ピタゴラスの三角関数の恒等式

相似な三角形には、どの三角形を選んでも同じ角度を選択した場合、その角度を定義する2辺の比は、実際の大きさに関係なく、どの相似な三角形を選んでも同じになるという性質があります。つまり、比は3つの角度に依存し、辺の長さには依存しません。したがって、図の相似な直角三角形のどちらについても、水平な辺と斜辺の比は同じで、cos θとなります。

直角三角形の辺の長さを用いた正弦関数と余弦関数の基本的な定義は以下のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\sin \theta &={\frac {\mathrm {反対側} }{\mathrm {斜辺} }}={\frac {b}{c}}\\\cos \theta &={\frac {\mathrm {隣接} }{\mathrm {斜辺} }}={\frac {a}{c}}\end{alignedat}}}$$

ピタゴラスの定理は、上記の2つの定義を2乗して足し合わせることで得られます。すると、定理の左辺は次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {反対側} ^{2}+\mathrm {隣接} ^{2}}{\mathrm {斜辺} ^{2}}}}$$

これはピタゴラスの定理により 1 に等しくなります。この定義は、単位円に対してx = cos θおよびy sin θと定義し、半径cの円に対してx = c cos θおよびy = c sin θと定義し、三角形をy軸に関して対称移動してa = xおよびb = yと設定することにより、すべての角度に対して有効です。

あるいは、三角関数の対称性、シフト、周期性で見つけた恒等式を用いることもできます。周期性の恒等式から、式が− π < θ ≤ πで成り立つならば、すべての実数θで成り立つと言えます。次に、範囲⁠ π / 2 ⁠ < θ ≤ πで恒等式を証明します。これを行うには、t = θ − ⁠ π / 2 ⁠とします。これでt は0 < t ≤ ⁠ π / 2 ⁠の範囲になります。次に、いくつかの基本的なシフト恒等式の二乗バージョンを利用できます（二乗すると都合よくマイナス符号が消えます）。

$${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\left(t+{\tfrac {\pi }{2}}\right)+\cos ^{2}\left(t+{\tfrac {\pi }{2}}\right)=\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1.}$$

最後に、 −π < θ < 0の公式を証明する必要がある。これは、対称恒等式を二乗することで証明できる。

$$\displaystyle \sin ^{2}\theta =\sin ^{2}(-\theta ){\text{ および }}\cos ^{2}\theta =\cos ^{2}(-\theta ).}$$

関連するアイデンティティ

2つのアイデンティティ$$\begin{aligned}1+\tan ^{2}\theta &=\sec ^{2}\theta \\1+\cot ^{2}\theta &=\csc ^{2}\theta \end{aligned}}}$$これらはピタゴラスの三角恒等式とも呼ばれます。^{[ 1 ]}直角三角形の1辺の長さが 1の場合、その辺に隣接する角の正接はもう一方の辺の長さであり、その角の正割は斜辺の長さです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \theta &={\frac {b}{a}}\,,\\\sec \theta &={\frac {c}{a}}\,.\end{aligned}}}$$

このように、正接と正割を含むこの三角恒等式はピタゴラスの定理から導かれます。長さ1の辺の対角（この角はφ = π / 2 - θ と表記できます）の余接はもう一方の辺の長さに等しく、余割は斜辺の長さに等しくなります。このようにして、余接と余割を含むこの三角恒等式もピタゴラスの定理から導かれます。

以下の表は、恒等式と、それらを主要な恒等式と関連付ける因数または除数を示しています。

ユークリッド平面の原点を中心とする単位円は、次の式で定義されます。^{[ 2 ]}

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$

角度θが与えられたとき、単位円上にx軸から反時計回りにθの角度にある点Pが一意に存在し、Pのx座標とy座標は次のようになります。^{[ 3 ]}

$${\displaystyle x=\cos \theta \ {\text{ and }}\ y=\sin \theta .}$$

したがって、単位円の式から、$${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1,}$$ ピタゴラスの恒等式。

