算術

算術で用いられる主な数の種類は、自然数、整数、有理数、実数です。^{[ 12 ]}自然数は、 1から無限大まで続く整数です。0と負の数は含まれません。自然数は計数数とも呼ばれ、次のように表すことができます。${\displaystyle \{1,2,3,4,...\}}$自然数の記号は${\displaystyle \mathbb {N} }$^{[ a ]}整数は自然数と同一であり、唯一の違いは0を含むことである。整数は次のように表すことができる。${\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}$そしてシンボルを持つ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$[ ^{14 ] [ b ]一部の数学者は、}自然数と整数を区別せず、自然数の集合に0を含めています。^{[ 16 ]}整数の集合は、正の整数と負の整数の両方を含みます。その記号は${\displaystyle \mathbb {Z} }$そして次のように表現できます${\displaystyle \{...,-2,-1,0,1,2,...\}}$[ ^{17 ]​}

自然数と整数の使い方に基づいて、基数と序数に区別することができます。1、2、3などの基数は、物の数量を表す数です。これらは「いくつ？」という質問に答えます。1番目、2番目、3番目などの序数は、一連の順序や位置を示します。これらは「どの位置？」という質問に答えます。^{[ 18 ]}

有理数とは、 2つの整数の比として表せる数のことである。例えば、有理数$\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$は、分子と呼ばれる整数 1 を分母と呼ばれる整数 2 で割ることによって形成されます。その他の例は次のとおりです。$\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$そして$\displaystyle {\tfrac {281}{3}}}$有理数の集合には、分母が 1 の分数であるすべての整数が含まれます。有理数の記号は です。${\displaystyle \mathbb {Q} }$^{[ 19 ]} 0.3や25.12のような小数は、分母が10のべき乗であるため、特別な種類の有理数です。たとえば、0.3は$\displaystyle {\tfrac {3}{10}}}$、そして25.12は$\displaystyle {\tfrac {2512}{100}}}$[ ^{20 ]}すべての有理数は有限小数または循環小数に^対応する。^{[ 21 ] [ c ]}

無理数とは、2つの整数の比で表すことができない数のことです。無理数は、幾何学的な大きさを表す際によく用いられます。例えば、直角三角形の2辺の長さが1である場合、斜辺の長さは無理数で表されます。$\displaystyle {\sqrt {2}}}$πは別の無理数であり、円周と直径の比を表します。^{[ 22 ]}無理数の小数表現は循環小数なしで無限に続きます。[ ^{23 ]有理数}の集合と無理数の集合を合わせて実数の集合を構成します。実数の記号は です。${\displaystyle \mathbb {R} }$[ ^{24 ]}さらに広い数の種類には^複素数や四元数が含まれる。^{[ 25 ]}

数字は数を表す記号であり、数体系は表現の枠組みである。^{[ 26 ]}通常、数体系には限られた数の基本数字があり、それらは特定の数を直接指す。この体系は、これらの基本数字を組み合わせて任意の数を表現する方法を規定する。^{[ 27 ]}数体系は、位置指定型か非位置指定型かのいずれかである。初期の数体系はすべて非位置指定型であった。^{[ 28 ]}非位置指定型数体系では、数字の値は数体系内の位置に依存しない。^{[ 29 ]}

タリーマークや一部のタリースティックは、位置に依存しない単項数字システムを使用します。

最も単純な非位取り記数法は、単項記数法です。これは、1 という数を表す記号に依存しています。それより大きい数はすべて、この記号を繰り返すことによって書かれます。たとえば、7 という数は、1 の記号を 7 回繰り返すことによって表すことができます。このシステムでは大きな数を書くのが面倒になるため、多くの非位取り記数法では、より大きな数を直接表すための追加の記号が含まれています。^{[ 30 ]}単項記数法のバリエーションは、くぼみを使用したタリー スティックやタリー マークで使用されています。^{[ 31 ]}

エジプトの象形文字は、より複雑な非位取り記数法を持っていた。10、100、1000、10,000 のような数字を表す追加の記号がある。これらの記号は、より大きな数をより便利に表現するために組み合わせることができる。たとえば、10,405 という数字は、10,000 の記号を 1 回、100 の記号を 4 回、1 の記号を 5 回使用する。同様のよく知られた枠組みは、ローマ数字システムである。ローマ数字システムは、1、5、10、50、100、500、1000 という数を表す基本数字として、I、V、X、L、C、D、M の記号を持っている。^{[ 33 ]}

