環状領域（数学）

数学において、環状領域（複数形：annuliまたはannuluses）とは、2つの同心円の間の領域のことです。非公式には、リングや金具のワッシャーのような形をしています。「annulus」という単語は、ラテン語で「小さな輪」を意味するanulusまたはannulusから借用されています。形容詞形はannularです（例：annular eclipse）。

開いた環状領域は、位相的に開いた円筒S ¹ × (0,1)と穴の開いた平面の両方と等価である。

環状領域の面積は、半径Rの大きい円の面積と半径rの小さい円の面積の差である。

${\displaystyle A=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)=\pi (R+r)(Rr).}$

環状領域の面積は、環状領域内の最長の線分の長さによって決まります。これは、内側の円に接する弦の長さであり、添付の図では 2d です。この線分は小さい円に接し、その点で半径に垂直であるため、ピタゴラスの定理を用いて示すことができます。したがって、 dとrは斜辺Rを持つ直角三角形の辺であり、環状領域の面積は次の式で与えられます。

${\displaystyle A=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)=\pi d^{2}.}$

面積は、環状領域を無限に多くの微小な幅dρと面積2π ρ dρの環状領域に分割し、ρ = rからρ = Rまで積分することによっても求めることができる。

${\displaystyle A=\int _{r}^{R}\!\!2\pi \rho \,d\rho =\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$

ラジアンで測定される角度θの環状扇形（半径が重なり合う2つの円形扇形の間の領域）の面積は、次式で与えられる。

${\displaystyle A={\frac {\theta }{2}}\left(R^{2}-r^{2}\right).}$

複素解析において、複素平面上の環状領域 ann ( a ; r , R )は、次のように定義される開領域である。

${\displaystyle r<|za|<R.}$

もし${\displaystyle r=0}$この領域は、点aを中心とした半径Rの穿孔円盤(中心に点状の穴が開いた円盤) として知られています。

複素平面の部分集合として、環状領域はリーマン面とみなすことができる。環状領域の複素構造は、比率⁠ r / R ⁠のみに依存する。各環状領域ann( a ; r , R )は、写像によって、原点を中心とし外半径が 1 の標準的な環状領域に正則写像することができる。

${\displaystyle z\mapsto {\frac {za}{R}}.}$

内半径は⁠ r / R ⁠ < 1である。

アダマールの3円定理は、正則関数が環状領域内で取り得る最大値に関する定理である。

ジュコフスキー変換は、環状領域を焦点間にスリットが入った楕円に等角写像する。

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• 環状領域定理／予想– 数学において、2つの性質の良い球の間の領域に関する定理 
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• 球殻– 三次元幾何学的形状 
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• 環状部の定義と特性（インタラクティブアニメーション付き）
• 環状領域の面積、計算式（インタラクティブアニメーション付き）