三角関数による置換

積分において

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}},}$$

使用する場合があります

$${\displaystyle x=a\sin \theta ,\quad dx=a\cos \theta \,d\theta ,\quad \theta =\arcsin {\frac {x}{a}}.}$$

それから、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\[6pt]&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}\theta )}}}\\[6pt]&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta }}}\\[6pt]&=\int d\theta \\[6pt]&=\theta +C\\[6pt]&=\arcsin {\frac {x}{a}}+C.\end{aligned}}}$$

上記のステップでは、${\displaystyle a>0}$そして${\displaystyle \cos \theta >0.}$私たちは選ぶことができます${\displaystyle a}$主な根源となる${\displaystyle a^{2},}$そして制限を課す${\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$逆正弦関数を用いることによって。

定積分の場合、積分範囲がどのように変化するかを把握する必要があります。例えば、${\displaystyle x}$から${\displaystyle 0}$に${\displaystyle a/2,}$それから${\displaystyle \sin \theta }$から${\displaystyle 0}$に${\displaystyle 1/2,}$それで${\displaystyle \theta }$から${\displaystyle 0}$に${\displaystyle \pi /6.}$ それから、

$${\displaystyle \int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int _{0}^{\pi /6}d\theta ={\frac {\pi }{6}}.}$$

境界を選択する際には注意が必要です。上記の積分では、${\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$、${\displaystyle \theta }$からしか行けない${\displaystyle 0}$に${\displaystyle \pi /6.}$この制約を無視すれば、${\displaystyle \theta }$から行く${\displaystyle \pi }$に${\displaystyle 5\pi /6,}$これは実際の値の負の値をもたらすことになるだろう。

あるいは、境界条件を適用する前に不定積分を完全に評価します。その場合、原始関数は次のようになります。

$${\displaystyle \int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right){\Biggl |}_{0}^{a/2}=\arcsin \left({\frac {1}{2}}\right)-\arcsin(0)={\frac {\pi }{6}}}$$以前と同様。

積分

$${\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx,}$$

評価は${\textstyle x=a\sin \theta ,\,dx=a\cos \theta \,d\theta ,\,\theta =\arcsin {\dfrac {x}{a}},}$どこ${\displaystyle a>0}$となることによって${\textstyle {\sqrt {a^{2}}}=a,}$そして${\textstyle -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2}$アークサインの範囲によって、${\displaystyle \cos \theta \geq 0}$そして${\textstyle {\sqrt {\cos ^{2}\theta }}=\cos \theta .}$

それから、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta }}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}\theta )}}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(\cos ^{2}\theta )}}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int (a\cos \theta )(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \cos ^{2}\theta \,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \left({\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)\,d\theta \\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\theta +{\frac {1}{2}}\sin 2\theta \right)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}(\theta +\sin \theta \cos \theta )+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{a}}{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{2}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C.\end{aligned}}}$$

定積分の場合、置換を行うと積分範囲が変わり、次の式を用いて決定されます。${\textstyle \theta =\arcsin {\dfrac {x}{a}},}$値の範囲は${\textstyle -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2.}$あるいは、境界項を原始関数の式に直接適用してもよい。

例えば、定積分

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx,}$$

置換によって評価される可能性がある${\displaystyle x=2\sin \theta ,\,dx=2\cos \theta \,d\theta ,}$境界は以下を使用して決定されます${\textstyle \theta =\arcsin {\dfrac {x}{2}}.}$

なぜなら${\displaystyle \arcsin(1/{2})=\pi /6}$そして${\displaystyle \arcsin(-1/2)=-\pi /6,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4-4\sin ^{2}\theta }}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4(1-\sin ^{2}\theta )}}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4(\cos ^{2}\theta )}}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}(2\cos \theta )(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\cos ^{2}\theta \,d\theta \\[6pt]&=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\left({\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)\,d\theta \\[6pt]&=2\left[\theta +{\frac {1}{2}}\sin 2\theta \right]_{-\pi /6}^{\pi /6}=[2\theta +\sin 2\theta ]{\Biggl |}_{-\pi /6}^{\pi /6}\\[6pt]&=\left({\frac {\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi }{3}}\right)-\left(-{\frac {\pi }{3}}+\sin \left(-{\frac {\pi }{3}}\right)\right)={\frac {2\pi }{3}}+{\sqrt {3}}.\end{aligned}}}$$

一方、境界項を先に得られた原始関数の式に直接適用すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx&=\left[{\frac {2^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{2}}+{\frac {x}{2}}{\sqrt {2^{2}-x^{2}}}\right]_{-1}^{1}\\[6pt]&=\left(2\arcsin {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4-1}}\right)-\left(2\arcsin \left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {-1}{2}}{\sqrt {4-1}}\right)\\[6pt]&=\left(2\cdot {\frac {\pi }{6}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)-\left(2\cdot \left(-{\frac {\pi }{6}}\right)-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\\[6pt]&={\frac {2\pi }{3}}+{\sqrt {3}}\end{aligned}}}$$ 以前と同様。

