立体角

立体角
立体角の視覚的表現
一般的な記号	Ω
SI単位	ステラジアン
その他のユニット	平方度、スパット（角度単位）
SI基本単位では	平方メートル/平方メートル
保存されていますか?	いいえ
他の量からの導出	${\displaystyle \Omega =A/r^{2}}$
寸法	${\displaystyle 1}$

幾何学において、立体角（記号：Ω ）は、ある特定の点から、ある物体がカバーする視野の大きさの尺度です。つまり、その点から見た観察者にとって物体がどれだけ大きく見えるかの尺度です。物体が見られる点は立体角の頂点と呼ばれ、物体はその点で立体角を張っていると言われます。

国際単位系(SI)では、立体角はステラジアン(記号: sr) と呼ばれる無次元 単位で表されます。これは 1 平方ラジアンに等しく、sr = rad ²です。1 ステラジアンは頂点を囲む単位球面上の 1 単位面積 (任意の形状) に対応するため、頂点からのすべての光線を遮る物体は、単位球面の全表面積に等しいステラジアン数を覆うことになります。立体角は、度、分、秒 などの角度の平方単位で測定することもできます。${\displaystyle 4\pi }$

近くにある小さな物体が、遠くにある大きな物体と同じ立体角を占めることがあります。たとえば、月は太陽よりはるかに小さいですが、地球からの距離もずっと近いです。実際、地球上のどの地点から見ても、両方の物体はほぼ同じ立体角（つまり見かけの大きさ）を持っています。これは日食のときに明らかになります。

物体の立体角の大きさ（ステラジアン）は、その物体が覆う、頂点を中心とする単位球の面積に等しい。単位球の面積をステラジアンで表すことは、単位円の弧の長さをラジアンで表すことに似ている。扇形の頂点における平面角の大きさ（ラジアン）が弧の長さと半径の比であるのと同様に、立体角の大きさ（ステラジアン）は、球面上の物体が覆う面積と球の半径の二乗の比である。立体角の大きさ（ステラジアン）の式は次の通りである。

$${\displaystyle \Omega ={\frac {A}{r^{2}}},}$$

ここで、 は球面上の面積（任意の形状）であり、 は球面の半径です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle r}$

立体角は、天文学、物理学、特に天体物理学でよく使用されます。非常に遠くにある物体の立体角は、面積と距離の二乗の比率にほぼ比例します。ここで「面積」とは、視線方向に沿って投影された物体の面積を意味します。

球の内部の任意の点から測定された球の立体角は 4 π  sr です。立方体の 1 つの面によって立方体の中心に向けられた立体角は、その 6 分の 1、つまり 2 π /3 sr です。立方体（八分儀）の角に張られる立体角、または球面八分儀によって張られる立体角はπ /2srであり、球面の立体角の8分の1である。^[1]

立体角は、平方度（1 sr = ( 180/ π ) ²平方度）、平方分角、平方秒角、または球面の分数（1 sr = ⁠）で測定することもできます。1/4π​⁠分数面積）、別名スパット（1 sp = 4 π  sr）とも呼ばれます。

球面座標では微分方程式の公式がある。

$${\displaystyle d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,}$$

ここで、θは緯度（北極からの角度）、φ は経度です。

点P を中心とする任意の向きの表面 Sの立体角は、中心Pを持つ単位球への表面Sの投影の立体角に等しく、これは表面積分として計算できます。

$${\displaystyle \Omega =\iint _{S}{\frac {{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}{r^{2}}}\,dS\ =\iint _{ S}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,}$$

ここで、 は点Pに対する表面dSの微小領域の位置ベクトルに対応する単位ベクトルであり、 はdSに対する単位法線ベクトルを表します。単位球面上の表面Sへの投影が同型でなくても、スカラー積の符号によって記述される表面の向きに従って、多重折り目が正しく考慮されます。 ${\displaystyle {\hat {r}}={\vec {r}}/r}$${\displaystyle {\vec {r}}}$${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}$

したがって、平面面積dS、方向、および観察者からの 距離r を持つ小さな面によって囲まれる立体角は次のように近似できます。${\displaystyle {\hat {n}}}$

$${\displaystyle d\Omega =4\pi \left({\frac {dS}{A}}\right)\,({\hat {r}}\cdot {\hat {n}}),}$$