複合式における基本数字の位置によってその値が決まる場合、その数字体系は位取り記数法と呼ばれます。位取り記数法では、異なる位置の被乗数として機能する基数があります。各位置ごとに、基数はより高いべき乗に上げられます。一般的な十進法（ヒンドゥー・アラビア数字体系とも呼ばれる）では、基数は10です。これは、最初の桁が10乗されることを意味します。$10^0$次の桁は、$10^1$など。例えば、10進数の532は${\displaystyle 5\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}}$数字の位置の影響により、数字532は、同じ数字であっても、数字325や253とは異なります。^{[ 34 ]}

コンピュータ演算で広く使われているもう一つの位取り記数法は、基数が2である2進法です。これは、最初の桁が2で乗算されることを意味します。$20$次の桁は$21$など。例えば、13という数字は2進数表記では1101と書かれ、これは${\displaystyle 1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}}$コンピューティングでは、バイナリ表記の各桁は1ビットに対応します。^{[ 35 ]}最も初期の位取り記数法は古代バビロニア人によって開発され、基数は60でした。^{[ 36 ]}

足し算と引き算

加算は、加数と呼ばれる2つの数を和と呼ばれる1つの数に組み合わせる算術演算です。加算の記号は${\displaystyle +}$例としては、${\displaystyle 2+2=4}$そして${\displaystyle 6.3+1.26=7.56}$^{[ 44 ]}連続して複数の加算を行う場合は、総和という用語が使用されます。^{[ 45 ]}数えることは、1 を連続して加算するタイプの繰り返し加算です。^{[ 46 ]}

引き算は足し算の逆演算です。引き算では、減数と呼ばれるある数から被減数と呼ばれる別の数を引きます。この演算の結果を差と呼びます。引き算の記号は${\displaystyle -}$[ ^{47 ]例}としては${\displaystyle 14-8=6}$そして${\displaystyle 45-1.7=43.3}$引き算はしばしば足し算の特殊なケースとして扱われます。正の数を引く代わりに、負の数を加えることも可能です。例えば${\displaystyle 14-8=14+(-8)}$これは、計算を実行するために必要な基本的な算術演算の数を減らすことで、数学的計算を簡素化するのに役立ちます。^{[ 48 ]}

加法単位元は 0 であり、ある数の加法逆元はその数の負の数です。例えば、${\displaystyle 13+0=13}$そして${\displaystyle 13+(-13)=0}$加算は交換法則と結合法則の両方を満たす。^{[ 49 ]}

掛け算と割り算

乗算とは、乗数と被乗数と呼ばれる2つの数を、積と呼ばれる1つの数に組み合わせる算術演算です。^{[ 50 ] [ d ]}乗算の記号は次のとおりです。${\displaystyle \times }$、${\displaystyle \cdot }$、および *。例は次のとおりです。${\displaystyle 2\times 3=6}$そして${\displaystyle 0.3\cdot 5=1.5}$被乗数が自然数の場合、乗算は繰り返し加算と同じになります。${\displaystyle 2\times 3=2+2+2}$[ ^{52 ]​}

除算は乗算の逆演算です。除算では、被除数と呼ばれる1つの数が、除数と呼ばれる別の数によっていくつかの等しい部分に分割されます。この演算の結果を商と呼びます。除算の記号は次のとおりです。${\displaystyle \div }$そして${\displaystyle /}$例としては、${\displaystyle 48\div 8=6}$そして${\displaystyle 29.4/1.4=21}$^{[ 53 ]}除算は乗算の特殊なケースとして扱われることが多い。数で割る代わりに、その逆数を掛けることもできる。数の逆数は、1 をその数で割ったものである。例えば、${\displaystyle 48\div 8=48\times {\tfrac {1}{8}}}$[ ^{54 ]​}

乗法単位元は 1 であり、ある数の乗法逆元はその数の逆数です。例えば、${\displaystyle 13\times 1=13}$そして${\displaystyle 13\times {\tfrac {1}{13}}=1}$乗法は交換法則と結合法則の両方を満たす。^{[ 55 ]}

