統合の限界

微積分学や数学解析学では、積分の積分限界（または積分境界）は $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$

閉じた有界区間上で定義されたリーマン可積分 関数 の は実数と であり、 は下限、 は上限と呼ばれます。有界な領域は、 と の内側の領域として考えることができます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

例えば、関数は区間上で定義され 、積分の極限はおよびである。^[1]${\displaystyle f(x)=x^{3}}$${\displaystyle [2,4]}$ $${\displaystyle \int _{2}^{4}x^{3}\,dx}$$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 4}$

置換積分では、積分される新しい関数によって積分の限界が変わります。導出する関数 では、および がについて解かれます。一般に、 およびです。したがって、および はについて解かれ、下限は で、上限は です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f(u)}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))g'(x)\ dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du}$$${\displaystyle u=g(x)}$${\displaystyle du=g'(x)\ dx}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle u}$${\displaystyle g(a)}$${\displaystyle g(b)}$

例えば、 $${\displaystyle \int _{0}^{2}2x\cos(x^{2})dx=\int _{0}^{4}\cos(u)\,du}$$

ここで、およびである。したがって、およびである。したがって、積分の新しい限界は、およびである。^[2]${\displaystyle u=x^{2}}$${\displaystyle du=2xdx}$${\displaystyle f(0)=0^{2}=0}$${\displaystyle f(2)=2^{2}=4}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 4}$

他の代替品についても同様です。

積分極限は不定積分に対しても定義することができ、 と の積分極限はいずれ も aとb となる。不定積分 または の場合、 積分極限はそれぞれaと∞、または −∞ とbとなる。^[3]$${\displaystyle \lim _{z\to a^{+}}\int _{z}^{b}f(x)\,dx}$$$${\displaystyle \lim _{z\to b^{-}}\int _{a}^{z}f(x)\,dx}$$ $${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx}$$

もし、ならば^[4]${\displaystyle c\in (a,b)}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\ dx=\int _{a}^{c}f(x)\ dx\ +\int _{c}^{b}f(x)\ dx.}$$

• 積分
• リーマン積分
• 定積分