ここで球の表面積はA = 4 π r ²です。

• 光度と輝度、および対応する放射量である放射強度と放射輝度の定義
• 球面三角形の球面過剰 Eの計算
• 境界要素法（BEM）を用いたポテンシャルの計算
• 金属錯体中の配位子の大きさを評価するには、配位子円錐角を参照
• 電荷分布の周りの電界と磁界の強度を計算する
• ガウスの法則の導出
• 熱伝達における放射パワーと放射量の計算
• ラザフォード散乱の断面積の計算
• ラマン散乱における断面積の計算
• 光ファイバーの受光円錐の立体角
• メッシュ内の節点密度の計算。^[2]

頂点が立体角の頂点にあり、頂点角が2 θである円錐の立体角は、単位球面上の球面キャップの面積である。

$${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos \theta \right)\ =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}$$

θが小さい場合、cos θ ≈ 1 − ⁠θ ²/2⁠これはπ θ ²、つまり円の面積 に減少します

上記は、球座標の単位表面要素を使用して次の二重積分を計算することによって求められます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\,d\phi &=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \left[-\cos \theta '\right]_{0}^{\theta }\\&=2\pi \left(1-\cos \theta \right).\end{aligned}}}$$

この式は微積分を使わずに導くこともできます。

2200年以上前、アルキメデスは球形の帽子の表面積は常に、その半径が球形の帽子の縁から帽子の対称軸が帽子と交差する点までの距離に等しい円の面積に等しいことを証明しました。^[3]

上の色付き図では、この半径は次のように表されます。

$${\displaystyle 2r\sin {\frac {\theta }{2}}.}$$ 隣接する白黒の図では、この半径は「t」として示されています。

したがって、単位球の場合、球面キャップの立体角は次のように表される。

$${\displaystyle \Omega =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=2\pi \left(1-\cos \theta \right).}$$

θ = ⁠ のときπ/2⁠、球状のキャップは立体角 2 π を持つ半球になります。

円錐の補角は

$${\displaystyle 4\pi -\Omega =2\pi \left(1+\cos \theta \right)=4\pi \cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}$$

これは、緯度θに位置する天文観測者が地球が自転するときに見ることができる天球部分の立体角でもあります。赤道では天球のすべてが見えますが、両極では半分しか見えません。

円錐の軸から角度γで切り取られ、円錐の頂点を通る球面キャップの線分によって囲まれる立体角は、式^{[4]で計算できます。}

$${\displaystyle \Omega =2\left[\arccos \left({\frac {\sin \gamma }{\sin \theta }}\right)-\cos \theta \arccos \left({\frac {\tan \ガンマ }{\タン \シータ }}\right)\right].}$$

たとえば、γ = − θの場合、式は上記の球面キャップの式に簡約されます。つまり、最初の項はπ、2 番目の項はπ cos θになります。

OABC を、O を原点とし、三角形の面 ABC で囲まれた四面体の頂点とします。頂点 A、B、C のベクトル位置です。頂点角θ _{a を}角 BOC と定義し、それに応じてθ _b、θ _{c を}定義します。四面体面 OAC と OBC を含む平面間の二面角を とし、それに応じてを定義します。三角形の表面 ABC で囲まれた立体角Ω は次のように与えられます 。${\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}}$ ${\displaystyle \phi _{ab}}$${\displaystyle \phi _{ac}}$${\displaystyle \phi_{bc}}$

$${\displaystyle \Omega =\left(\phi _{ab}+\phi _{bc}+\phi _{ac}\right)\ -\pi .}$$

これは球面過剰の理論から導かれ、四面体の 4 つの内部立体角の合計に対して、 「平面三角形の内角の合計はπに等しい」という定理に類似した定理が存在するという事実につながります。

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\Omega _{i}=2\sum _{i=1}^{6}\phi _{i}\ -4\pi ,}$$

ここで、四面体OAB、OAC、OBC、ABCを含む任意の2つの平面間の6つの二面角すべてにわたる範囲です。^[5]${\displaystyle \phi_{i}}$