指数と対数

べき乗とは、底と呼ばれる数を指数と呼ばれる別の数のべき乗に累乗する算術演算です。この演算の結果をべき乗と呼びます。べき乗は記号 ^ を使って表されることもありますが、より一般的な方法は、底の直後に上付き文字で指数を書くことです。例は次のとおりです。${\displaystyle 2^{4}=16}$そして${\displaystyle 3}$^${\displaystyle 3=27}$指数が自然数の場合、べき乗は繰り返し乗算と同じになります。${\displaystyle 2^{4}=2\times 2\times 2\times 2}$[ ^{56 ] [ e ]​}

平方根は、分数指数を用いた特殊な指数計算の一種です。例えば、ある数の平方根は、その数を 乗することと同じです。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ある数の立方根は、その数を次のべき乗にすることと同じです。${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$例としては、${\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}=2}$そして${\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=27^{\frac {1}{3}}=3}$[ ^{58 ]​}

対数は指数関数の逆数です。ある数の対数は${\displaystyle x}$基地へ${\displaystyle b}$は、​${\displaystyle b}$生産するために育てなければならない${\displaystyle x}$例えば、${\displaystyle 1000=10^{3}}$1000の底10の対数は3です。${\displaystyle x}$基地へ${\displaystyle b}$は次のように表されます${\displaystyle \log _{b}(x)}$、または括弧なし、${\displaystyle \log _{b}x}$あるいは明示的な基底がなくても、${\displaystyle \log x}$基底が文脈から理解できる場合。したがって、前の例は次のように書くことができます。${\displaystyle \log _{10}1000=3}$[ ^{59 ]​}

指数と対数には、加算や乗算のような一般的な単位元や逆元はありません。指数に関する指数の中立元は 1 です。${\displaystyle 14^{1}=14}$しかし、1 は底の単位元ではないため、指数には一般的な単位元はありません。^{[ 60 ]}指数と対数は交換法則も結合法則も満たしません。^{[ 61 ]}

整数演算は、正負の整数の操作を扱う算術の一分野です。^{[ 63 ]}簡単な1桁の演算は、加算表や乗算表のように、すべての組み合わせの結果を示す表に従うか暗記することで実行できます。その他の一般的な方法は、口頭での数え方と指を使った数え方です。^{[ 64 ]}

繰り上がりのある足し算の例です。黒色の数字は加数、緑色の数字は繰り上がり、青色の数字は和です。

筆算による乗算の例です。黒色の数字は乗数と被乗数です。緑色の数字は、乗数と被乗数の1桁の数字を掛け合わせた中間積です。青色の数字は、中間積を足し合わせた最終積です。

複数桁の数の演算では、1桁の演算を連続して複数回行うことで結果を計算するさまざまな手法が用いられます。たとえば、繰り上がり加算法では、2つの数を上下に書きます。右端の桁から始めて、各桁のペアを足し合わせます。合計の右端の桁をその下に書きます。合計が2桁の数の場合は、左端の桁（「繰り上がり」と呼ばれる）を左隣の桁のペアに加えます。このプロセスは、すべての桁が足し合わされるまで繰り返されます。^{[ 65 ]}整数の加算に使用される他の手法としては、数直線法、部分和法、補償法などがあります。^{[ 66 ]}減算にも同様の手法が用いられます。これも右端の桁から始め、1桁の減算の結果が負の場合は、左側の桁に「借り」または負の繰り上がりを用います。^{[ 67 ]}

整数の乗算の基本的な手法は、繰り返し加算を用いることです。例えば、${\displaystyle 3\times 4}$計算すると次のようになります${\displaystyle 3+3+3+3}$[ ^{68 ]}大きな数の乗算によく用いられる手法は、長乗算と呼ばれます。この方法は^、まず被乗数の上に乗数を書き込みます。計算は、被乗数の右端の桁のみに乗数を掛け、その結果を右端の列から下に書き込むことから始まります。被乗数の各桁について同じことが行われ、それぞれの結果は1つ左にシフトされます。最終ステップとして、個々の積をすべて足し合わせて、2つの多桁の数の合計積を求めます。^{[ 69 ]}乗算に使用される他の手法には、グリッド法と格子法があります。^{[ 70 ]}コンピュータ科学では、カラツバアルゴリズム、シェーンハーゲ-シュトラッセンアルゴリズム、トゥーム-クックアルゴリズムなど、非常に大きな整数を効率的に乗算できる、計算複雑度の低い乗算アルゴリズムに関心があります。^{[ 71 ]}除算によく用いられる手法は、長除算と呼ばれます。その他の方法としては、短除法やチャンキングなどがある。^{[ 72 ]}