図において、点Pはx座標が負で あり、適切にx = cos θで表されます。これは負の数です。cos θ = −cos( π − θ )。点Pはy座標が正であり、sin θ = sin( π − θ ) > 0 です。θ がゼロから円全体 θ = 2 π まで増加するにつれて、 xとyの符号が正しいままになるように、各象限で正弦と余弦の符号が変わります。図は、角度が象限を変えるにつれて正弦関数の符号がどのように変化するかを示しています。

x軸とy軸は直交しているため、このピタゴラスの定理は、斜辺の長さが1の三角形に対するピタゴラスの定理と等価です （これは、相似三角形の議論を適用することで、完全なピタゴラスの定理と等価になります）。簡単な説明については、単位円を参照してください。

三角関数はべき級数を用いて定義することもできます。すなわち、x (ラジアンで測定された角度) の場合、次のようになります。 ^{[ 4 ] [ 5 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1},\\\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}}$$

べき級数の乗算と除算の乗算公式（ここでは級数の形状を考慮して適切に修正したもの）を用いると、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}x&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j+1)!}}x^{(2i+1)+(2j+1)}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(2i+1)!(2(n-i-1)+1)!}}\right)x^{2n}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}\right){\frac {(-1)^{n-1}}{(2n)!}}x^{2n},\\\cos ^{2}x&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j)!}}x^{(2i)+(2j)}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{n}}{(2i)!(2(n-i))!}}\right)x^{2n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}\right){\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}}$$

sin ²の式ではnは1 以上でなければならず、 cos ²の式では定数項は 1 に等しい。それらの和の残りの項は (共通因数を除去して) となる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}-\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}&=\sum _{j=0}^{2n}(-1)^{j}{2n \choose j}\\&=(1-1)^{2n}=0\end{aligned}}}$$

二項定理により、 $${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1,}$$ これはピタゴラスの三角関数の恒等式です。

このように三角関数を定義すると、恒等式とピタゴラスの定理を組み合わせることで、これらのべき級数が前節で用いた単位円をパラメータ化することが分かります。この定義は正弦関数と余弦関数を厳密に構成し、それらが微分可能であることを証明するため、実際には前の2つの定義を包含しています。

サインとコサインは、微分方程式の 2 つの解として定義できます。^{[ 6 ]}

$${\displaystyle y''+y=0}$$

それぞれy (0) = 0、y ′ (0) = 1およびy (0) = 1、y ′ (0) = 0を満たす。常微分方程式の理論から、最初の解である正弦は、2番目の解である余弦を導関数として持ち、このことから余弦の導関数は正弦の負の値になることがわかる。この恒等式は、関数が次の主張と同等である。

$${\displaystyle z=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}$$

は定数で1に等しい。連鎖律を用いて微分すると次のようになる。

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}z=2\sin x\cos x+2\cos x(-\sin x)=0,}$$ したがって、zは定数です。計算により、z (0) = 1 であることが確認され、zは定数であるため、すべてのxに対してz = 1となり、ピタゴラスの定理が成立します。

上記と同様の証明をべき級数を用いて行うことで、正弦関数の導関数が余弦関数であり、余弦関数の導関数が負の正弦関数であることを示すことができる。実際、常微分方程式による定義とべき級数による定義は、ほとんどの恒等式の導出において同様の結果をもたらす。

この等式の証明は、ユークリッドによるピタゴラスの定理の証明とは直接的な関係はない。

因数分解${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }$2つの平方数の複素差として、オイラーの公式を用いて${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &=\cos ^{2}\theta -i^{2}\sin ^{2}\theta \\[3mu]&=(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \theta -i\sin \theta )\\[3mu]&=e^{i\theta }e^{-i\theta }\\&=e^{i\theta -i\theta }=e^{0}=1\end{aligned}}}$$