実変数の関数

数学的解析、および幾何学、応用数学、工学、自然科学への応用において、実変数の関数とは、その定義域が実数、または正の長さの区間を含むの部分集合である関数のことです。検討および研究される実関数のほとんどは、ある区間で微分可能です。最も広く検討されているそのような関数は実関数で、実変数の実数値関数、つまり実数の集合を共定義域とする実変数の関数です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

それでも、実変数の関数の余域は任意の集合になり得ます。しかし、余域は実数上の-ベクトル空間の構造を持つとしばしば想定されます。つまり、余域はユークリッド空間、座標ベクトル、指定されたサイズの実数の行列の集合、または複素数や四元数などの-代数になります。余域の - ベクトル空間の構造は、関数上に - ベクトル空間の構造を誘導します。余域が- 代数の構造を持つ場合、関数についても同じことが当てはまります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

実変数の関数の像は、共域内の曲線です。この文脈では、曲線を定義する関数は、曲線の 媒介変数方程式と呼ばれます。

実変数の関数の共域が有限次元ベクトル空間である場合、関数は実関数の列として見ることができます。これはアプリケーションでよく使用されます。

実関数は、の部分集合からへの関数です。ここで、 は通常どおり実数の集合を表します。つまり、実関数の定義域はの部分集合であり、その余域は です。一般に、定義域には正の長さの区間が含まれていると想定されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

一般的に使用される多くの実関数では、定義域は実数の集合全体であり、関数は定義域のどの点でも連続かつ微分可能です。これらの関数は定義されており、どこでも連続かつ微分可能であると言われています。これは次の場合です。

• 定数関数と線形関数を含むすべての多項式関数
• 正弦関数と余弦関数
• 指数関数

いくつかの関数はどこでも定義されていますが、いくつかの点では連続していません。例えば

• ヘヴィサイドのステップ関数はどこでも定義されますが、ゼロでは連続ではありません。

いくつかの関数は定義されていてどこでも連続だが、どこでも微分可能というわけではない。例えば

• 絶対値はどこでも定義され連続しており、ゼロを除くすべての場所で微分可能です。
• 3 次根は、どこでも定義され連続しており、ゼロを除くすべての場所で微分可能です。

多くの一般的な関数はどこでも定義されているわけではありませんが、定義されている場所ならどこでも連続かつ微分可能です。例:

• 有理関数は2 つの多項式関数の商であり、分母のゼロでは定義されません。
• kが任意の整数である場合、正接関数は定義されません。${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,}$
• 対数関数は変数の正の値に対してのみ定義されます。

いくつかの関数は、その領域全体で連続していますが、いくつかの点では微分できません。これは次の場合です。

• 平方根は変数の非負の値に対してのみ定義され、0 では微分できません (変数のすべての正の値に対しては微分可能です)。

実変数の実数値関数は、実数（一般に変数xで表される）を入力として受け取り、別の実数（一般にf ( x )で表される関数の値）を生成する関数です。簡単にするために、この記事では実変数の実数値関数を単に関数と呼びます。あいまいさを避けるため、発生する可能性のある他のタイプの関数は明示的に指定します。

いくつかの関数は変数のすべての実数値に対して定義されます（どこでも定義されていると言われています）。しかし、他のいくつかの関数は、変数の値が関数の定義域である の部分集合Xに含まれる場合にのみ定義されます。この定義域には、常に正の長さの区間が含まれているはずです。言い換えると、実変数の実数値関数は関数です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

その定義域X は正の長さの区間を含む のサブセットです。${\displaystyle \mathbb {R} }$

1 つの変数内の関数の簡単な例は次のようになります。

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {R} \,:\,x\geq 0\}}$

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

これはxの平方根です。

関数の像は、変数x がfの全定義域で実行されるときのfのすべての値の集合です。連結された定義域を持つ連続（定義については下記を参照）実数値関数の場合、像は区間または単一の値のいずれかです。後者の場合、関数は定数関数です。 ${\displaystyle f(x)}$

与えられた実数yの逆像は、方程式y = f ( x )の解の集合です。

複数の実変数を持つ関数の定義域は、明示的に定義されることもあるのサブセットです。実際、関数fの定義域XをサブセットY ⊂ Xに制限すると、形式的には別の関数、つまりfのYへの制限が得られ、これはf _{| Y}と表記されます。実際には、 fとf _{| Y を}同一視し、添え字_{| Y}を省略しても問題ない場合がよくあります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

逆に、連続性や解析接続などによって、与えられた関数の定義域を自然に拡大できる場合もあります。これは、実変数の関数の定義域を明示的に定義する価値がないことを意味します。

算術演算は、次のように関数に適用できます。

• あらゆる実数rに対して、定数関数 がどこでも定義されます。${\displaystyle (x)\mapsto r}$
• すべての実数rとすべての関数fに対して、関数はfと同じ定義域を持ちます（または、r = 0 の場合はどこでも定義されます）。${\displaystyle rf:(x)\mapsto rf(x)}$
• fとg がそれぞれXとY の領域にある関数で、X ∩ Y がの開集合を含む場合、 およびはX ∩ Y を含む領域を持つ関数です。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f+g:(x)\mapsto f(x)+g(x)}$${\displaystyle f\,g:(x)\mapsto f(x)\,g(x)}$