積分において

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}}$$

私たちは書くかもしれない

$${\displaystyle x=a\tan \theta ,\quad dx=a\sec ^{2}\theta \,d\theta ,\quad \theta =\arctan {\frac {x}{a}},}$$

積分は次のようになる

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}+a^{2}\tan ^{2}\theta }}\\[6pt]&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}(1+\tan ^{2}\theta )}}\\[6pt]&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}\sec ^{2}\theta }}\\[6pt]&=\int {\frac {d\theta }{a}}\\[6pt]&={\frac {\theta }{a}}+C\\[6pt]&={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C,\end{aligned}}}$$

提供された${\displaystyle a\neq 0.}$

定積分の場合、置換を行うと積分範囲が変わり、次の式を用いて決定されます。${\displaystyle \theta =\arctan {\frac {x}{a}},}$値の範囲は${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}}.}$あるいは、境界項を原始関数の式に直接適用してもよい。

例えば、定積分

$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {4\,dx}{1+x^{2}}}\,}$$

置換によって評価される可能性がある${\displaystyle x=\tan \theta ,\,dx=\sec ^{2}\theta \,d\theta ,}$境界は以下を使用して決定されます${\displaystyle \theta =\arctan x.}$

以来${\displaystyle \arctan 0=0}$そして${\displaystyle \arctan 1=\pi /4,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {4\,dx}{1+x^{2}}}&=4\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\sec ^{2}\theta \,d\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\sec ^{2}\theta \,d\theta }{\sec ^{2}\theta }}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}d\theta \\[6pt]&=(4\theta ){\Bigg |}_{0}^{\pi /4}=4\left({\frac {\pi }{4}}-0\right)=\pi .\end{aligned}}}$$

一方、境界項を原始関数の式に直接適用すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {4\,dx}{1+x^{2}}}\,&=4\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\\[6pt]&=4\left[{\frac {1}{1}}\arctan {\frac {x}{1}}\right]_{0}^{1}\\[6pt]&=4(\arctan x){\Bigg |}_{0}^{1}\\[6pt]&=4(\arctan 1-\arctan 0)\\[6pt]&=4\left({\frac {\pi }{4}}-0\right)=\pi ,\end{aligned}}}$$ 以前と同じ。

積分

$${\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,{dx}}$$

評価は${\displaystyle x=a\tan \theta ,\,dx=a\sec ^{2}\theta \,d\theta ,\,\theta =\arctan {\frac {x}{a}},}$

どこ${\displaystyle a>0}$となることによって${\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=a,}$そして${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$アークタンジェントの範囲によって、${\displaystyle \sec \theta >0}$そして${\displaystyle {\sqrt {\sec ^{2}\theta }}=\sec \theta .}$

それから、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}+a^{2}\tan ^{2}\theta }}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(1+\tan ^{2}\theta )}}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}\sec ^{2}\theta }}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int (a\sec \theta )(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \sec ^{3}\theta \,d\theta .\\[6pt]\end{aligned}}}$$secant 3 乗の積分は 部分積分を用いて評価できます。その結果、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx&={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left({\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\cdot {\frac {x}{a}}+\ln \left|{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}+{\frac {x}{a}}\right|\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}+a^{2}\ln \left|{\frac {x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{a}}\right|\right)+C.\end{aligned}}}$$

この公式の応用例として、放物線の弧長を計算したい場合を考えてみましょう。${\displaystyle y=x^{2}}$から${\displaystyle x=0}$そして${\displaystyle x=2}$弧長を次のように表す。${\displaystyle s}$そうすれば

$${\displaystyle s=\int _{0}^{2}{\sqrt {1+(y')^{2}}}dx=\int _{0}^{2}{\sqrt {1+4x^{2}}}dx=2\int _{0}^{2}{\sqrt {{\frac {1}{4}}+x^{2}}}dx.}$$

この場合、${\displaystyle a={\frac {1}{2}}}$それによって

$${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\left(x{\sqrt {{\frac {1}{4}}+x^{2}}}+{\frac {1}{4}}\ln \left|{\frac {x+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+x^{2}}}}{\frac {1}{2}}}\right|\right)_{x=0}^{x=2}\\&=2{\sqrt {\frac {17}{4}}}+{\frac {1}{4}}\ln \left(4+2{\sqrt {\frac {17}{4}}}\right)\\&={\sqrt {17}}+{\frac {1}{4}}\ln(4+{\sqrt {17}})\\&\approx 4.64678\\\end{aligned}}}$$