積分定数

微積分学において、積分定数は、しばしば で表される。${\displaystyle C}$（または${\displaystyle c}$は、関数の原始関数に加えられる定数項です。${\displaystyle f(x)}$不定積分を示す${\displaystyle f(x)}$（つまり、すべての反微分値の集合）${\displaystyle f(x)}$連結領域上の ) は、加法定数を除いてのみ定義されます。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}この定数は、原始関数の構成に内在する曖昧さを表しています。

より具体的には、関数が${\displaystyle f(x)}$は区間上で定義され、${\displaystyle F(x)}$は、${\displaystyle f(x),}$すると、すべての反微分のセットは${\displaystyle f(x)}$関数によって与えられる${\displaystyle F(x)+C,}$どこ${\displaystyle C}$は任意の定数です（つまり、の値は任意です）${\displaystyle C}$作る${\displaystyle F(x)+C}$有効な原始関数）。そのため、不定積分はしばしば次のように書かれます。${\textstyle \int f(x)\,dx=F(x)+C,}$^{[ 4 ]}ただし、簡略化のために積分定数が積分リスト。

定数関数の導関数はゼロです。一度原始関数を見つけると、${\displaystyle F(x)}$関数の場合${\displaystyle f(x),}$定数を加えたり引いたりする${\displaystyle C}$すると別の逆微分が得られます。$\displaystyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x).}$この定数は、少なくとも1つの原始関数を持つ関数は、無限個の原始関数を持つということを表す方法である。

させて${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$そして${\displaystyle G:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$は至るところで微分可能な2つの関数であると仮定する。${\displaystyle F\,'(x)=G\,'(x)}$すべての実数xに対して、実数が存在する。${\displaystyle C}$そのため${\displaystyle F(x)-G(x)=C}$すべての実数xに対して。

これを証明するために、次の点に注目してください。${\displaystyle [F(x)-G(x)]'=0.}$それで${\displaystyle F}$に置き換えることができます${\displaystyle FG,}$そして${\displaystyle G}$定数関数によって${\displaystyle 0,}$目標は、導関数が常にゼロであるような、あらゆる場所で微分可能な関数は定数関数でなければならないことを証明することである。

実数を選択してください${\displaystyle a,}$そして${\displaystyle C=F(a).}$任意のxに対して、微積分学の基本定理と、導関数が${\displaystyle F}$消えるということは、

$${\displaystyle {\begin{aligned}&0=\int _{a}^{x}F'(t)\,dt\\&0=F(x)-F(a)\\&0=F(x)-C\\&F(x)=C\\\end{aligned}}}$$

これにより、${\displaystyle F}$定数関数です。

この証明において重要な2つの事実があります。まず、実数直線は連結です。実数直線が連結でない場合、固定されたaから任意のxまで積分できるとは限りません。例えば、区間 [0,1] と [2,3] の和集合上で定義された関数を求め、a が0 の場合、関数は 1 と 2 の間で定義されていないため、0 から 3 まで積分することはできません。ここでは、領域の連結成分ごとに1 つずつ、2 つの定数が存在します。一般に、定数を局所的に定数となる関数に置き換えることで、この定理を非連結領域に拡張できます。例えば、積分定数は 2 つ存在します。${\textstyle \int dx/x}$、そして無限に多くの${\textstyle \int \tan x\,dx}$例えば、1/ xの積分の一般形は次のようになります。^{[ 5 ] [ 6 ]}

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}}$$

2番、${\displaystyle F}$そして${\displaystyle G}$は至るところで微分可能であると仮定した。${\displaystyle F}$そして${\displaystyle G}$微分可能点が1点でもない場合、定理は成り立たない可能性がある。例として、${\displaystyle F(x)}$をヘヴィサイド階段関数とし、 xが負の値の場合はゼロ、 xが非負の値の場合は 1とする。${\displaystyle G(x)=0.}$すると、${\displaystyle F}$定義される場所ではゼロであり、${\displaystyle G}$は常にゼロです。しかし、${\displaystyle F}$そして${\displaystyle G}$定数分だけ差がないと仮定しても、${\displaystyle F}$そして${\displaystyle G}$関数が至るところで連続かつほとんど至るところで微分可能である場合でも、定理は依然として成り立たない。例として、${\displaystyle F}$カントール関数にして、${\displaystyle G=0.}$

定数の加算と減算は、同じ関数の異なる原始関数を求める際に利用できる唯一の柔軟性であることがわかります。つまり、すべての原始関数は定数を除いて同じです。この事実を表現するには、${\displaystyle \cos(x),}$次のように書くことができる。 $${\displaystyle \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C,}$$ どこ${\displaystyle C}$は積分定数である。以下のすべての関数が の原始関数であることは容易にわかる。${\displaystyle \cos(x)}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}\sin(x)+{\frac {d}{dx}}C\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}}$$

積分定数を含める必要があるのは、状況によっては必要な場合もあれば、そうでない場合もあります。例えば、微積分学の基本定理を用いて定積分を計算する場合、積分定数は常に自身と相殺されるため、無視することができます。

しかし、不定積分の計算方法が異なると、それぞれ暗黙のうちに異なる積分定数を含む複数の原始関数が得られる可能性があり、特定の選択肢が最も単純であるとは限りません。たとえば、${\displaystyle 2\sin(x)\cos(x)}$少なくとも3つの異なる方法で統合できる。

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-\cos ^{2}(x)+C=&&\sin ^{2}(x)-1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)-{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+C\\\end{alignedat}}}$$さらに、定数を省略したり、ゼロに設定したりすると、初期値条件を持つ問題など、多くの問題に対処することが困難になる場合があります。適切な特殊解を特定するには、任意定数を含む一般解が必要になることがよくあります。たとえば、の原始関数を求めるには、${\displaystyle \cos(x)}$x = πで 400 の値をとる場合、${\displaystyle C}$（この場合）${\displaystyle C=400}$)

積分定数は、微分方程式の表現においても暗黙的または明示的に現れる。ほとんどすべての微分方程式は複数の解を持ち、それぞれの定数は適切に定式化された初期値問題の唯一の解を表す。

抽象代数学からも追加の正当化が得られます。実数上のすべての（適切な）実数値関数の空間はベクトル空間であり、微分演算子は${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$は線形演算子です。演算子${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$関数が定数である場合に限り、関数をゼロに写像します。したがって、${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$はすべての定数関数の空間です。不定積分とは、与えられた関数の逆像を見つけることに相当します。与えられた関数には標準的な逆像はありませんが、そのようなすべての逆像の集合は剰余類を形成します。定数を選択することは、剰余類の要素を選択することと同じです。この文脈では、初期値問題を解くことは、初期条件によって与えられる超平面上にあると解釈されます。