整数演算は除算に関して閉じていません。つまり、ある整数を別の整数で割った結果が必ずしも整数になるとは限りません。たとえば、7 ÷ 2 は整数ではなく 3.5 になります。^{[ 73 ]}結果が整数であることを保証する 1 つの方法は、結果を整数に丸めることです。ただし、この方法では元の値が変更されるため、不正確になります。 ^{[ 74 ]}別の方法は、除算を部分的に実行して余りを保持することです。たとえば、7 ÷ 2 は 3 で余りは 1 です。これらの困難は、分数を正確に表現できる有理数演算によって回避されます。^{[ 75 ]}

指数を計算する簡単な方法は、繰り返し乗算することです。たとえば、${\displaystyle 3^{4}}$計算すると次のようになります${\displaystyle 3\times 3\times 3\times 3}$[ ^{76 ]}大きな指数に対してより効率的な手法は、二乗による指数計算です。これは^、計算を多数の二乗演算に分解します。たとえば、指数計算${\displaystyle 3^{65}}$次のように書くことができます${\displaystyle (((((3^{2})^{2})^{2})^{2})^{2})^{2}\times 3}$繰り返し二乗演算を利用することで、通常の繰り返し乗算に必要な 64 回の演算ではなく、7 つの個別の演算だけで済みます。^{[ 77 ]}対数を計算する方法には、テイラー級数と連分数があります。^{[ 78 ]}整数演算は対数と負の指数によるべき乗に関して閉じられていないため、これらの演算の結果は必ずしも整数ではありません。^{[ 79 ]}

有理数演算は、 2 つの整数の比として表すことができる数の操作を扱う算術の一分野です。 ^{[ 93 ]}有理数に対するほとんどの算術演算は、対象となる数の分子と分母に対して一連の整数演算を実行することによって計算できます。2 つの有理数が同じ分母を持つ場合、分子を足し合わせて共通の分母を残すことで加算できます。たとえば、${\displaystyle {\tfrac {2}{7}}+{\tfrac {3}{7}}={\tfrac {5}{7}}}$引き算の場合も同様の手順が用いられます。2 つの数の分母が同じでない場合は、共通分母を見つけるために変換する必要があります。これは、最初の数を 2 番目の数の分母でスケーリングし、同時に 2 番目の数を最初の数の分母でスケーリングすることによって実現できます。例えば、${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1\cdot 2}{3\cdot 2}}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{6}}+{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {5}{6}}}$[ ^{94 ]​}

2つの有理数は、それぞれの分子と分母を掛け合わせることによって乗算されます。${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {2}{5}}={\tfrac {2\cdot 2}{3\cdot 5}}={\tfrac {4}{15}}}$有理数を別の有理数で割るには、最初の数に2番目の数の逆数を掛けます。これは、2番目の数の分子と分母の位置が入れ替わることを意味します。たとえば、${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}:{\tfrac {2}{7}}={\tfrac {3}{5}}\cdot {\tfrac {7}{2}}={\tfrac {21}{10}}}$[ ^{95 ]}整数演算とは異なり、有理数演算は除数が0でない限り除算に関して閉じている^{。[ 96 ]}

整数演算と有理数演算はどちらも指数演算と対数演算に関して閉じていません。^{[ 97 ]}分数指数を用いた指数演算を計算する1つの方法は、2つの別々の計算を実行することです。1つは指数の分子を用いた指数演算で、もう1つは指数の分母に基づいて結果のn乗根を求めることです。例えば、${\displaystyle 5^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{5^{2}}}}$最初の演算は、繰り返し乗算や二乗による指数計算などの方法を用いて完了できます。2番目の演算のおおよその結果を得る方法の1つは、ニュートン法を用いることです。ニュートン法は、一連の手順を用いて初期推定値を徐々に改良し、目的の精度に達するまで続けます。^{[ 98 ]}対数を計算するには、テイラー級数または連分数法を利用できます。^{[ 99 ]}

