積の導関数の式
積の法則の証明の幾何学的図解 微積分学 において 、 積の法則 （ ライプニッツの法則 [1] または ライプニッツの積の法則）は、2つ以上の 関数 の 積の導関数を 求めるために用いられる公式である。2つの関数の場合、 ラグランジュの記法 では次のように表される か、 ライプニッツの記法 では次のように 表される。
(
u
⋅
v
)
′
=
u
′
⋅
v
+
u
⋅
v
′
{\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'}
d
d
x
(
u
⋅
v
)
=
d
u
d
x
⋅
v
+
u
⋅
d
v
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)={\frac {du}{dx}}\cdot v+u\cdot {\frac {dv}{dx}}.}
この規則は、3 つ以上の関数の積、積の高次導関数の規則、およびその他のコンテキストに拡張または一般化できます。
発見 この規則の発見者はゴットフリート・ライプニッツ とされ 、彼はこれを 「無限小」 （現代の 微分法 の前身 ）を使って証明した。 [2] （しかし、ライプニッツの論文の翻訳者である JM チャイルド [3] は、これは アイザック・バロー によるものだと主張している。）ライプニッツの議論 [4] は以下の通りである。 u と v を 関数と する。すると、 d(uv) は2 つの連続する uv の差と同じになる。これらのうちの 1 つを uv 、もう 1 つを u+du × v+dv とすると 、次のようになる。
d
(
u
⋅
v
)
=
(
u
+
d
u
)
⋅
(
v
+
d
v
)
−
u
⋅
v
=
u
⋅
d
v
+
v
⋅
d
u
+
d
u
⋅
d
v
.
{\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}
du · dv の 項は 「無視できる」（ du と dv に比べて）ので、ライプニッツは、これは確かに積の法則の微分形式であると結論付けました
。微分 dx
で割ると 、次の式が得られます。
これは ラグランジュの記法 で次のよう
にも表すことができます。
d
(
u
⋅
v
)
=
v
⋅
d
u
+
u
⋅
d
v
{\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv}
d
d
x
(
u
⋅
v
)
=
v
⋅
d
u
d
x
+
u
⋅
d
v
d
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}}
(
u
⋅
v
)
′
=
v
⋅
u
′
+
u
⋅
v
′
.
{\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.}
例 積の法則を使って微分したいとします。すると 、導関数が得られます ( の導関数は であり、 正弦 関数の導関数は 余弦関数であるため)。
f
(
x
)
=
x
2
sin
(
x
)
.
{\displaystyle f(x)=x^{2}{\text{sin}}(x).}
f
′
(
x
)
=
2
x
⋅
sin
(
x
)
+
x
2
cos
(
x
)
{\displaystyle f'(x)=2x\cdot {\text{sin}}(x)+x^{2}{\text{cos}}(x)}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
2
x
,
{\displaystyle 2x,}
積の法則の特殊なケースの 1 つに 定数倍則 があります。これは、 c が数で が 微分可能な関数である場合、 も微分可能であり、その導関数は であると 述べています。任意の定数の導関数は 0 なので、これは積の法則から導かれます。これを導関数の和の法則と組み合わせると、微分が 線形で あることがわかります。
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
c
⋅
f
(
x
)
{\displaystyle c\cdot f(x)}
(
c
f
)
′
(
x
)
=
c
⋅
f
′
(
x
)
.
