から予想されるように、 f ′( g ( a ))⋅ g ′( a )となります。線形変換の言語では、 D a ( g )はベクトルを g ′( a ) 倍する関数であり 、 D g ( a ) ( f ) はベクトルを f ′( g ( a )) 倍する関数です 。連鎖律によれば、これら2つの線形変換の合成は線形変換 D a ( f ∘ g )であり、したがってそれはベクトルを f ′( g ( a ))⋅ g ′( a ) でスケーリングする関数です 。
J
g
(
a
)
=
(
g
′
(
a
)
)
,
J
f
(
g
(
a
)
)
=
(
f
′
(
g
(
a
)
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}J_{g}(a)&={\begin{pmatrix}g'(a)\end{pmatrix}},\\J_{f}(g(a))&={\begin{pmatrix}f'(g(a))\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
連鎖律の別の書き方は、 f と g がその成分に関して y = f ( u ) = ( f 1 ( u ) , …, f k ( u )) および u = g ( x ) = ( g 1 ( x ) , …, g m ( x )) と表現されるときに使用されます。この場合、ヤコビ行列の上記の規則は通常次のように記述されます。
∂
(
y
1
,
…
,
y
k
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∂
(
y
1
,
…
,
y
k
)
∂
(
u
1
,
…
,
u
m
)
∂
(
u
1
,
…
,
u
m
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
n
)
.
{\displaystyle {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}={\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial (u_{1},\ldots ,u_{m})}}{\frac {\partial (u_{1},\ldots ,u_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}.}
全微分に関する連鎖律は、偏微分に関する連鎖律を意味します。全微分が存在する場合、 i番目の座標方向の偏微分は、ヤコビ行列に i 番目の基底ベクトルを掛けることによって求められることを思い出し てください。これを上の式に適用すると、次のようになります。
ヤコビ行列の要素は偏微分であるため、上の式を簡略化して次の式を得ることができます。
より概念的に言えば、この規則は、 x i 方向
の変化によって g 1 から g m のすべてが変化する可能性があり 、これらの変化のいずれかが f に 影響を及ぼす可能性があるという事実を表しています。
∂
(
y
1
,
…
,
y
k
)
∂
x
i
=
∂
(
y
1
,
…
,
y
k
)
∂
(
u
1
,
…
,
u
m
)
∂
(
u
1
,
…
,
u
m
)
∂
x
i
.
{\displaystyle {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial (u_{1},\ldots ,u_{m})}}{\frac {\partial (u_{1},\ldots ,u_{m})}{\partial x_{i}}}.}
∂
(
y
1
,
…
,
y
k
)
∂
x
i
=
∑
ℓ
=
1
m
∂
(
y
1
,
…
,
y
k
)
∂
u
ℓ
∂
u
ℓ
∂
x
i
.
{\displaystyle {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial x_{i}}}=\sum _{\ell =1}^{m}{\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial u_{\ell }}}{\frac {\partial u_{\ell }}{\partial x_{i}}}.}
k = 1 の特殊なケースでは 、 f は 実数値関数となり、この式はさらに簡略化されます。
これは ドット積
として書き直すことができます 。 u = ( g 1 , …, g m ) であることを思い出すと、偏微分 ∂ u / ∂ x i もベクトルであり、連鎖律によれば次のようになります。
∂
y
∂
x
i
=
∑
ℓ
=
1
m
∂
y
∂
u
ℓ
∂
u
ℓ
∂
x
i
.
{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}=\sum _{\ell =1}^{m}{\frac {\partial y}{\partial u_{\ell }}}{\frac {\partial u_{\ell }}{\partial x_{i}}}.}
∂
y
∂
x
i
=
∇
y
⋅
∂
u
∂
x
i
.
{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}=\nabla y\cdot {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x_{i}}}.}
例 u ( x , y ) = x 2 + 2 y （ x ( r , t ) = r sin( t ) 、 y ( r , t ) = sin 2 ( t ) ） が与えられたとき、連鎖律を使用して ∂ u / ∂ r と ∂ u / ∂ t の値を決定します 。 [ 引用が必要 ]
および
∂
u
∂
r
=
∂
u
∂
x
∂
x
∂
r
+
∂
u
∂
y
∂
y
∂
r
=
(
2
x
)
(
sin
(
t
)
)
+
(
2
)
(
0
)
=
2
r
sin
2
(
t
)
,
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}}=(2x)(\sin(t))+(2)(0)=2r\sin ^{2}(t),}
∂
u
∂
t
=
∂
u
∂
x
∂
x
∂
t
+
∂
u
∂
y
∂
y
∂
t
=
(
2
x
)
(
r
cos
(
t
)
)
+
(
2
)
(
2
sin
(
t
)
cos
(
t
)
)
=
(
2
r
sin
(
t
)
)
(
r
cos
(
t
)
)
+
4
sin
(
t
)
cos
(
t
)
=
2
(
r
2
+
2
)
sin
(
t
)
cos
(
t
)
=
(
r
2
+
2
)
sin
(
2
t
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial t}}&={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial t}}\\&=(2x)(r\cos(t))+(2)(2\sin(t)\cos(t))\\&=(2r\sin(t))(r\cos(t))+4\sin(t)\cos(t)\\&=2(r^{2}+2)\sin(t)\cos(t)\\&=(r^{2}+2)\sin(2t).\end{aligned}}}
多変数関数の高次導関数 ファア・ディ・ブルーノの単変数関数の高階微分公式は、多変数の場合にも一般化されます。y = f ( u ) が上記のように u = g ( x ) の関数である場合、 f ∘ g の 2 次微分は次の よう になります。
∂
2
y
∂
x
i
∂
x
j
=
∑
k
(
∂
y
∂
u
k
∂
2
u
k
∂
x
i
∂
x
j
)
+
∑
k
,
ℓ
(
∂
2
y
∂
u
k
∂
u
ℓ
∂
u
k
∂
x
i
∂
u
ℓ
∂
x
j
)
.
