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幾何学において、曲線スケッチ（または曲線トレーシング）とは、詳細なプロットに必要な多数の点を計算することなく、平面曲線の方程式が与えられたときにその曲線の全体的な形状の大まかなアイデアを作成するための手法です。これは、曲線の主な特徴を見つけるための曲線理論の応用です。
基本的なテクニック
以下の作業は通常簡単に実行でき、曲線の形状に関する重要な手がかりとなります。
- 曲線のx切片とy切片を決定します。 x切片は、曲線の方程式でy を0 に設定し、 xについて解くことで求められます。同様に、y切片は、曲線の方程式でx を0 に設定し、 yについて解くことで求められます。
- 曲線の対称性を決定します。曲線の方程式でxの指数が常に偶数である場合、 y軸は曲線の対称軸です。同様に、曲線の方程式でyの指数が常に偶数である場合、 x軸は曲線の対称軸です。各項のxとyの次数の合計が常に偶数または常に奇数である場合、曲線は原点に対して対称であり、原点は曲線の中心と呼ばれます。
- xとyの値の境界を決定します。
- 曲線が原点を通過する場合は、そこでの接線を決定します。代数曲線の場合、これは方程式から最低次の項以外のすべての項を削除して解くことで実行できます。
- 同様に、方程式から最高次の項以外をすべて削除して解くと、曲線が無限遠の直線と交わる点が得られます。
- 曲線の漸近線を決定します。また、曲線がどの側から漸近線に近づくか、漸近線が曲線と交差する場所を決定します。 [1]
- 1 次導関数と2 次導関数を 0 に等しくすると、それぞれ停留点と変曲点が見つかります。曲線の方程式をxまたはyについて明示的に解くことができない場合は、これらの導関数を見つけるには暗黙の微分が必要です。
ニュートンの図
ニュートン図（アイザック・ニュートンにちなんでニュートンの平行四辺形とも呼ばれる）は、原点に近いところと遠いところにある代数曲線の形状を決定する手法です。曲線の方程式の各項Ax α y βに対して (α, β) をプロットすることで構成されます。作成された図を分析して曲線に関する情報を生成します。
具体的には、図上の 2 点を結ぶ対角線を描き、他のすべての点がその上か右上になるようにします。曲線が原点を通る場合、少なくとも 1 本のこのような線が存在します。線の方程式をq α+ p β= rとします。曲線が原点付近でy = Cx p/qで近似されるとします。すると、項Ax α y βはほぼDx α+βp/qになります。指数は、(α, β) が線上にある場合はr/qになり、右上にある場合はそれより大きくなります。したがって、この仮定の下では、原点付近の重要な項は線上にある項だけであり、他の項は無視できます。これにより、曲線の簡単な近似方程式が生成されます。このような対角線が複数存在し、それぞれが曲線の 1 つ以上の枝に対応している場合があり、この方法を各線に順番に適用することで枝の近似方程式を見つけることができます。
例えば、デカルトの葉は次の式で定義される。
- 。
すると、ニュートンの図には（3, 0）、（1, 1）、（0, 3）の点が描かれます。2つの対角線は、上記のように2α+β=3とα+2β=3と描かれます。これらは
曲線の水平枝と垂直枝が原点で交差する部分の近似方程式として。[2]
分析三角形
デ・グアはニュートンのダイアグラムを拡張して解析三角形（またはデ・グアの三角形）と呼ばれる手法を考案した。点（α、β）はニュートンのダイアグラム法と同様にプロットされるが、直線α+β= n（nは曲線の次数）が追加され、ダイアグラムを含む三角形が形成される。この手法では、プロットされた点を含む最小の凸多角形を囲むすべての直線を考慮する（凸包を参照）。[3]
アプリケーション
参照
注記
- ^ ヒルトン（1920年、第3章§2）
- ^ ヒルトン（1920年、第3章§3）
- ^ フロスト（1918年、第9章）
参考文献
- ヒルトン、ハロルド (1920)。「第 3 章: 曲線の追跡」。平面代数曲線。オックスフォード。
- フロスト、パーシバル (1918)。曲線トレーシングに関する初等論文。マクミラン。