小数表記は、分母が10のべき乗である有理数を表す特別な方法です。例えば、有理数${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}}$、${\displaystyle {\tfrac {371}{100}}}$、 そして${\displaystyle {\tfrac {44}{10000}}}$小数表記では、0.1、3.71、0.0044と表されます。^{[ 100 ]}繰り上がり加算や長乗算などの整数計算方法の修正版を小数を用いた計算に適用できます。^{[ 101 ]}すべての有理数が小数表記で有限表現できるわけではありません。例えば、有理数${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$0.333... は無限に 3 が続く数に対応します。このタイプの循環小数の短縮表記は0.3です。^{[ 102 ]}すべての循環小数は有理数を表します。^{[ 103 ]}

実数演算は、有理数と無理数の両方の操作を扱う算術の一分野です。無理数とは、2の平方根やπのように、分数や循環小数で表すことができない数のことです。^{[ 104 ]}有理数演算とは異なり、実数演算は、底が正の数である限り、指数演算に関して閉じています。対数の底が正であり、1でない限り、正の実数の対数についても同様です。^{[ 105 ]}

無理数は、無限に続く非循環の十進数列です。そのため、次のような算術演算の結果を簡単かつ正確に表現する方法はしばしばありません。${\displaystyle {\sqrt {2}}+\pi }$または${\displaystyle e\cdot {\sqrt {3}}}$[ ^{106 ]}絶対精度が要求されない場合、実数に対する算術演算の計算問題は、通常、切り捨てまたは丸めによって解決されます^。切り捨ての場合、左端の一定数の桁が保持され、残りの桁は破棄されるか、ゼロに置き換えられます。たとえば、数πは 3.14159... から始まる無限の桁数を持っています。この数を 4 桁に切り捨てると、結果は 3.141 になります。丸めは同様のプロセスで、保持された最後の桁は、次の桁が 5 以上であれば 1 増加しますが、次の桁が 5 未満であれば同じままなので、丸められた数は、元の数の所定の精度に対する最良の近似値になります。例えば、πを小数点以下4桁に丸めると、次の桁が5なので、結果は3.142となり、3.141よりもπに近い値になります。^{[ 107 ]}これらの方法により、コンピュータは実数に対して効率的に近似計算を実行できます。^{[ 108 ]}

科学や工学では、数値は測定やモデリングから得られた物理量の推定値を表します。πやのような数学的に正確な数値とは異なり、${\displaystyle {\sqrt {2}}}$⁠、科学的に関連する数値データは本質的に不正確であり、測定の不確実性。 ^{[ 109 ]}各数値の値に関する確実性の度合いを表現し、誤った精度有効桁と呼ばれる特定の桁数に丸めることです。有効桁は正確であると暗黙のうちに示されます。たとえば、巻尺で測定した人の身長は、最も近いセンチメートルまでしか正確にわからない場合があるため、1.62メートルではなく1.6217メートルと表示する必要があります。ヤード・ポンド法単位に変換する場合は、この量を63.7795インチではなく64インチまたは63.8インチに丸めて、測定の精度を明確に伝える必要があります。通常の小数表記を使用して数値を記述する場合、先頭のゼロは有効ではなく、小数点を使用して記述されていない数値の末尾のゼロは暗黙のうちに無効であるとみなされます。 ^{[ 110 ]}例えば、0.056 と 1200 はそれぞれ有効数字が 2 桁しかありませんが、40.00 は有効数字が 4 桁あります。有効数字のみを使用して不確実性を表すのは、直感に反する微妙な点がある比較的粗雑な方法です。近似誤差より洗練されたアプローチです。 ^{[ 111 ]}この例では、人の身長は1.62 ± 0.005メートルまたは63.8 ± 0.2 インチと表すことができます。 ^{[ 112 ]}

不確実な量を用いて計算を行う場合、不確実性を計算された量に伝播させる必要があります。2つ以上の量を加算または減算する場合、各被加数の絶対不確実性を合計して、合計の絶対不確実性を求めます。2つ以上の量を乗算または除算する場合、各因子の相対不確実性を合計して、積の相対不確実性を求めます。^{[ 113 ]}不確実性を有効数字で表す場合、2つ以上の量を加算または減算した結果を被加数の中で最も左端の有効小数点に丸め、2つ以上の量を乗算または除算した結果を因子の中で最も有効数字の少ない桁数に丸めることで、不確実性を大まかに伝播させることができます。^{[ 114 ]}（有効数字§ 算術を参照。）

