実数値関数

数学において、実数値関数とは、その値が実数である関数のことである。言い換えれば、定義域の各要素に実数を割り当てる関数のことである。

実変数の実数値関数（一般に実関数と呼ばれる）および複数の実変数の実数値関数は、微積分学、そしてより一般的には実解析学の主要な研究対象である。特に、多くの関数空間は実数値関数から構成されている。

させて$\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$集合Xから実数へのすべての関数の集合とする。${\displaystyle \mathbb {R} }$。 なぜなら${\displaystyle \mathbb {R} }$はフィールドです。$\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$以下の操作によって、ベクトル空間と実数上の可換代数に変換することができる。

• ${\displaystyle f+g:x\mapsto f(x)+g(x)}$–ベクトル加算
• ${\displaystyle \mathbf {0} :x\mapsto 0}$–加算的同一性
• ${\displaystyle cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R} }$–スカラー乗算
• ${\displaystyle fg:x\mapsto f(x)g(x)}$–ポイントごとの乗算

これらの操作は、 Xからの部分関数に拡張されます。${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ただし、部分関数f + gおよびf gは、 fとgの定義域が空でない共通部分を持つ場合にのみ定義されるという制約があります。この場合、それらの定義域はfとgの定義域の共通部分です。

また、${\displaystyle \mathbb {R} }$は順序集合であり、部分順序が存在する。

• ${\displaystyle \ f\leq g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leq g(x),}$

の上${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} }),}$これにより$\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$部分的に順序付けられた環。

ボレル集合のσ代数は、実数上の重要な構造です。Xがそのσ代数を持ち、関数fが任意のボレル集合Bの逆像f ⁻¹ ( B )がそのσ代数に属するようなものである場合、 fは可測であると言われます。可測関数は、 §代数構造で説明したように、ベクトル空間と代数も形成します。 

さらに、 X上の実数値関数の集合（族）は、すべてのボレル集合（または区間のみ、どちらでも構いません）のすべての逆像によって生成されるX上の σ 代数を実際に定義することができます。これは、(コルモゴロフの)確率論において σ 代数が生じる方法であり、そこでは標本空間Ω上の実数値関数は実数値確率変数です。

実数は位相空間と完備距離空間を形成する。連続実数値関数（これはXが位相空間であることを意味する）は、位相空間と距離空間の理論において重要である。極値定理は、コンパクト空間上の任意の実連続関数に対して、その大域的最大値と最小値が存在することを述べている。

距離空間の概念自体は、連続な2変数実数値関数である距離によって定義されます。コンパクトなハウスドルフ空間上の連続関数の空間は特に重要です。収束列もまた、特別な位相空間上の実数値連続関数とみなすことができます。

連続関数は、 § 代数構造で説明したようにベクトル空間と代数も形成し、任意の位相空間には開集合（または閉集合）によって生成されるσ代数があるため、可測関数のサブクラスです。

滑らかな関数を定義するために、実数が終域として使用されます。実滑らかな関数の定義域は、実座標空間（実多変数関数が得られます）、位相ベクトル空間、^{[ 1 ]}それらの開部分集合、または滑らかな多様体です。

滑らかな関数の空間も、§ 代数構造で説明したようにベクトル空間および代数であり、連続関数の空間の部分空間です。

集合上の測度は、部分集合の σ 代数上の非負の実数値関数です。[ 2 ]^{測度を持つ} 集合上のL ^p空間は、前述の実数値可測関数から定義されますが、実際には商空間です。より正確には、適切な総和条件を満たす関数がL ^p空間の要素を定義する一方で、反対方向には、任意のf ∈ L ^p ( X )および原子でないx ∈ Xに対して、値f ( x )は未定義です。ただし、実数値 L ^p空間は、 §代数構造で説明した構造の一部を保持しています。各 L ^p空間はベクトル空間であり、半順序を持ち、 pを変更する「関数」の点ごとの乗算が存在します。 

${\displaystyle \cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leq \alpha ,\beta \leq 1,\quad \alpha +\beta \leq 1.}$

例えば、2 つの L ²関数の点ごとの積は L ¹に属します。

実数値関数とその特別な性質が用いられるその他の文脈としては、単調関数（順序集合上）、凸関数（ベクトル空間およびアフィン空間上）、調和関数および劣調和関数（リーマン多様体上）、解析関数（通常は1つ以上の実変数）、代数関数（実代数多様体上）、および多項式（1つ以上の実変数）などが挙げられる。

• 実分析
• 偏微分方程式― 実数値関数の主要な使用例
• ノルム（数学）
• スカラー（数学）

• アポストル、トム・M. (1974).数学解析（第2 版）. アディソン・ウェスリー. ISBN 978-0-201-00288-1。
• ジェラルド・フォランド著、『実解析：現代的手法とその応用』第2版、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社、1999年、ISBN 0-471-31716-0。
• ルーディン、ウォルター（1976）。数学解析の原理（第3 版）。ニューヨーク：マグロウヒル。ISBN 978-0-07-054235-8。

ワイススタイン、エリック W. 「実関数」 . MathWorld .