四面体の原点Oにおける立体角を計算するための有用な式は、頂点角θ _a、θ _b、θ _cのみの関数であり、ルイリエの定理^{[6] [7]}によって次のように 与えられる。

$${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{4}}\Omega \right)={\sqrt {\tan \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}},}$$

どこ $${\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}.}$$

もう一つの興味深い式は、頂点を3次元空間のベクトルとして表すというものである。頂点A、B、Cのベクトル位置を とし、各ベクトルの大きさ（原点間の距離）をa、b、cとする。三角形の表面ABCが囲む立体角Ωは次の式で表される。 ^{[8] [9]}${\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}}$

$${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{2}}\Omega \right)={\frac {\left|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}\right|}{abc+\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)c+\left({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\right)b+\left({\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\right)a}},}$$

どこ $${\displaystyle \left|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}\right|={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}} \times {\vec {c}})}$$

は3つのベクトルのスカラー三重積を表し、はスカラー積を表します。 ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}$

ここでは、負の立体角や不正確な立体角を避けるように注意する必要があります。潜在的なエラーの原因の 1 つは、 a、b、c の巻き方が間違っている場合にスカラー 3 重積が負になる可能性があることです。方程式の他の部分は巻き方に依存しないため、絶対値を計算すれば十分な解決策になります。もう 1 つの落とし穴は、スカラー 3 重積が正で除数が負の場合です。この場合、πだけ増やす必要がある負の値が返されます。

頂点角aとb（ピラミッドの反対側の面に対して測定された 二面角）を持つ4辺の直角錐の立体角は$${\displaystyle \Omega =4\arcsin \left(\sin \left({a \over 2}\right)\sin \left({b \over 2}\right)\right).}$$

ピラミッドの底辺の辺の長さ（αとβ ）と底辺の長方形の中心からピラミッドの頂点（球の中心）までの距離（ d）が分かっている場合、上記の式を次のように変形することができます。

$${\displaystyle \Omega =4\arctan {\frac {\alpha \beta }{2d{\sqrt {4d^{2}+\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}}.}$$

直角錐の立体角は、錐の底面が円周半径rの正n角形であり、錐の高さがhであるとき、次の式で表される。

$${\displaystyle \Omega =2\pi -2n\arctan \left({\frac {\tan \left({\pi \over n}\right)}{\sqrt {1+{r^{2} \over h^{2}}}}}\right).}$$

n辺の底面を持つ任意のピラミッドの立体角は、辺を表す単位ベクトルの列{ s ₁ , s ₂ }, ... s _nによって定義され、次のように効率的に計算できます。^[4]

$${\displaystyle \Omega =2\pi -\arg \prod _{j=1}^{n}\left(\left(s_{j-1}s_{j}\right)\left(s_{j}s_{j+1}\right)-\left(s_{j-1}s_{j+1}\right)+i\left[s_{j-1}s_{j}s_{j+1}\right]\right).}$$

ここで、括弧 (* *) はスカラー積、角括弧 [* * *] はスカラー三重積、i は虚数単位です。インデックスは循環します: s ₀ = s _nおよびs ₁ = s _{n + 1。}複素積は、多角形の各頂点角に関連付けられた位相を追加します。ただし、 の倍数は の分岐切断で失われるため、個別に追跡する必要があります。また、複素位相の実行積は、ほぼ平行なセグメントの極限でアンダーフローを回避するために、時々スケーリングする必要があります。 ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \arg }$

地球儀上の緯度経度長方形の立体角は、 φ _Nとφ _Sが北緯線と南緯線（赤道からラジアンで測定され、北に向かうにつれて角度が増加） であり、θ _Eとθ _Wが東経線と西経線（ラジアンでの角度は東に向かうにつれて増加）である。 [ ^10]数学的には、これは球面の周りをθ _E − θ _{Wラジアンで掃引される角度}ϕ _N − ϕ _Sの円弧を表します。経度が 2 πラジアンに広がり、緯度がπラジアンに広がる場合、立体角は球の立体角になります。 $${\displaystyle \left(\sin \phi _{\mathrm {N} }-\sin \phi _{\mathrm {S} }\right)\left(\theta _{\mathrm {E} }-\theta _{\mathrm {W} }\,\!\right)\;\mathrm {sr} ,}$$