したがって、どこでも定義されているn変数の関数と、特定の点の近傍で定義されているn変数の関数は、どちらも実数 ( -代数) 上の可換代数を形成します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

同様に、 f ( x ) ≠ 0となるようなfの定義域内の点( x )の集合がの開集合を含む場合にのみ、 が関数であると定義できます。この制約は、上記の 2 つの代数が体ではないことを意味します。 ${\displaystyle 1/f:(x)\mapsto 1/f(x),}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

19 世紀後半まで、数学者は連続関数のみを検討していました。当時、位相空間と位相空間間の連続写像の正式な定義よりもかなり前に、1 つまたは複数の実変数の関数に対して連続性の概念が詳しく説明されていました。実変数の連続関数は数学のいたるところにあるため、位相空間間の連続写像の一般的な概念を参照せずにこの概念を定義することは価値があります。

連続性を定義するには、 2つの実変数のどこでも定義された関数である の 距離関数を考慮すると便利です。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

関数f がその定義域の内部にある点で連続であるとは、任意の正の実数εに対して、 となる正の実数φが存在し、 となるすべての に対してとなるときである。言い換えれば、φ は、 を中心とする半径φの区間のfによる像が、を中心とする長さ2 εの区間に含まれるように十分小さく選ぶことができる。関数が連続であるとは、その定義域の任意の点で連続する場合である。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$${\displaystyle x}$${\displaystyle d(x,a)<\varphi .}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(a).}$

実数値関数の極限は次のようになる。[ 1 ^]関数fの定義域Xの位相閉包内の点をaとする。関数fは、 x がaに向かうときに極限L を持ち、これは次のように表される。

${\displaystyle L=\lim _{x\to a}f(x),}$

次の条件が満たされる場合: 任意の正の実数ε > 0 に対して、正の実数δ > 0 が存在し、

${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$

定義域内の すべてのxに対して、

${\displaystyle d(x,a)<\delta .}$

極限が存在する場合、それは一意です。a がドメインの内部にある場合、関数がaで連続である場合にのみ極限が存在します。この場合、

${\displaystyle f(a)=\lim _{x\to a}f(x).}$

aがfの定義域の境界内にあり、f が a で極限を持つ場合、後者の式によりfの定義域をaまで「連続的に拡張」することができます。

実変数の関数を複数集めることができる。例えば、

${\displaystyle y_{1}=f_{1}(x)\,,\quad y_{2}=f_{2}(x)\,,\ldots ,y_{n}=f_{n}(x)}$

xでパラメータ化されたベクトルに変換します。

${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})=[f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x)]}$

ベクトルyの微分は、 i = 1, 2, ..., nに対するf _i ( x )のベクトル微分です。

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {y} }{dx}}=\left({\frac {dy_{1}}{dx}},{\frac {dy_{2}}{dx}},\ldots ,{\frac {dy_{n}}{dx}}\right)}$

変数xについて積分することにより、位置ベクトルr = r ( x )を持つxでパラメータ化された空間曲線に沿って線積分を実行することもできます。

${\displaystyle \int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot {\frac {d\mathbf {r} (x)}{dx}}dx}$

ここで、· はドット積、x = aおよびx = b は曲線の始点と終点です。

積分と微分の定義により、微積分の基本定理、部分積分、テイラーの定理などの主要な定理を定式化できます。積分と微分が混在したものを評価するには、積分記号の下での定理の微分を使用します。

実数値の暗黙関数は、 " y = f ( x )"という形式では記述されません。代わりに、空間^{2から の}ゼロ要素(通常のゼロ 0) へのマッピングが行われます。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{2}\to \{0\}}$

そして

${\displaystyle \phi (x,y)=0}$

は変数の方程式です。暗黙関数は関数を表現するより一般的な方法です。

${\displaystyle y=f(x)}$

すると、常に次のように定義できます。

${\displaystyle \phi (x,y)=y-f(x)=0}$

しかし、その逆は常に可能であるとは限らず、すべての暗黙関数がこの式の形式を持つわけではありません。

共通変数tを持つ関数r ₁ = r ₁ ( t )、r ₂ = r ₂ ( t )、...、r _n = r _n ( t )があるとすると、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} &\quad r_{2}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} &\cdots &\quad r_{n}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \\r_{1}=r_{1}(t)&\quad r_{2}=r_{2}(t)&\cdots &\quad r_{n}=r_{n}(t)\\\end{aligned}}}$

または一緒にすると：

${\displaystyle \mathbf {r} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}\,,\quad \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$

次にパラメータ化されたn組、

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=[r_{1}(t),r_{2}(t),\ldots ,r_{n}(t)]}$

1次元空間曲線を記述します。

ある定数t = cに対して点r ( t = c ) = a = ( a ₁ , a ₂ , ..., a _n )において、その点における曲線の 1 次元接線の方程式は、 r ₁ ( t )、r ₂ ( t )、 ...、r _n ( t )、およびrのtに関する常微分によって表されます。