{\displaystyle (cf)'(x)=c\cdot f'(x).}
部分積分 の規則は 積の 規則から派生しており、商の規則（の弱いバージョン）も同様です。（商が微分可能であることを証明するのではなく、 微分可能である 場合の 導関数が何であるかのみを示すという点で「弱い」バージョンです。）
証明
微分の極限定義 h ( x ) = f ( x ) g ( x ) とし 、 f と g は それぞれ xで微分可能であるとします。 hが x で微分可能であり 、その導関数 h ′ ( x )が f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) で与えられること を証明します 。これを行うには、 (ゼロなので値を変更しません) を分子に追加して因数分解できるようにし、次に極限の特性を使用します。
という事実は、 微分可能関数が連続であるという事実から続きます。
f
(
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
{\displaystyle f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)}
h
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
+
f
(
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
[
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
]
⋅
g
(
x
+
Δ
x
)
+
f
(
x
)
⋅
[
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
]
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
⋅
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
+
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
)
⋅
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
Δ
x
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)}
線形近似 定義により、 が で微分可能であれば、次のよう に 線形近似を 書くことができます 。
および で、誤差項は h
に関して小さいです 。つまり、 とも書きます 。すると、次の
ようになります。
「誤差項」は、 や などの項目で構成され 、 大きさが であることが容易にわかります。 で割って 極限を取ると、 結果が得られます。
f
,
g
:
R
→
R
{\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
x
{\displaystyle x}
f
(
x
+
h
)
=
f
(
x
)
+
f
′
(
x
)
h
+
ε
1
(
h
)
{\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h)}
g
(
x
+
h
)
=
g
(
x
)
+
g
′
(
x
)
h
+
ε
2
(
h
)
,
{\displaystyle g(x+h)=g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h),}
lim
h
→
0
ε
1
(
h
)
h
=
lim
h
→
0
ε
2
(
h
)
h
=
0
,
{\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{1}(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{2}(h)}{h}}=0,}
ε
1
,
ε
2
∼
o
(
h
)
{\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\sim o(h)}
f
(
x
+
h
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
=
(
f
(
x
)
+
f
′
(
x
)
h
+
ε
1
(
h
)
)
(
g
(
x
)
+
g
′
(
x
)
h
+
ε
2
(
h
)
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
+
f
′
(
x
)
g
(
x
)
h
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
h
−
f
(
x
)
g
(
x
)
+
error terms
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
h
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
h
+
o
(
h
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)&=(f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h))-f(x)g(x)\\[.5em]&=f(x)g(x)+f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h-f(x)g(x)+{\text{error terms}}\\[.5em]&=f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h+o(h).\end{aligned}}}
f
(
x
)
ε
2
(
h
)
,
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
h
2
{\displaystyle f(x)\varepsilon _{2}(h),f'(x)g'(x)h^{2}}
h
f
′
(
x
)
ε
1
(
h
)
{\displaystyle hf'(x)\varepsilon _{1}(h)}
o
(
h
)
.
{\displaystyle o(h).}
h
{\displaystyle h}
h
→
0
{\displaystyle h\to 0}
四分の一正方形 この証明では、 連鎖律 と 導関数 を持つ 1/4 平方関数を 使用します。次の式が得られます。
両辺を微分すると次の式が得られます。
q
(
x
)
=
1
4
x
2
{\displaystyle q(x)={\tfrac {1}{4}}x^{2}}
q
′
(
x
)
=
1
2
x
{\displaystyle q'(x)={\tfrac {1}{2}}x}
u
v
=
q
(
u
+
v
)
−
q
(
u
−
v
)
,
{\displaystyle uv=q(u+v)-q(u-v),}
f
′
=
q
′
(
u
+
v
)
(
u
′
+
v
′
)
−
q
′
(
u
−
v
)
(
u
′
−
v
′
)
=
(
1
2
(
u
+
v
)
(
u
′
+
v
′
)
)
−
(
1
2
(
u
−
v
)
(
u
′
−
v
′
)
)
=
1
2
(
u
u
′
+
v
u
′
+
u
v
′
+
v
v
′
)
−
1
2
(
u
u
′
−
v
u
′
−
u
v
′
+
v
v
′
)
=
v
u
′
+
u
v
′
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f'&=q'(u+v)(u'+v')-q'(u-v)(u'-v')\\[4pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}(u+v)(u'+v')\right)-\left({\tfrac {1}{2}}(u-v)(u'-v')\right)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2}}(uu'+vu'+uv'+vv')-{\tfrac {1}{2}}(uu'-vu'-uv'+vv')\\[4pt]&=vu'+uv'.\end{aligned}}}
多変数連鎖律 積の法則は、 乗算関数に適用された、複数の変数に対する 連鎖律 の特殊なケースと考えることができます。
m
(
u
,
v
)
=
u
v
{\displaystyle m(u,v)=uv}
d
(
u
v
)
d
x
=
∂
(
u
v
)
∂
u
d
u
d
x
+
∂
(
u
v
)
∂
v
d
v
d
x
=
v
d
u
d
x
+
u
d
v
d
x
.