緯度経度の長方形を、直方体の立体角と混同しないでください。直方体の 4 つの辺はすべて、球面と大円弧で交差します。緯度経度の長方形では、経線のみが大円弧であり、緯線は大円弧ではありません。

角直径の定義を使用すると、天体の立体角の式は、天体の半径と観測者から天体までの距離で定義できます。 ${\textstyle R}$${\displaystyle d}$

$${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-{\frac {\sqrt {d^{2}-R^{2}}}{d}}\right):d\geq R.}$$

太陽と月（地球に対する）の適切な平均値を入力すると、太陽の平均立体角は6.794 × 10 ⁻⁵ステラジアンであり、月の平均立体角は6.418 × 10 ⁻⁵ステラジアン。全天球で見ると、太陽と月は平均して0.000 5406 % (5.406  ppm）および0.000 5107 % (それぞれ5.107 ppmです。これらの立体角はほぼ同じ大きさなので、月は日食中の地球と月の距離に応じて皆既 日食と金環日食の両方を引き起こす可能性があります。

d次元ユークリッド空間における単位球面の完全な ( d − 1 ) 次元球面によって囲まれる立体角は、任意の次元数dで定義できます。球対称性の計算では、この立体角係数が必要になることがよくあります。これは、 Γがガンマ関数 である式で与えられます 。dが整数のとき、ガンマ関数は明示的に計算できます。^[11]したがって、 $${\displaystyle \Omega _{d}={\frac {2\pi ^{\frac {d}{2}}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}\right)}},}$$$${\displaystyle \Omega _{d}={\begin{cases}{\frac {1}{\left({\frac {d}{2}}-1\right)!}}2\pi ^{\frac {d}{2}}\ &d{\text{ even}}\\{\frac {\left({\frac {1}{2}}\left(d-1\right)\right)!}{(d-1)!}}2^{d}\pi ^{{\frac {1}{2}}(d-1)}\ &d{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

これにより、面積が4π r ²の表面で囲まれた 3D 球の場合は4 πステラジアン、長さが2π rの円周で囲まれた 2D 円の場合は2 πラジアンという予想どおりの結果が得られます。また、原点を中心とした 1D「球」が区間[− r , r ]であり、2 つの極限点で囲まれている1D の場合は、ややわかりにくい 2 が得られます。

任意次元のベクトル公式に対応するものは、青本^{[12] [13]} およびリバンド^[14]によって独立に導出されました。これは、無限多変量テイラー級数として表現されます。 角度を定義するd個の単位ベクトル が与えられ、 Vはそれらを結合して形成される行列を表し、i番目の列は、、およびとなります。変数は多変数 を形成します。「合同な」整数多重指数に対してを定義します。ここで= は負でない整数、つまり0で始まる自然数であることに注意してください。 の表記は変数を意味し、指数 についても同様です。したがって、項は、 l が第1または第2のインデックスとして現れるのすべての項の合計を意味します。この級数が収束するところでは、ベクトルによって定義される立体角に収束します。 $${\displaystyle \Omega =\Omega _{d}{\frac {\left|\det(V)\right|}{(4\pi )^{d/2}}}\sum _{{\vec {a}}\in \mathbb {N} _{0}^{\binom {d}{2}}}\left[{\frac {(-2)^{\sum _{i<j}a_{ij}}}{\prod _{i<j}a_{ij}!}}\prod _{i}\Gamma \left({\frac {1+\sum _{m\neq i}a_{im}}{2}}\right)\right]{\vec {\alpha }}^{\vec {a}}.}$$${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$${\displaystyle \alpha _{ij}={\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {v}}_{j}=\alpha _{ji},\alpha _{ii}=1}$${\displaystyle \alpha _{ij},1\leq i<j\leq d}$${\displaystyle {\vec {\alpha }}=(\alpha _{12},\dotsc ,\alpha _{1d},\alpha _{23},\dotsc ,\alpha _{d-1,d})\in \mathbb {R} ^{\binom {d}{2}}}$${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{12},\dotsc ,a_{1d},a_{23},\dotsc ,a_{d-1,d})\in \mathbb {N} _{0}^{\binom {d}{2}},}$${\textstyle {\vec {\alpha }}^{\vec {a}}=\prod \alpha _{ij}^{a_{ij}}}$${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \alpha _{ji}}$${\displaystyle j>i}$${\displaystyle \alpha _{ij}}$${\displaystyle a_{ji}}$${\textstyle \sum _{m\neq l}a_{lm}}$${\displaystyle {\vec {a}}}$