不確実な値を扱うより高度な方法としては、区間演算とアフィン演算があります。区間演算は区間に対する演算を記述します。測定誤差などにより正確な大きさがわからない場合、区間を使用して値の範囲を表すことができます。区間演算には、区間に対する加算や乗算などの演算が含まれます。${\displaystyle [1,2]+[3,4]=[4,6]}$そして${\displaystyle [1,2]\times [3,4]=[3,8]}$^{[ 115 ]}これは、区間ではなくアフィン形式で計算を行うことでより正確な結果を得ることを目指すアフィン算術と密接に関連しています。アフィン形式とは、数値と、その数値が実際の大きさからどのようにずれるかを記述する誤差項を組み合わせたものです。^{[ 116 ]}

数値の精度は、正規化された科学的記数法を用いることで統一的に表現できます。これは、1 よりはるかに大きい数や小さい数を簡潔に表すのにも便利です。科学的記数法では、数は 1 から 10 までの数(仮数)と 10 の整数乗 (指数)の積に分解されます。仮数は、その数の有効数字で構成され、先頭の数字 1 ～ 9、小数点、そして 0 ～ 9 の数字の並びで表されます。例えば、8276000 という数の正規化された科学的記数法は次のようになります。${\displaystyle 8.276\times 10^{6}}$有効数字が 8.276、指数が 6 の場合、数値 0.00735 の正規化された科学的表記は次のようになります。${\displaystyle 7.35\times 10^{-3}}$仮数部 7.35、指数部−3の場合。 ^{[ 117 ]}通常の十進表記では、大きな数の末尾のゼロは暗黙のうちに無効とみなされますが、科学的表記では、仮数部のすべての桁が有効とみなされ、末尾のゼロを追加すると精度が高くなります。たとえば、1200 という数は暗黙のうちに有効桁が 2 桁しかありませんが、${\displaystyle 1.20\times 10^{3}}$明示的に3つあります。^{[ 118 ]}

コンピュータが実数演算を近似するために用いる一般的な方法は、浮動小数点演算と呼ばれます。これは、仮数、底、指数という3つの数を用いて、科学的記数法と同様に実数を表します。^{[ 119 ]}仮数の精度は、それを表現するために割り当てられたビット数によって制限されます。演算の結果、使用可能なビット数よりも多くのビットを必要とする数値になった場合、コンピュータは結果を最も近い表現可能な数値に丸めます。これにより、丸め誤差が発生します。^{[ 120 ]}この動作の結果として、浮動小数点演算では特定の算術法則が破られます。たとえば、浮動小数点加算は結合法則を満たしません。これは、導入される丸め誤差が加算の順序に依存する可能性があるためです。つまり、${\displaystyle (a+b)+c}$結果と異なる場合がある${\displaystyle a+(b+c)}$[ ^{121 ]}浮動小数点演算に使用される最も一般的な技術標準はIEEE 754と呼ばれています。この規格では、数値の表現方法、算術演算と丸め処理の実行方法、エラーと例外の処理方法などが規定されています。^{[ 122 ]計算}速度が制限要因でない場合は、任意精度演算を使用することが可能です。この場合、計算の精度はコンピュータのメモリによってのみ制限されます。^{[ 123 ]}

算術の形式は、計算を行うために用いられる道具によっても区別でき、ペンと紙の通常の使用以外にも多くの方法が含まれます。暗算は、外部の道具を使わずに、完全に頭脳のみに頼って計算を行います。代わりに、視覚化、記憶、​​および特定の計算テクニックを用いて算術問題を解きます。^{[ 124 ]}そのようなテクニックの1つに補償法があり、これは計算を容易にするために数値を変更し、その後結果を調整するものです。たとえば、計算する代わりに、${\displaystyle 85-47}$計算すると${\displaystyle 85-50}$これは、丸い数を使うので簡単です。次のステップでは、${\displaystyle 3}$結果に対して、以前の調整を補償する。^{[ 125 ]}暗算は、生徒の数的能力を訓練するために、初等教育でよく教えられる。^{[ 126 ]}

人間の身体も算術の道具として利用できます。指を使った数え方は、幼い子供たちに数字や簡単な計算を教えるためによく用いられます。最も基本的な形では、伸ばした指の数が表す量に対応し、足し算や引き算などの算術演算は指を伸ばしたり縮めたりすることで行われます。このシステムは、より大きな量を表すために異なるアプローチを用いるより高度なシステムに比べて、小さな数に限定されます。^{[ 127 ]}人間の声は、口頭での数え方の算術補助として使用されます。^{[ 128 ]}