{\displaystyle {d(uv) \over dx}={\frac {\partial (uv)}{\partial u}}{\frac {du}{dx}}+{\frac {\partial (uv)}{\partial v}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}.}
非標準分析 u と v を x の連続関数とし 、 dx 、 du 、 dv を 非標準解析 の枠組み内の 無限小 、具体的には 超実数 とします。有限の超実数に無限に近い実数を関連付ける 標準部分関数 を st で表すと 、次の式が得られます。
これは本質的に、 （上記の標準部分の代わりに）
超越同次法則を利用した ライプニッツ の証明でした。
d
(
u
v
)
d
x
=
st
(
(
u
+
d
u
)
(
v
+
d
v
)
−
u
v
d
x
)
=
st
(
u
v
+
u
⋅
d
v
+
v
⋅
d
u
+
d
u
⋅
d
v
−
u
v
d
x
)
=
st
(
u
⋅
d
v
+
v
⋅
d
u
+
d
u
⋅
d
v
d
x
)
=
st
(
u
d
v
d
x
+
(
v
+
d
v
)
d
u
d
x
)
=
u
d
v
d
x
+
v
d
u
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(uv)}{dx}}&=\operatorname {st} \left({\frac {(u+du)(v+dv)-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(u{\frac {dv}{dx}}+(v+dv){\frac {du}{dx}}\right)\\&=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}.\end{aligned}}}
滑らかな微小解析 Lawvere の無限小数へのアプローチの文脈では、 を nilsquare 無限小数とします。このとき 、となり 、 となる
ので、 を で割ると または となります 。
d
x
{\displaystyle dx}
d
u
=
u
′
d
x
{\displaystyle du=u'\ dx}
d
v
=
v
′
d
x
{\displaystyle dv=v'\ dx}
d
(
u
v
)
=
(
u
+
d
u
)
(
v
+
d
v
)
−
u
v
=
u
v
+
u
⋅
d
v
+
v
⋅
d
u
+
d
u
⋅
d
v
−
u
v
=
u
⋅
d
v
+
v
⋅
d
u
+
d
u
⋅
d
v
=
u
⋅
d
v
+
v
⋅
d
u
{\displaystyle {\begin{aligned}d(uv)&=(u+du)(v+dv)-uv\\&=uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv\\&=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\\&=u\cdot dv+v\cdot du\end{aligned}}}
d
u
d
v
=
u
′
v
′
(
d
x
)
2
=
0.
{\displaystyle du\,dv=u'v'(dx)^{2}=0.}
d
x
{\displaystyle dx}
d
(
u
v
)
d
x
=
u
d
v
d
x
+
v
d
u
d
x
{\displaystyle {\frac {d(uv)}{dx}}=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}}
(
u
v
)
′
=
u
⋅
v
′
+
v
⋅
u
′
{\displaystyle (uv)'=u\cdot v'+v\cdot u'}
対数微分 とします 。 各関数の 絶対値 と方程式の両辺の
自然対数 を取り、
絶対値と対数の特性を適用し、
両辺の 対数導関数
を取ってを解きます 。
を解いて を 代入すると次のようになります 。
注: 関数の絶対値を取ることは、負の値を持つ可能性のある関数の 対数微分 に必要です。対数は正の引数に対してのみ 実数値に なるからです。これが機能するのは であり 、これが対数微分に対する関数の絶対値を取ることを正当化するためです。
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}
ln
|
h
(
x
)
|
=
ln
|
f
(
x
)
g
(
x
)
|
{\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)g(x)|}
ln
|
h
(
x
)
|
=
ln
|
f
(
x
)
|
+
ln
|
g
(
x
)
|
{\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)|+\ln |g(x)|}
h
′
(
x
)
{\displaystyle h'(x)}
h
′
(
x
)
h
(
x
)
=
f
′
(
x
)
f
(
x
)
+
g
′
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}}
h
′
(
x
)
{\displaystyle h'(x)}
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)g(x)}
h
(
x
)
{\displaystyle h(x)}
h
′
(
x
)
=
h
(
x
)
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
+
g
′
(
x
)
g
(
x
)
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
+
g
′
(
x
)
g
(
x
)
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f(x)g(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}
d
d
x
(
ln
|
u
|
)
=
u
′
u
{\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(\ln |u|)={\tfrac {u'}{u}}}
一般化
2つ以上の因数の積 積の法則は、2つ以上の因数の積にも一般化できる。例えば、3つの因数の場合、
関数の集合の場合 、
d
(
u
v
w
)
d
x
=
d
u
d
x
v
w
+
u
d
v
d
x
w
+
u
v
d
w
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}.}
f
1
,
…
,
f
k
{\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}
d
d
x
[
∏
i
=
1
k
f
i
(
x
)
]
=
∑
i
=
1
k
(
(
d
d
x
f
i
(
x
)
)
∏
j
=
1
,
j
≠
i
k
f
j
(
x
)
)
=
(
∏
i
=
1
k
f
i
(
x
)
)
(
∑
i
=
1
k
f
i
′
(
x
)
f
i
(
x
)
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}
対数 微分は 、最後の形式のより簡単な表現と、 再帰を 伴わない直接的な証明を提供します。 関数 fの 対数微分は 、ここで Logder( f )と表記され、関数の 対数 の微分です 。したがって、次の式が
得られます。
積の対数は因数の対数の合計であることを使用して、微分の総和の規則により、 次 の式が直ちに得られます。
積の微分の最後の上記の式は、この式の両方の要素に次の積を掛けることによって得られます。
Logder
(
f
)
=
f
′
f
.
