静止点

数学、特に微積分学において、1変数の微分可能関数の停留点とは、関数のグラフ上で関数の導関数がゼロになる点のことである。^{[1] [2] [3]}非公式には、関数が増加または減少を「停止」する点である（これが名前の由来）。

複数の実変数の微分可能関数の場合、停留点とは、グラフの表面上でその偏導関数がすべてゼロになる点（つまり、勾配のノルムがゼロになる点）のことです。実数値関数の停留点の概念は、複素数値関数の臨界点として一般化されています。

1 変数関数のグラフでは、静止点は簡単に視覚化できます。静止点は、グラフ上で接線が水平 (つまり、x軸に平行) になる点に対応します。2 変数関数の場合、静止点は、接線平面がxy平面に平行になる点に対応します。

静止点の概念により、コペルニクスの時代以前には説明できなかった天文現象を数学的に記述することができる。静止点とは、天球上の惑星の見かけの軌道上の点であり、惑星の運動が停止したように見え、その後反対方向に再開する点である（見かけの逆行運動を参照）。これは、惑星の軌道が黄道円に投影されるために起こる。

微分可能な関数の転換点とは、導関数が孤立した零点を持ち、その点で符号が変わる点である。^[2]転換点は、相対的最大値または相対的最小値（極小値および極大値とも呼ばれる）のいずれかである。したがって、転換点は定常点であるが、すべての定常点が転換点であるわけではない。関数が2回微分可能な場合、転換点ではない孤立した定常点は水平変曲点である。たとえば、関数はx = 0に定常点を持ち、これも変曲点であるが、転換点ではない。^[3]${\displaystyle x\mapsto x^{3}}$

実数値関数の孤立した定常点は、1次導関数テストによって4種類に分類されます。 ${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

• 極小値（最小転換点または相対的最小値）は、関数の導関数が負から正に変化する点です。
• 極大値（最大転換点または相対的最大値）は、関数の導関数が正から負に変化する点です。

• 上昇変曲点（または屈曲点）とは、関数の導関数が定常点の両側で正になる点であり、そのような点は凹面の変化を示します。
• 下降変曲点（または屈曲点）とは、関数の導関数が定常点の両側で負になる点であり、そのような点は凹面の変化を示します。

最初の 2 つのオプションは、まとめて「局所的極値」と呼ばれます。同様に、グローバル (または絶対) 最大値またはグローバル (または絶対) 最小値のいずれかである点は、グローバル (または絶対) 極値と呼ばれます。最後の 2 つのオプション (局所的極値ではない静止点) は、鞍点と呼ばれます。

フェルマーの定理によれば、関数のグローバルな極値は境界上または定常点で必ず発生します。 ${\displaystyle C^{1}}$

静止点の位置と性質を決定することは、微分可能な関数の曲線を描くのに役立ちます。方程式f ′ ( x ) = 0を解くと、すべての静止点のx座標が返されます。y座標は、当然のことながら、それらのx座標での関数値です。xでの静止点の特定の性質は、2 次導関数 f″ ( x )を調べることで決定できる場合があります。

• f″ ( x )<0の場合、 xにおける停留点は下に凹状になり、最大極値になります。
• f″ ( x ) > 0の場合、 xにおける停留点は上に凹状になり、最小の極値になります。
• f″ ( x ) = 0の場合、静止点の性質は他の手段、多くの場合はその点の周りの符号の変化に注目することによって決定されなければなりません。

静止点の性質を判断するより簡単な方法は、静止点間の関数値を調べることです (関数が定義され、静止点間で連続している場合)。

変曲点の簡単な例は関数f ( x ) = x ³です。点x = 0 の周囲に明らかな凹面の変化があり、これは微積分によって証明できます。 fの 2 次導関数はどこでも連続な 6 xであり、x = 0 ではf″ = 0 となり、この点の周囲で符号が変わります。したがって、x = 0 は変曲点です。

より一般的には、実数値関数の定常点とは、あらゆる方向の導関数がゼロになる点x ₀、つまり勾配がゼロになる点です。 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

関数f ( x ) = x ^{4の場合、} f ′ (0) = 0 かつf″ (0) = 0 です。 f″ (0) = 0であっても、この点は変曲点ではありません。 その理由は、 f ′ ( x )の符号が負から正に変わるからです。

関数f ( x ) = sin( x )の場合、 f ′ (0) ≠ 0 かつ f″ (0) = 0 となります。しかし、これは定常点ではなく、むしろ変曲点です。これは、凹面が下向きの凹面から上向きの凹面へと変化し、f ′ ( x ) の符号が変化せず、正のままとなるためです。

関数f ( x ) = x ^{3の場合、} f ′ (0) = 0 かつf″ (0) = 0となります。これは、定常点であると同時に変曲点でもあります。これは、凹面が下向きの凹面から上向きの凹面へと変化し、 f ′ ( x )の符号が変わらず、正のままとなるためです。

関数f ( x ) = 0 の場合、f ′ (0) = 0 かつf″ (0) = 0 となります。点 0 は、 f ′ ( x ) とf″ ( x )の符号が変化しないため、転換点でも水平変曲点でもない非孤立の静止点です。

関数f ( x ) = x ⁵ sin(1/ x ) ( x ≠ 0、f (0) = 0の場合) は、 f ′ ( x ) とf″ ( x ) が両方とも連続し、f ′ (0) = 0 かつf″ (0) = 0 である例を示しますが、f ( x ) には極大値、極小値、または 0 での変曲点がありません。したがって、0は孤立していない定常点です。

• 最適化（数学）
• フェルマーの定理
• 微分テスト
• 固定小数点（数学）
• 鞍点

• 4次多項式の変曲点 -結び目を切ると黄金比が意外に現れる