• Jaffey, AH (1954)。「点光源および拡散光源における円形開口部によって規定される立体角：公式といくつかの表」。Rev. Sci. Instrum . 25 ( 4): 349–354。Bibcode : 1954RScI ...25..349J。doi :10.1063/1.1771061。
• Masket, A. Victor (1957). 「立体角等高線積分、級数、および表」Rev. Sci. Instrum . 28 (3): 191. Bibcode :1957RScI...28..191M. doi :10.1063/1.1746479.
• 内藤 実 (1957). 「円形開口部の立体角の計算方法」. J. Phys. Soc. Jpn . 12 (10): 1122–1129. Bibcode :1957JPSJ...12.1122N. doi :10.1143/JPSJ.12.1122.
• Paxton, F. (1959). 「円板の立体角計算」Rev. Sci. Instrum . 30 (4): 254. Bibcode :1959RScI...30..254P. doi : 10.1063/1.1716590 .
• Khadjavi, A. (1968). 「長方形の開口部によって囲まれる立体角の計算」J. Opt. Soc. Am . 58 (10): 1417–1418. Bibcode :1968JOSA...58.1417K. doi :10.1364/JOSA.58.001417.
• Gardner, RP; Carnesale, A. (1969). 「円板によって一点に張られる立体角」Nucl. Instrum. Methods . 73 (2): 228–230. Bibcode :1969NucIM..73..228G. doi :10.1016/0029-554X(69)90214-6.
• Gardner, RP; Verghese, K. (1971). 「円板によって囲まれる立体角について」. Nucl. Instrum. Methods . 93 (1): 163–167. Bibcode :1971NucIM..93..163G. doi :10.1016/0029-554X(71)90155-8.
• 後藤 秀雄; 八木 秀雄 (1971). 「長方形スリットによって囲まれる立体角」. Nucl. Instrum. Methods . 96 (3): 485–486. Bibcode :1971NucIM..96..485G. doi :10.1016/0029-554X(71)90624-0.
• Cook, J. (1980). 「2つの長方形によって囲まれる立体角」. Nucl. Instrum. Methods . 178 (2–3): 561–564. Bibcode :1980NucIM.178..561C. doi :10.1016/0029-554X(80)90838-1.
• Asvestas, John S..; Englund, David C. (1994). 「平面図形によって囲まれる立体角の計算」. Opt. Eng . 33 (12): 4055–4059. Bibcode :1994OptEn..33.4055A. doi :10.1117/12.183402.訂正同上、第50巻（2011年）059801ページ。
• Tryka, Stanislaw (1997). 「円板によって囲まれた点における立体角の角度分布」。Opt. Commun . 137 (4–6): 317–333. Bibcode :1997OptCo.137..317T. doi :10.1016/S0030-4018(96)00789-4.
• Prata, MJ (2004). 「点コサイン源における円板検出器によって囲まれる立体角の解析的計算」Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. A . 521 (2–3): 576. arXiv : math-ph/0305034 . Bibcode :2004NIMPA.521..576P. doi :10.1016/j.nima.2003.10.098. S2CID  15266291.
• Timus, DM; Prata, MJ; Kalla, SL; Abbas, MI; Oner, F.; Galiano, E. (2007). 「楕円積分を用いた円板によって一点に張られる立体角に関するさらなる解析結果」Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. A . 580 : 149–152. Bibcode :2007NIMPA.580..149T. doi :10.1016/j.nima.2007.05.055.

ウィキメディア・コモンズには、立体角に関連するメディアがあります。

• アーサー・P・ノートン『A Star Atlas』、ガル・アンド・イングリス、エディンバラ、1969年。
• MG ケンドール、N 次元幾何学講座、グリフィンの統計学モノグラフと講座第 8 号、MG ケンドール編、チャールズ グリフィン & Co. Ltd、ロンドン、1961 年
• ワイスタイン、エリック・W.「ソリッド・アングル」。マスワールド。