タリーマークは、身体以外の外部ツールに基づくシンプルなシステムです。このシステムは、表面に描かれた線や木の棒に刻まれた切り込みなどのマーク付けによって数量を記録します。タリーマークの中には、読みやすくするために線を5つずつグループ化するものもあります。^{[ 129 ]}

そろばんは、数を表し計算を行うためのより高度なツールです。そろばんは通常、複数の棒で構成され、それぞれの棒には複数の珠が付いています。各珠は数量を表し、珠を棒の一端から他端に移動させると数量が数えられます。計算は、最終的な珠の配置が結果を示すまで珠の位置を操作することによって行われます。^{[ 130 ]}関連する補助具には、ボード上の配置場所に応じて値が変わるトークンを使用する計数盤^{[ 131 ]}や、異なる数を表すために水平方向と垂直方向に配置される計数棒^{[ 132 ]などがあります。 [ f ]}

セクターと計算尺は、異なるスケール間の幾何学的関係を利用して基本的な算術演算と高度な算術演算の両方を実行する、より洗練された計算器具です。^{[ 134 ] [ g ]}印刷された表は、対数や三角関数などの演算結果を調べるための補助として特に重要でした。^{[ 136 ]}

機械式計算機は、手動の計算プロセスを自動化します。ダイヤルを回したりキーを押したりして数値を入力するための入力装置がユーザーに提供されます。通常、計算を実行して結果を表示するために、歯車、レバー、ホイールなどで構成される内部機構が含まれています。 ^{[ 137 ]}電子計算機やコンピュータでは、この手順は、機械部品をマイクロプロセッサなどの電子回路に置き換えることでさらに洗練され、電気信号を組み合わせて変換し、計算を実行します。^{[ 138 ]}

算術には他にも多くの種類があります。モジュラー算術は有限個の数値の集合に対して演算を行います。演算の結果、この有限個の集合に含まれない数値が出た場合、時計の針が1サイクルを終えると再び最初に戻るのと同様に、その数値は集合内に調整されます。この調整が行われる数値をモジュラスと呼びます。例えば、通常の時計のモジュラスは12です。4に9を加える場合、結果は13ではなく1になります。同じ原理は、減算、乗算、除算などの他の演算にも適用されます。^{[ 139 ]}

算術の中には、数以外の数学的対象に対して行われる演算を扱うものがあります。区間算術は区間に対する演算を記述します。^{[ 140 ]}ベクトル算術と行列算術は、ベクトル加算や行列乗算など、ベクトルと行列に対する算術演算を記述します。^{[ 141 ]}

算術体系は、それが依拠する数体系に基づいて分類することができる。例えば、十進算術は十進数体系における算術演算を記述する。その他の例としては、二進算術、八進算術、十六進算術などがある。^{[ 142 ]}

複合単位演算は、複合単位を持つ量に対して実行される算術演算を記述します。これは、単一単位量と複合単位量の間の変換を制御する追加の演算を含みます。たとえば、還元演算は、複合量 1 時間 90 分を単一単位量 150 分に変換するために使用されます。^{[ 143 ]}

非ディオファントス算術は、従来の算術の直観に反する算術体系であり、次のような方程式を含む。${\displaystyle 1+1=1}$そして${\displaystyle 2+2=5}$^{[ 144 ]}これらは、現代物理学や日常生活における現実世界の状況を表現するために使用できます。例えば、次の式${\displaystyle 1+1=1}$これは、雨粒が1つ別の雨粒に加わると、2つの別々の実体のままではなく、1つになるという観察を説明するために使用できます。^{[ 145 ]}

算数教育は初等教育の一部です。これは、子どもたちが最初に触れる数学教育の形態の一つです。初等算数の目的は、生徒に数の基本的な感覚を身につけさせ、足し算、引き算、掛け算、割り算などの基本的な数値演算に慣れさせることです。^{[ 185 ]}通常は、ビーズを数える、クラスを同じ人数のグループに分ける、物を買うときにお釣りを計算するなど、具体的なシナリオに関連して導入されます。初期の算数教育でよく使われるツールは、数直線、足し算と掛け算の表、数え棒、そろばんです。^{[ 186 ]}

