同次微分方程式

微分方程式は、 2つの点のいずれかにおいて同次である可能性がある。

1階微分方程式は、次のように書ける場合に同次であると言われる。 $${\displaystyle f(x,y)\,dy=g(x,y)\,dx,}$$ ここで、 fとgはxとyの同次関数である。^{[ 1 ]}この場合、変数変換y = uxにより、次の形式の方程式が得られる。 $${\displaystyle {\frac {dx}{x}}=h(u)\,du,}$$これは、 2つの要素を統合する ことで簡単に解決できます。

それ以外の場合、微分方程式は、未知関数とその導関数の同次関数である場合に同次である。線形微分方程式の場合、これは定数項がないことを意味する。任意の次数の線形常微分方程式の解は、定数項を取り除いて得られる同次方程式の解を積分することによって導き出すことができる。

同次という用語は、ヨハン・ベルヌーイが1726年の論文「微分方程式の積分について」（De integraionibus aequationum differentialium ）の第9節で初めて微分方程式に適用した。 ^{[ 2 ]}

次の形式の1階常微分方程式：

$${\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0}$$

関数M ( x , y )とN ( x , y )の両方が同じ次数nの同次関数である場合、 は同次型である。^{[ 3 ]}つまり、各変数にパラメータλを掛けると、次のようになる。

$${\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\quad {\text{および}}\quad N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.}$$

したがって、 $${\displaystyle {\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.}$$

線形微分方程式は、 未知関数とその導関数に関して同次線形方程式である場合に同次であると言います。したがって、 φ ( x )が解であれば、任意の（ゼロでない）定数cに対してcφ ( x )も解となります。この条件が成り立つためには、線形微分方程式の各非ゼロ項は、未知関数またはその導関数に依存していなければなりません。この条件を満たさない線形微分方程式は、非同次であると言います。

線形微分方程式は、y ( x )に作用する線形演算子として表すことができ、xは通常独立変数、yは従属変数です。したがって、線形同次微分方程式の一般形は次のようになります。

$${\displaystyle L(y)=0}$$

ここで、Lは微分演算子であり、導関数の和（「0 階導関数」は元の微分されていない関数として定義される）であり、それぞれにxの関数f _{i を}乗じる。

$${\displaystyle L=\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x){\frac {d^{i}}{dx^{i}}}\,,}$$ ここで、f _{i は}定数である場合もあるが、すべてのf _{i が}ゼロであるとは限らない。

例えば、次の線形微分方程式は同次方程式です。

$${\displaystyle \sin(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4{\frac {dy}{dx}}+y=0\,,}$$

一方、以下の2つは不均質である。

$${\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4x{\frac {dy}{dx}}+y=\cos(x)\,;}$$

$${\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-3x{\frac {dy}{dx}}+y=2\,.}$$ 定数項の存在は、上記の例のように、方程式が非斉次であるための十分条件である。

• 変数の分離

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012),初等微分方程式と境界値問題(第 10 版), Wiley, ISBN 978-0470458310（これは微分方程式に関する優れた入門書です。）
• インス、EL（1956）、『常微分方程式』、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 0486603490{{citation}}ISBN/日付の不一致（ヘルプ） 。 （これは常微分方程式に関する古典的な参考書で、1926年に初版が発行されました。）
• Andrei D. Polyanin; Valentin F. Zaitsev (2017年11月15日).常微分方程式ハンドブック：厳密解、方法、および問題. CRC Press. ISBN 978-1-4665-6940-9。
• マシュー・R・ボエルキンス、ジャック・L・ゴールドバーグ、マール・C・ポッター（2009年11月5日）。『線形代数を用いた微分方程式』オックスフォード大学出版局、 274ページ以降。ISBN 978-0-19-973666-9。

• MathWorldの同次微分方程式
• Wikibooks: 常微分方程式/置換 1