二次関数

数学では、1変数の二次関数は、次の形式の関数です^{[ 1 ]}$${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$$ と共に​${\displaystyle a\neq 0}$⁠、そこで⁠${\displaystyle x}$は変数であり、${\displaystyle a}$⁠、 ⁠${\displaystyle b}$⁠、そして⁠${\displaystyle c}$は係数です。式​${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c}$⁠ 、特に関数としてではなくそれ自体を対象として扱う場合、 は2 次多項式、つまり 2 次多項式です。初等数学では、多項式とその関連する多項式関数はめったに区別されず、二次関数と二次多項式という用語はほぼ同義であり、しばしば二次と略されます。

実数1変数二次関数のグラフは放物線です。二次関数をゼロと等しいとおくと、二次方程式が得られます。二次方程式の解は、対応する二次関数の零点（または根）であり、零点は2つ、1つ、または0個存在する場合があります。解は二次方程式の解の公式で表されます。

二次多項式または二次関数は、複数の変数を含むことができます。たとえば、変数の 2 つの二次関数は、${\displaystyle x}$そして​​${\displaystyle y}$⁠は

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f,}$

少なくとも以下のいずれか1つを含む${\displaystyle a}$⁠、 ⁠${\displaystyle b}$⁠、そして⁠${\displaystyle c}$ゼロとは等しくない。一般に、このような二次関数の零点は、円錐曲線（円またはその他の楕円、放物線、または双曲線）を描きます。${\displaystyle x}$⁠ – ⁠${\displaystyle y}$平面。二次関数は、任意の数の変数を持つことができます。その零点の集合は二次曲面を形成し、3変数の場合は曲面、一般の場合は超曲面となります。

形容詞quadratic はラテン語quadrātum (「正方形」)に由来します。 2 乗された項は⁠${\displaystyle \textstyle x^{2}}$は、一辺が の正方形の面積であるため、代数学では正方形と呼ばれます。${\displaystyle x}$⁠ .

単変数二次関数は、次の 3 つの形式で表現できます。^{[ 2 ]}

• ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$標準形 と呼ばれ、
• ${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})}$これは因数分解形と呼ばれ、r ₁とr ₂は二次関数の根と対応する二次方程式の解です。
• ${\displaystyle f(x)=a(xh)^{2}+k}$これは頂点形式と呼ばれ、hとkはそれぞれ頂点のx座標とy座標です。

係数a は、3 つの形式すべてで同じ値です。標準形式を因数分解形式に変換するには、 2 つの根r ₁とr ₂を決定するために二次方程式の解の公式のみが必要です。標準形式を頂点形式に変換するには、平方完成と呼ばれるプロセスが必要です。因数分解形式 (または頂点形式) を標準形式に変換するには、因数を乗算、展開、および/または分配する必要があります。

形式に関係なく、一変数二次関数のグラフ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$これは放物線です（右図参照）。言い換えれば、これは2変数二次方程式のグラフです。${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$。

• a > 0の場合、放物線は上向きに開きます。
• a < 0の場合、放物線は下向きに開きます。

係数a はグラフの曲率の度合いを制御します。a の値が大きいほど、 グラフはより閉じた（鋭く曲がった）形状になります。

係数bとaは、放物線の対称軸の位置 (頂点のx座標と頂点形式のhパラメータでもある) を制御し、その位置は

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.}$

係数cは放物線の高さを制御します。より具体的には、放物線がy軸と交わる点の高さです。

単変数二次関数の平方根は、4つの円錐曲線のうちの1つを生み出し、ほとんどの場合、楕円または双曲線になります。

もし${\displaystyle a>0,}$すると方程式${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$両辺を二乗するとわかるように、これは双曲線を表しています。双曲線の軸の方向は、対応する放物線の最小点の縦座標によって決まります。${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c.}$縦座標が負の場合、双曲線の長軸（頂点を通る軸）は水平になり、縦座標が正の場合、双曲線の長軸は垂直になります。

もし${\displaystyle a<0,}$すると方程式${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$円または他の楕円、あるいは何も表さない。対応する放物線の 最大点の縦座標が${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c}$縦座標が正の場合、その平方根は楕円を描きますが、縦座標が負の場合は、空の点の軌跡を描きます。

関数を反復処理するには${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$関数を繰り返し適用し、ある反復の出力を次の反復の入力として使用する。

解析形式を常に導出できるとは限らない${\displaystyle f^{(n)}(x)}$これは、n^番目の反復を意味します。${\displaystyle f(x)}$（上付き文字は負の数にも拡張でき、逆関数の反復を表します。）${\displaystyle f(x)}$逆関数が存在する場合。）しかし、解析的に扱いやすいケースもいくつかあります。

例えば、反復方程式の場合

${\displaystyle f(x)=a(xc)^{2}+c}$

1つは

${\displaystyle f(x)=a(xc)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),}$

どこ

${\displaystyle g(x)=ax^{2}}$そして${\displaystyle h(x)=xc.}$

したがって帰納法によって、

${\displaystyle f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))}$

入手できる場所${\displaystyle g^{(n)}(x)}$簡単に計算できます

${\displaystyle g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.}$

最後に、

${\displaystyle f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(xc)^{2^{n}}+c}$

解決策として。

fとgの関係についての詳細は、「位相共役」を参照してください。また、一般的な反復におけるカオス的な挙動については、「複素二次多項式」を参照してください。

ロジスティックマップ

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}<1}$

パラメータ2< r <4の場合、特定のケースで解くことができ、そのうちの1つはカオス的であり、もう1つはそうではない。カオス的ケースr =4の場合、解は次のようになる。

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}$

ここで初期条件パラメータは${\displaystyle \theta }$は$\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})}$合理的な${\displaystyle \theta }$有限回の反復後${\displaystyle x_{n}}$周期的な数列に写像される。しかし、ほとんどすべての${\displaystyle \theta }$は非合理的であり、非合理的な${\displaystyle \theta }$、${\displaystyle x_{n}}$決して繰り返されない――非周期的であり、初期条件に敏感に依存するため、カオス的であると言われる。

r = 2の場合のロジスティック写像の解は

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}}$

のために${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$。 以来${\displaystyle (1-2x_{0})\in (-1,1)}$任意の値に対して${\displaystyle x_{0}}$不安定な固定点 0 以外の項${\displaystyle (1-2x_{0})^{2^{n}}}$nが無限大に近づくと0になるので、${\displaystyle x_{n}}$安定した固定点に収束する$\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.}$

二変数二次関数は、次の形式の2次多項式である。

${\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F,}$

ここで、A、B、C、D、Eは固定係数であり、Fは定数項である。このような関数は二次曲面を表す。${\displaystyle f(x,y)}$ゼロに等しいとは、曲面と平面の交点を表す。${\displaystyle z=0,}$これは円錐曲線に相当する点の軌跡である。

• 二次形式
• 二次方程式
• 円錐曲線の行列表現
• クアドリック
• 複素二次写像の周期点
• 数学関数の一覧

• Glencoe 、 McGraw-Hill（2003）。代数1。Glencoe /McGraw Hill。ISBN 9780078250835。
• サクソン、ジョン・H.（1991年5月）。代数学2。サクソン出版。ISBN 9780939798629。