後の段階では、より抽象的な理解に焦点を当て、負の数、分数、実数、複素数などのさまざまな種類の数を生徒に紹介します。さらに、指数、平方根の抽出、対数などのより高度な数値演算を扱います。^{[ 187 ]}また、幾何学的形状の記述への応用や代数における変数の使用など、算術演算が数学の他の分野でどのように使用されているかを示します。もう1つの側面は、複雑な算術問題を解くためのアルゴリズムと電卓の使用を生徒に教えることです。^{[ 188 ]}

算術の心理学は、人間や動物がどのように数を学び、数を表現し、数を使って計算するかに興味を持っています。数学の問題がどのように理解され、解決されるか、また算術能力が知覚、記憶、判断、意思決定とどのように関連しているかを調べます。^{[ 189 ]}例えば、具体的な物の集合が知覚の中で最初にどのように遭遇し、その後どのように数と関連付けられるかを調査します。^{[ 190 ]}さらに、数値計算と表現を形成するための言語の使用との関係についても研究しています。^{[ 191 ]}心理学はまた、生得的な能力としての算術の生物学的起源を探求しています。これは、世界をうまく表現し、空間ナビゲーションなどのタスクを実行するために必要な算術のような操作を実行する前言語的および前記号的な認知プロセスに関係しています。^{[ 192 ]}

心理学で研究されている概念の 1 つは数的リテラシーです。これは、数値概念を理解し、具体的な状況に適用し、それに基づいて推論する能力です。基本的な数感覚に加え、数量を推定したり比較したりする能力も含まれます。さらに、数体系で数を記号的に表現する能力、数値データを解釈する能力、算術計算を評価する能力も含まれます。^{[ 193 ]}数的リテラシーは、多くの学問分野において重要なスキルです。数的リテラシーの欠如は、学業の成功を阻害し、例えば住宅ローン計画や保険契約を誤解するなど、日常生活における経済的な判断ミスにつながる可能性があります。^{[ 194 ]}

算術の哲学は、数と算術演算の根底にある基本的な概念と原理を研究する。それは、数の性質と存在論的地位、算術と言語および論理の関係、そして算術の知識をどのように獲得できるかを探求する。^{[ 195 ]}

プラトン主義によれば、数は精神から独立した存在であり、時空外の抽象的な対象として、また因果的な力なしに存在します。 ^{[ 196 ] [ j ]}この見解は、数学的対象は精神的な構成物であると主張する直観主義者によって否定されています。^{[ 198 ]}さらに、数学的真理は論理的真理に還元できるとする論理主義[ ^{199 ]}、および数学的原理は、規則^によって支配される活動の外にある実体に対応すると主張することなく、記号の操作方法に関する規則であると述べる形式主義[ ^{200 ]があります。}

算術の認識論における伝統的な支配的な見解は、算術の真理は先験的に知ることができるというものである。これは、感覚経験に頼ることなく、思考のみによって知ることができることを意味する。^{[ 201 ]}この見解の支持者の中には、算術の知識は生得的であると主張する者もいれば、数学的真理を把握できる何らかの形の合理的直観が存在すると主張する者もいる。 ^{[ 202 ]}ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインのような自然主義哲学者によって、より最近の別の見解が提案された。彼らは、数学的原理は、経験科学によって記述される感覚世界に最終的に基づく高レベルの一般化であると主張する。^{[ 203 ]}

算術は多くの分野に関連しています。日常生活では、買い物でのお釣りの計算、家計の管理、料理のレシピを異なる人数に合わせて調整する際に必要になります。企業は算術を使って利益と損失を計算し、市場動向を分析します。工学分野では、量の測定、荷重と力の計算、構造物の設計に使用されます。^{[ 204 ]}暗号化は、データやメッセージを暗号化することで機密情報を保護するために算術演算に依存しています。^{[ 205 ]}

算術は、数値演算に依存する多くの数学分野と密接に関係しています。代数学は、変数を用いた方程式を解くために算術原理に依存しています。これらの原理は、変化率や曲線下の面積を決定しようとする微積分学においても重要な役割を果たしています。幾何学は図形の特性を測定するために算術演算を使用し、統計学は数値データを分析するためにこれらを利用します。^{[ 206 ]}算術演算は数学全体にわたって重要であるため、算術の影響は物理学、コンピュータ科学、経済学などのほとんどの科学に及んでいます。これらの演算は、計算、問題解決、データ分析、アルゴリズムで使用され、科学研究、技術開発、経済モデリングに不可欠なものとなっています。^{[ 207 ]}