${\displaystyle {\frac {r_{1}(t)-a_{1}}{dr_{1}(t)/dt}}={\frac {r_{2}(t)-a_{2}}{dr_{2}(t)/dt}}=\cdots ={\frac {r_{n}(t)-a_{n}}{dr_{n}(t)/dt}}}$

r = aにおける接線に垂直なn次元超平面の方程式は次のようになります。

${\displaystyle (p_{1}-a_{1}){\frac {dr_{1}(t)}{dt}}+(p_{2}-a_{2}){\frac {dr_{2}(t)}{dt}}+\cdots +(p_{n}-a_{n}){\frac {dr_{n}(t)}{dt}}=0}$

またはドット積の観点から見ると：

${\displaystyle (\mathbf {p} -\mathbf {a} )\cdot {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=0}$

ここで、p = ( p ₁、p ₂、 ...、p _n )は空間曲線上ではなく、 平面上の点です。

d r ( t )/ dtの物理的および幾何学的な解釈は、r を時間tによってパラメータ化された空間位置ベクトル座標として扱い、経路r ( t )に沿って移動する点状粒子の「速度」であり、瞬間的な運動方向ですべてのtについて空間曲線に接するベクトルです。 t = cでは、空間曲線には接線ベクトルd r ( t )/ dt | _{t = c}があり、 t = cで空間曲線に垂直な超平面は、t = cでの接線にも垂直です。 この平面 ( p − a ) のすべてのベクトルは、 d r ( t )/ dt | _{t = c}に垂直でなければなりません。

同様に、d ² r ( t )/ dt ^{2 は}粒子の「加速度」であり、曲率半径に沿った曲線に垂直なベクトルです。

行列は単一の変数の関数になることもできます。たとえば、 2D の回転行列は次のようになります。

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

は、原点を中心とした回転角の行列値関数です。同様に、特殊相対論では、純粋なブースト（回転なし）の ローレンツ変換行列は次のようになります。

${\displaystyle \Lambda (\beta )={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

はブーストパラメータβ = v / cの関数であり、ここでv は参照フレーム間の相対速度（連続変数）であり、 c は光速（定数） です。

前のセクションを一般化すると、実変数の関数の出力はバナッハ空間またはヒルベルト空間に存在することもできます。これらの空間では、除算、乗算、極限がすべて定義されているため、微分や積分などの概念が依然として適用されます。これは、ケットまたは演算子の微分を取る量子力学で特によく発生します。これは、たとえば、一般的な時間依存のシュレーディンガー方程式で発生します。

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi }$

ここで、波動関数の微分をとりますが、これはいくつかの異なるヒルベルト空間の要素になることができます。

実変数の複素数値関数は、実数値関数の定義において、実数へのコドメインの制限を緩和し、複素数値を許可することによって定義できます。

f ( x )がそのような複素数値関数である場合、次のように分解できる。

f ( x ) = g ( x ) + ih ( x )、

ここで、gとh は実数値関数です。言い換えれば、複素数値関数の研究は、実数値関数のペアの研究に簡単に帰着します。

実変数の実数値関数の集合の濃度はであり、これは連続体（つまり、すべての実数の集合） の濃度よりも確実に大きくなります。この事実は、基数演算によって簡単に確認できます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}}$${\displaystyle \beth _{2}=2^{\mathfrak {c}}}$

$${\displaystyle \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=\mathrm {card} (\mathbb {R} )^{\mathrm {card} (\mathbb {R} )}={\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}\cdot {\mathfrak {c}}}=2^{\mathfrak {c}}.}$$

さらに、が となる集合である場合、集合の濃度も となる。なぜなら 、${\displaystyle X}$${\displaystyle 2\leq \mathrm {card} (X)\leq {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle X^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to X\}}$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$

$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\mathrm {card} (2^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (X^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=2^{\mathfrak {c}}.}$$

しかし、連続関数 の集合は、連続体の濃度という厳密に小さい濃度を持つ。これは、連続関数がその定義域の稠密な部分集合上の値によって完全に決定されるという事実から導かれる。^[2] したがって、実数上の連続実数値関数の集合の濃度は、有理変数の実数値関数の集合の濃度よりも大きくない。基数演算により、 ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f\ \mathrm {continuous} \}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

$${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {Q} })=(2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.}$$

一方、 と の間には明確な一対一関係があるため、のサブセットを形成する定数関数の集合も成立する必要があります。したがって、 です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)\equiv x_{0}\}}$${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\geq {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))={\mathfrak {c}}}$

• 実分析
• 複数の実変数の関数
• 複雑な分析
• 複数の複雑な変数の関数

• F. エアーズ、E. メンデルソン (2009)。微積分学。シャウムのアウトラインシリーズ (第 5 版)。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-150861-2。
• R. Wrede、MR Spiegel (2010)。上級微積分学。Schaum のアウトライン シリーズ (第 3 版)。McGraw Hill。ISBN 978-0-07-162366-7。
• N. ブルバキ (2004)。実変数の関数: 初等理論。シュプリンガー。ISBN 354-065-340-6。

• 多変数微積分
• LA Talman (2007) 多変数関数の微分可能性