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=\sum _{k}\left({\frac {\partial y}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial ^{2}u_{k}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)+\sum _{k,\ell }\left({\frac {\partial ^{2}y}{\partial u_{k}\partial u_{\ell }}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{\ell }}{\partial x_{j}}}\right).}
さらなる一般化 微積分のすべての拡張には連鎖律があります。これらのほとんどでは、式の意味は大きく異なるかもしれませんが、式は同じままです。
一般化の 1 つは多様体 へのものです 。この状況では、連鎖律は f ∘ gの導関数が fの導関数と g の導関数 の合成であるという事実を表します 。この定理は、上記の高次元連鎖律から直接導かれる結果であり、まったく同じ式を持ちます。
連鎖律は バナッハ空間 の フレシェ微分 にも有効である。前と同じ式が成り立つ。 [8]この場合と前の場合を同時に バナッハ多様体 へ一般化することができる 。
微分代数 では 、導関数は ケーラー微分加 群の射として解釈されます。 可換環 f : R → S の 環準同型は、ケーラー微分 Df : Ω R → Ω S の射を決定します。これは、 f ( r ) の外微分 d ( f ( r )) に 元 dr を 送信します。式 D ( f ∘ g ) = Df ∘ Dg は、この文脈でも成り立ちます。
これらの例に共通する特徴は、導関数が 関数 の一部であるというアイデアを表現していることです。関数とは、空間とそれらの間の関数に対する操作です。関数は、各空間に新しい空間を関連付け、2 つの空間間の各関数に、対応する新しい空間間の新しい関数を関連付けます。上記の各ケースで、関数は各空間をその 接束 に送り、各関数をその導関数に送ります。たとえば、多様体の場合、導関数は C r 多様体をC r −1 多様体 (その接束) に送り、 C r 関数をその全導関数に送ります。これが関数であるための要件が 1 つあります。つまり、合成物の導関数は、導関数の合成物でなければならないということです。これは、式 D ( f ∘ g ) = Df ∘ Dg とまったく同じです。
確率計算 にも連鎖律がある 。その 1 つである 伊藤の補題は 、伊藤過程 (より一般的には 半マルチンゲール ) dX t と 2 回微分可能な関数 f の合成を表現する。伊藤の補題では、合成関数の導関数は dX t とf の導関数だけでなく、 f の 2 次導関数にも依存する 。2 次導関数への依存は、確率過程の非ゼロの 二次変化 の結果であり、大まかに言えば、この過程は非常に大まかに上下に動く可能性があることを意味する。この連鎖律の変形は、合成される 2 つの関数が異なるタイプであるため、関数の例ではない。
参照
参考文献
^ George F. Simmons 、 「微積分と解析幾何学」 （1985年）、93ページ。 ^チャイルド、JM (1917) 。 「ライブニツの微分計算の発見に関する原稿。第2部（続）」。 ザ ・モニスト 。27 （3）：411–454。ISSN 0026-9662。JSTOR 27900650 。 ^ ab Rodríguez, Omar Hernández; López Fernández, Jorge M. (2010). 「連鎖律の教授法に関する記号論的考察」 The Mathematics Enthusiast . 7 (2): 321–332. doi : 10.54870/1551-3440.1191 . S2CID 29739148 . 2019-08-04 閲覧。 ^ アポストル、トム (1974)。 数学的解析 (第 2 版)。アディソン ウェスレー。定理 5.5。 ^ Goodfellow, Ian ; Bengio, Yoshua ; Courville, Aaron (2016)、 ディープラーニング 、MIT 、pp=197–217。 ^ クーン、スティーブン (1991) 。 「カラテオドリー流の微分法」 アメリカ数学月刊誌 。98 (1): 40–44。doi :10.2307 / 2324035。JSTOR 2324035。 ^ スピヴァック、マイケル (1965)。 『多様体上の微積分 』ボストン: アディソン・ウェスレー。pp. 19–20。ISBN 0-8053-9021-9 。 ^ Cheney, Ward (2001). 「連鎖律と平均値定理」. Analysis for Applied Mathematics . ニューヨーク: Springer. pp. 121–125. ISBN 0-387-95279-9 。
外部リンク
![{\displaystyle Df_{1\,.\,.\,n}=(Df_{1}\circ f_{2\,.\,.\,n})(Df_{2}\circ f_{3\,.\,.\,n})\cdots (Df_{n-1}\circ f_{n\,.\,.\,n})Df_{n}=\prod _{k=1}^{n}\left[Df_{k}\circ f_{(k+1)\,.\,.\,n}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978b730dfe04acc4cb30fe345c80e532dc08d2d5)
![{\displaystyle f'(g(a))g'(a)h+[f'(g(a))\varepsilon (h)+\eta (k_{h})g'(a)+\eta (k_{h})\varepsilon (h)]h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5298f1d5c0274ae4d053106e9649c4f25503f9c8)