{\displaystyle \operatorname {Logder} (f)={\frac {f'}{f}}.}
Logder
(
f
1
⋯
f
k
)
=
∑
i
=
1
k
Logder
(
f
i
)
.
{\displaystyle \operatorname {Logder} (f_{1}\cdots f_{k})=\sum _{i=1}^{k}\operatorname {Logder} (f_{i}).}
f
i
.
{\displaystyle f_{i}.}
高次の派生語 これは、二項定理 に従って記号的に展開することで、2つの因数の積の n 次導関数に対する 一般的なライプニッツの定理 に一般化することもできます 。
d
n
(
u
v
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
⋅
d
(
n
−
k
)
(
u
)
⋅
d
(
k
)
(
v
)
.
{\displaystyle d^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot d^{(n-k)}(u)\cdot d^{(k)}(v).}
上記の式を
特定の点 xに適用すると、次のようになります。
(
u
v
)
(
n
)
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
⋅
u
(
n
−
k
)
(
x
)
⋅
v
(
k
)
(
x
)
.
{\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}
さらに、任意の数の因子の n次導関数については、 多項式係数 を持つ同様の式が得られます 。
(
∏
i
=
1
k
f
i
)
(
n
)
=
∑
j
1
+
j
2
+
⋯
+
j
k
=
n
(
n
j
1
,
j
2
,
…
,
j
k
)
∏
i
=
1
k
f
i
(
j
i
)
.
{\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{\!\!(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}.}
高次の偏微分 偏微分 については、 [5] で表され
、指数 Sは {1, ..., n } の 2n 個 の部分 集合すべてを通る 。 | S |は S の 濃度 である 。例えば n = 3 のとき、
∂
n
∂
x
1
⋯
∂
x
n
(
u
v
)
=
∑
S
∂
|
S
|
u
∏
i
∈
S
∂
x
i
⋅
∂
n
−
|
S
|
v
∏
i
∉
S
∂
x
i
{\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}}
∂
3
∂
x
1
∂
x
2
∂
x
3
(
u
v
)
=
u
⋅
∂
3
v
∂
x
1
∂
x
2
∂
x
3
+
∂
u
∂
x
1
⋅
∂
2
v
∂
x
2
∂
x
3
+
∂
u
∂
x
2
⋅
∂
2
v
∂
x
1
∂
x
3
+
∂
u
∂
x
3
⋅
∂
2
v
∂
x
1
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
x
1
∂
x
2
⋅
∂
v
∂
x
3
+
∂
2
u
∂
x
1
∂
x
3
⋅
∂
v
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
x
2
∂
x
3
⋅
∂
v
∂
x
1
+
∂
3
u
∂
x
1
∂
x
2
∂
x
3
⋅
v
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\[1ex]={}&u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\[1ex]&+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\\[-3ex]&\end{aligned}}}
バナッハ空間 X 、 Y 、 Z が バナッハ空間（ ユークリッド空間 を含む ） であり、 B : X × Y → Zが 連続 双線型作用素 である とする 。このとき B は微分可能であり、 X × Y の点 ( x 、 y )におけるその導関数は、次式で与えられる 線型写像 D ( x 、 y ) B : X × Y → Z で
ある。
(
D
(
x
,
y
)
B
)
(
u
,
v
)
=
B
(
u
,
y
)
+
B
(
x
,
v
)
∀
(
u
,
v
)
∈
X
×
Y
.
