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微分積分学では、関連変化率の問題は、変化率が既知の他の量と関連付けることで、ある量が変化する速度を求める問題です。変化率は通常、時間に関して表されます。科学や工学では、しばしば量が互いに関連付けられるため、関連変化率の方法はこれらの分野で幅広く応用されています。ほとんどの問題では入力変数に関して複数の変数が含まれるため、時間または他の変数のいずれかに関して微分するには連鎖律^{[ 1 ]}を適用する必要があります。

基本的に、関数が${\displaystyle F}$は次のように定義される。${\displaystyle F=f(x)}$すると、関数の導関数は${\displaystyle F}$別の変数に関して考えることができます。${\displaystyle x}$は関数である${\displaystyle t}$つまり${\displaystyle x=g(t)}$。 それから${\displaystyle F=f(g(t))}$、 それで

${\displaystyle F'(t)=f'(g(t))\cdot g'(t)}$

ライプニッツ記法で書くと、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {dF}{dt}}={\frac {df}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.}$

したがって、どのように${\displaystyle x}$に関しての変更${\displaystyle t}$そうすれば、どのように${\displaystyle F}$に関しての変更${\displaystyle t}$そしてその逆もまた然りです。この連鎖律の応用を、微積分における和、差、積、商の法則などにも拡張することができます。

例えば、${\displaystyle F(x)=G(y)+H(z)}$それから

${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}={\frac {dG}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dt}}+{\frac {dH}{dz}}\cdot {\frac {dz}{dt}}.}$

関連率の問題に取り組む最も一般的な方法は次のとおりです。^{[ 2 ]}

1. 既知の変数（変化率を含む）と、求めるべき変化率を特定します。（問題を図や図表で表現すると、整理しやすくなります。）
2. 変化率が既知の量と、変化率を求めたい量との関係を示す方程式を作成する。
3. 方程式の両辺を時間（またはその他の変化率）で 微分します。この段階では、連鎖律がよく用いられます。
4. 既知の変化率と既知の量を方程式に代入します。
5. 求める変化率を解きます。

この手順における誤りは、時間に関する導関数を求める前に（求めるべきところを）変数に既知の値を代入してしまうことが原因で発生することが多い。そうすると、誤った結果が得られる。なぜなら、微分前に変数にこれらの値を代入すると、それらの変数は定数となり、微分すると、値が代入されたすべての変数の位置にゼロが現れるからである。

長さ10メートルのはしごが建物の壁に立てかけられており、はしごの底部が毎秒3メートルの速度で建物から滑り落ちています。はしごの底部が壁から6メートル離れたとき、はしごの上部は壁に沿ってどれくらいの速さで滑り落ちていますか？

はしごの底辺と壁との距離xと、壁上の梯子の高さyは、梯子を斜辺hとする直角三角形の2辺を表します。目的は、h、x 、およびxの変化率dx / dtが既知の場合に、時間tに対するyの変化率dy / dtを求めることです。

ステップ1：

• ${\displaystyle x=6}$
• ${\displaystyle h=10}$
• $\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=3}$
• ${\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=0}$
• ${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\text{?}}}$

ステップ2：ピタゴラスの定理から、方程式

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=h^{2},}$

これは、直角三角形におけるx、y、hの関係を表しています。この方程式の両辺を時間tで微分すると、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(x^{2}+y^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(h^{2}\right)}$

ステップ3：求めたい変化率dy / dtを求めると、次のようになります。

$\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(x^{2}\right)+{\frac {d}{dt}}\left(y^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(h^{2}\right)}$

${\displaystyle (2x){\frac {dx}{dt}}+(2y){\frac {dy}{dt}}=(2h){\frac {dh}{dt}}}$

${\displaystyle x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}=h{\frac {dh}{dt}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {h{\frac {dh}{dt}}-x{\frac {dx}{dt}}}{y}}.}$

ステップ4と5：ステップ1の変数を使用すると、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {h{\frac {dh}{dt}}-x{\frac {dx}{dt}}}{y}}.}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {10\times 0-6\times 3}{y}}=-{\frac {18}{y}}.}$

ピタゴラスの定理を用いてyを求めると、次のようになる。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=h^{2}}$

$\displaystyle 6^{2}+y^{2}=10^{2}}$

${\displaystyle y=8}$

方程式に8を代入すると次のようになります。

${\displaystyle -{\frac {18}{y}}=-{\frac {18}{8}}=-{\frac {9}{4}}}$

一般的に、負の値は下向きの方向を表すと想定されています。このようにして、はしごの上部は毎秒 9/4 メートルの速度で壁を滑り落ちています。

ある物理量が別の物理量に依存し、さらにその物理量が時間などの他の物理量に依存する場合が多いため、関連速度法は物理学において幅広い応用例があります。本節では、関連速度運動学 と電磁誘導の例として、関連速度法を用いた例を示します。

2台の車両の相対運動学

例えば、一方の車両が時速80マイルで交差点に向かって西に進み、もう一方の車両が時速60マイルで交差点から北に向かって離れていく場合を考えてみましょう。北向きの車両が交差点から北に3マイル、西向きの車両が交差点から東に4マイルの地点にあるとき、両車両は近づいているのか遠ざかっているのか、またその速度はどのくらいなのかを問うことができます。

大きなアイデア：連鎖律を用いて、2台の車両間の距離の変化率を計算する。

プラン：

1. 座標系を選択してください
2. 変数を特定する
3. 絵を描く
4. 大きなアイデア：連鎖律を用いて2台の車両間の距離の変化率を計算する
5. ピタゴラスの定理を用いて、cをxとyで表しなさい。
6. 連鎖律を用いて、 dc / dt をdx / dtとdy / dtで表せ。
7. x、y、dx / dt、dy / dtを代入する
8. 簡素化する。

座標系を選択してください。y軸を北、x軸を東と します。

変数を特定する: y ( t ) を原点から北に向かう車両までの距離、x ( t ) を原点から西に向かう車両までの距離と 定義する。

ピタゴラスの定理を用いて、cをxとyで表しなさい。

${\displaystyle c=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}}$

連鎖律を用いて、 dc / dt をdx / dtとdy / dtで表しなさい。

x = 4  mi、y = 3  mi、dx / dt = −80  mi/hr、dy / dt = 60  mi/hrを代入して簡略化する

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dc}{dt}}&={\frac {4{\text{ mi}}\cdot (-80{\text{ mi}}/{\text{hr}})+3{\text{ mi}}\cdot (60){\text{mi}}/{\text{hr}}}{\sqrt {(4{\text{ mi}})^{2}+(3{\text{ mi}})^{2}}}}\\&={\frac {-320{\text{ mi}}^{2}/{\text{hr}}+180{\text{ mi}}^{2}/{\text{hr}}}{5{\text{ mi}}}}\\&={\frac {-140{\text{ mi}}^{2}/{\text{hr}}}{5{\text{ mi}}}}\\&=-28{\text{ mi}}/{\text{hr}}\end{aligned}}}$

 その結果、2台の車両は時速28マイルの速度で接近している。