権力支配

させて${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$証明する必要があるのは$\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}$基本ケースは、${\displaystyle n=0}$または${\displaystyle 1}$自然数の集合がどのように定義されているかによって異なる。

いつ${\displaystyle n=0}$、${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{0}={\frac {d}{dx}}(1)=\lim _{h\to 0}{\frac {1-1}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}=0=0x^{0-1}.}$

いつ${\displaystyle n=1}$、${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h}{h}}=1=1x^{1-1}.}$

したがって、どちらの場合でも基本ケースは成立する。

ある自然数kに対して、この命題が成り立つと仮定します。${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.}$

いつ${\displaystyle n=k+1}$、$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k+1}={\frac {d}{dx}}(x^{k}\cdot x)=x^{k}\cdot {\frac {d}{dx}}x+x\cdot {\frac {d}{dx}}x^{k}=x^{k}+x\cdot kx^{k-1}=x^{k}+kx^{k}=(k+1)x^{k}=(k+1)x^{(k+1)-1}}$$数学的帰納法の原理により、この命題はすべての自然数nに対して真である。

させて${\displaystyle y=x^{n}}$、 どこ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$。

それから、$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left[x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}h+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h^{2}+\dots +{\binom {n}{n}}h^{n}-x^{n}\right]\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}\left[{\binom {n}{1}}x^{n-1}+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h+\dots +{\binom {n}{n}}h^{n-1}\right]\\[4pt]&=nx^{n-1}\end{aligned}}}$$

n 個の中から 1 個を選ぶ組み合わせは n 個に等しく、残りの項はすべて h （0）を含むため、残りの項は相殺されます。この証明は、二項定理が自然数に対してのみ有効であるため、自然数に対してのみ有効です。

させて${\displaystyle y=x^{n}}$、 どこ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ そして${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$。 それから、$${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}&=\lim _{b\to a}{\frac {b^{n}-a^{n}}{b-a}}\\[4pt]&=\lim _{b\to a}\left[a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\dots +b^{n-1}\right]\\[4pt]&=na^{n-1}\end{aligned}}}$$

負の整数nに対して、${\displaystyle n=-m}$mは正の整数である。逆数の法則を用いると、$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}}=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}.}$$結論として、任意の整数に対して${\displaystyle n}$、${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}$

この証明は、微分における連鎖律を用いる2つのステップから構成されている。

1. させて${\displaystyle y=x^{r}=x^{\frac {1}{n}}}$、 どこ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}$。 それから${\displaystyle y^{n}=x}$連鎖律により、${\displaystyle ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1}$解く${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$、$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{ny^{n-1}}}={\frac {1}{n\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{n-1}}}={\frac {1}{nx^{1-{\frac {1}{n}}}}}={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}=rx^{r-1}}$$したがって、べき乗の法則は、次の形式の有理指数に適用されます。${\displaystyle 1/n}$、 どこ${\displaystyle n}$はゼロでない自然数です。これは次の形式の有理指数に一般化できます。${\displaystyle p/q}$次のステップに示すように、連鎖律を用いて整数指数に対するべき乗の法則を適用することによって行います。
2. させて${\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}$、 どこ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} ^{+},}$となることによって${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$連鎖律により、$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p}=p\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p-1}\cdot {\frac {1}{q}}x^{{\frac {1}{q}}-1}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}=rx^{r-1}}$$

上記の結果から、${\displaystyle r}$は有理数です。${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.}$

べき乗の法則を、有理指数にさらに直接的に一般化するには、陰関数微分法を用いる。

させて${\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}$、 どこ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$となることによって${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$。

それから、$${\displaystyle y^{q}=x^{p}}$$方程式の両辺を に関して微分すると${\displaystyle x}$、$${\displaystyle qy^{q-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=px^{p-1}}$$解決する${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$、$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {px^{p-1}}{qy^{q-1}}}.}$$以来${\displaystyle y=x^{p/q}}$、$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {px^{p-1}}{qx^{p-p/q}}}.}$$指数法則を適用すると、$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {p}{q}}x^{p-1}x^{-p+p/q}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}.}$$したがって、${\displaystyle r={\frac {p}{q}}}$結論として、${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}}$いつ${\displaystyle r}$は有理数です。