{\displaystyle (D_{\left(x,y\right)}\,B)\left(u,v\right)=B\left(u,y\right)+B\left(x,v\right)\qquad \forall (u,v)\in X\times Y.}
この結果は [6] より一般的な位相ベクトル空間に拡張することができる。
ベクトル計算では 積の法則はベクトル関数の様々な積演算に拡張される ： [7]
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
スカラー乗算 の場合 :
(
f
⋅
g
)
′
=
f
′
⋅
g
+
f
⋅
g
′
{\displaystyle (f\cdot \mathbf {g} )'=f'\cdot \mathbf {g} +f\cdot \mathbf {g} '}
ドット積 の場合 :
(
f
⋅
g
)
′
=
f
′
⋅
g
+
f
⋅
g
′
{\displaystyle (\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '}
上のベクトル関数の 外積 について :
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
(
f
×
g
)
′
=
f
′
×
g
+
f
×
g
′
{\displaystyle (\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} '}
導関数の他の類似物にも類似物があります。f と g がスカラー場の場合、 勾配 との積の規則があります 。
∇
(
f
⋅
g
)
=
∇
f
⋅
g
+
f
⋅
∇
g
{\displaystyle \nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g}
このような規則は、任意の連続 双線型積 演算に対して成り立ちます。 B : X × Y → Z を ベクトル空間間の連続双線型写像とし、 f と g をそれぞれ X と Y への微分可能関数とし ます。微分の極限定義を使用した証明で使用される乗算の唯一の特性は、乗算が連続かつ双線型であることです。したがって、任意の連続双線型演算に対して、
これはバナッハ空間の双線型写像の積規則の特殊なケースでもあります。
H
(
f
,
g
)
′
=
H
(
f
′
,
g
)
+
H
(
f
,
g
′
)
.
{\displaystyle H(f,g)'=H(f',g)+H(f,g').}
抽象代数学と微分幾何学における導出 抽象代数学 では、積の法則は 微分 を定義する性質です 。この用語では、積の法則は、微分演算子が関数の微分であることを示します。
微分幾何学 では 、 点 pにおける 多様体 M の 接ベクトルは、 p における 方向微分 のように振舞う実数値関数の演算子、 つまり 微分である 線型汎関数 vとして抽象的に定義できます。ベクトル解析の公式を n 次元多様体M
に一般化 (および双対化) すると 、 と表記される次数 k および lの 微分形式を 、 くさびまたは外積演算 および外微分 とともに 取る こと が でき ます。すると、 次数付きライプニッツ規則 が得られます 。
v
(
f
g
)
=
v
(
f
)
g
(
p
)
+
f
(
p
)
v
(
g
)
.
{\displaystyle v(fg)=v(f)\,g(p)+f(p)\,v(g).}
α
∈
Ω
k
(
M
)
,
β
∈
Ω
ℓ
(
M
)
{\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\beta \in \Omega ^{\ell }(M)}
α
∧
β
∈
Ω
k
+
ℓ
(
M
)
{\displaystyle \alpha \wedge \beta \in \Omega ^{k+\ell }(M)}
d
:
Ω
m
(
M
)
→
Ω
m
+
1
(
M
)
{\displaystyle d:\Omega ^{m}(M)\to \Omega ^{m+1}(M)}
d
(
α
∧
β
)
=
d
α
∧
β
+
(
−
1
)
k
α
∧
d
β
.
{\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .}
アプリケーション 積の法則の応用例の 1 つに、 n が正の整数の
とき の証明があります
(この法則は、 n が正でなかったり整数でなかったりしても成り立ちますが、その証明は他の方法に頼る必要があります)。この証明は、 指数 nに関する 数学的帰納法 によって行われます。 n = 0の場合、 x n は 定数で、 nx n − 1 = 0 です。定数関数の導関数は 0 なので、この場合、この法則が成り立ちます。この法則が任意の特定の指数 n に対して成り立つ場合、次の値 n + 1 に対して、次の式が得られます。
したがって、この命題が n
に対して真であれば、 n + 1に対しても 真であり 、したがってすべての自然数 n に対しても真です。
d
d
x
x
n
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}}
d
x
n
+
1
d
x
=
d
d
x
(
x
n
⋅
x
)
=
x
d
d
x
x
n
+
x
n
d
d
x
x
(the product rule is used here)
=
x
(
n
x
n
−
1
)
+
x
n
⋅
1
(the induction hypothesis is used here)
=
(
n
+
1
)
x
n
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx^{n+1}}{dx}}&{}={\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[1ex]&{}=x{\frac {d}{dx}}x^{n}+x^{n}{\frac {d}{dx}}x&{\text{(the product rule is used here)}}\\[1ex]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1&{\text{(the induction hypothesis is used here)}}\\[1ex]&{}=\left(n+1\right)x^{n}.\end{aligned}}}
参照 積分の微分 – 数学の問題 三角関数の微分 – 三角関数の導関数を求める数学的プロセス 微分法の規則 – 関数の導関数を計算するための規則 分布（数学） – 一般化関数に似た数学解析用語 一般ライプニッツ則 – 微積分における積分則の一般化 部分積分 – 微積分における数学的手法 逆関数と微分 – 微積分学の等式 Pages displaying short descriptions of redirect targets 微分の線形性 – 微積分の性質 べき乗則 – 単項多項式を微分する方法 商の法則 – 関数の比の導関数の公式 導関数表 – 関数の導関数を計算するための規則 Pages displaying short descriptions of redirect targets ベクトル解析の恒等式 – 数学的恒等式
参考文献
^ 「ライプニッツの法則 – 数学百科事典」。 ^ ミシェル・シリロ (2007年8月). 「微積分を人間化する」 . 数学教師 . 101 (1): 23–27. doi :10.5951/MT.101.1.0023. ^ ライプニッツ、GW (2005) [1920]、ライプニッツの初期数学原稿 (PDF) 、JM チャイルド訳、ドーバー、p. 28、脚注58、 ISBN 978-0-486-44596-0 ^ ライプニッツ、GW (2005) [1920]、ライプニッツの初期数学原稿 (PDF) 、JM チャイルド訳、ドーバー、p. 143、 ISBN 978-0-486-44596-0 ^ Micheal Hardy (2006 年 1 月). 「偏微分の組み合わせ論」 ( PDF) . The Electronic Journal of Combinatorics . 13. arXiv : math/0601149 . Bibcode :2006math......1149H. ^ Kreigl, Andreas; Michor, Peter (1997). 大域解析の便利な設定 (PDF) . アメリカ数学会. p. 59. ISBN 0-8218-0780-3 。 ^ スチュワート、ジェームズ（2016）、 微積分 （第8版）、Cengage 、セクション13.2。
![{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42713fad94de8214d7838f3c1eee4f5e5f031451)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)&=(f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h))-f(x)g(x)\\[.5em]&=f(x)g(x)+f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)hf(x)g(x)+{\text{誤差項}}\\[.5em]&=f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h+o(h).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e9f377df3a5a297b3608f8b2b4914c276d2621)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'&=q'(u+v)(u'+v')-q'(uv)(u'-v')\\[4pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}(u+v)(u'+v')\right)-\left({\tfrac {1}{2}}(uv)(u'-v')\right)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2}}(uu'+vu'+uv'+vv')-{\tfrac {1}{2}}(uu'-vu'-uv'+vv')\\[4pt]&=vu'+uv'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e6e0b2a3e40cc63d2008a010e62de5b3e98105)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33a940fffdeb3b6d08c599ce4f164b33899794eb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\[1ex]={}&u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\[1ex]&+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\\[-3ex]&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3513cff1dd38d9962661ce99f489a5baea16547)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx^{n+1}}{dx}}&{}={\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[1ex]&{}=x{\frac {d}{dx}}x^{n}+x^{n}{\frac {d}{dx}}x&{\text{(ここでは積の法則が使われます)}}\\[1ex]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1&{\text{(ここでは帰納法の仮説が使われます)}}\\[1ex]&{}=\left(n+1\right)x^{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7d3307afc1e7f372b2d0a6d67af71978d22fdf)