この証明では、特定の代数式を用いて、正の有理数に対する導関数の定義形式を正確に評価します。

もし${\displaystyle y=x^{\frac {p}{q}}}$、 どこ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$ そして${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$。 それから、$${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}&=\lim _{b\to a}{\frac {b^{\frac {p}{q}}-a^{\frac {p}{q}}}{b-a}}\\[4pt]\end{aligned}}}$$

さて、幾何級数の和の公式を考えてみましょう。${\displaystyle {\frac {b^{n}-a^{n}}{b-a}}=\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}b^{(n-1)-i}a^{i}}$

この式を観察すると、次のことがわかる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}(b-a)=(b^{\frac {1}{n}})^{n}-(a^{\frac {1}{n}})^{n}=(b^{\frac {1}{n}}-a^{\frac {1}{n}})\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}(b^{\frac {1}{n}})^{(n-1)-i}(a^{\frac {1}{n}})^{i}\end{aligned}}}$$

したがって、

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(b^{\frac {1}{n}}-a^{\frac {1}{n}})}{b-a}}={\frac {1}{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}(b^{\frac {1}{n}})^{(n-1)-i}(a^{\frac {1}{n}})^{i}}}={\frac {1}{b^{1-{\frac {1}{n}}}+b^{1-{\frac {2}{n}}}a^{\frac {1}{n}}+b^{1-{\frac {3}{n}}}a^{\frac {2}{n}}+\dots +a^{1-{\frac {1}{n}}}}}\end{aligned}}}$$

最初の文に戻ると、それは以下の手順で評価できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{b\to a}{\frac {b^{\frac {p}{q}}-a^{\frac {p}{q}}}{b-a}}&=\lim _{b\to a}{\frac {(b^{\frac {1}{q}})^{p}-(a^{\frac {1}{q}})^{p}}{b-a}}\\[4pt]&=\lim _{b\to a}{\frac {(b^{\frac {1}{q}}-a^{\frac {1}{q}})(\displaystyle \sum _{i=0}^{p-1}(b^{\frac {1}{q}})^{(p-1)-i}(a^{\frac {1}{q}})^{i})}{b-a}}\\[4pt]&=\lim _{b\to a}{\frac {(b^{\frac {1}{q}}-a^{\frac {1}{q}})}{b-a}}(\displaystyle \sum _{i=0}^{p-1}(b^{\frac {1}{q}})^{(p-1)-i}(a^{\frac {1}{q}})^{i})\\[4pt]&=\lim _{b\to a}{\frac {1}{\displaystyle \sum _{i=0}^{q-1}(b^{\frac {1}{q}})^{(q-1)-i}(a^{\frac {1}{q}})^{i}}}(\displaystyle \sum _{i=0}^{p-1}(b^{\frac {1}{q}})^{(p-1)-i}(a^{\frac {1}{q}})^{i})\\[4pt]&=({\frac {1}{qa^{1-{\frac {1}{q}}}}})(p(a^{\frac {1}{q}})^{p-1})\\[4pt]&={\frac {p}{q}}a^{{\frac {p}{q}}-1}\\[4pt]\end{aligned}}}$$

もし${\displaystyle y=x^{\frac {p}{q}}}$、 どこ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z/N} }$ そして${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$。

それから、$${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}&=\lim _{b\to a}{\frac {({\frac {1}{b^{\frac {p}{q}}}})-({\frac {1}{a^{\frac {p}{q}}}})}{b-a}}\\[4pt]&=\lim _{b\to a}({\frac {-1}{(ba)^{\frac {p}{q}}}})({\frac {b^{\frac {p}{q}}-a^{\frac {p}{q}}}{b-a}})\\[4pt]&=({\frac {-1}{(a^{2})^{\frac {p}{q}}}})({\frac {p}{q}}a^{{\frac {p}{q}}-1})\\[4pt]&=-{\frac {p}{q}}a^{-{\frac {p}{q}}-1}\end{aligned}}}$$