黄金螺旋

幾何学において、黄金螺旋は、成長係数が黄金比 φ である対数螺旋です。 [ 1 ^]つまり、黄金螺旋は、 1/4回転するごとにφの係数だけ広くなります（または原点から遠ざかります） 。

黄金螺旋に近いが、黄金螺旋と全く同じではない類似の螺旋はいくつかある。^[2]

たとえば、黄金螺旋は、長さと幅の比が黄金比である長方形から始めることで近似できます。次に、この長方形を正方形と類似の長方形に分割し、この長方形を同様に分割します。このプロセスを任意の数のステップで続けると、長方形がほぼ完全に正方形に分割されます。これらの正方形の角は、四分の一円で接続できます。結果は、真の対数螺旋ではありませんが、黄金螺旋に非常に近似しています。^[2]

もう 1 つの近似は、わずかに異なる方法で構築されるフィボナッチ スパイラルです。フィボナッチ スパイラルは、2 つの正方形に分割された長方形から始まります。各ステップで、長方形の最長辺の長さの正方形が長方形に追加されます。フィボナッチ数が無限大に近づくにつれて、連続するフィボナッチ数間の比率は黄金比に近づくため、画像で示されているように、正方形が追加されるほど、このスパイラルは前の近似に近くなります。

渦巻銀河やオウムガイの殻は黄金螺旋のパターンで幅が広くなるため、φとフィボナッチ数列の両方に関連していると誤って述べられることがある。 ^[3] 実際には、オウムガイの殻を含む多くの軟体動物の殻は対数螺旋の成長を示すが、通常、黄金螺旋とは明確に異なるさまざまな角度で成長している。 ^{[4] [5] [6]渦巻銀河は、対数螺旋、}アルキメデスの螺旋、または双曲螺旋としてモデル化されることが多いが、そのピッチ角は対数螺旋（この角度は変化しない）とは異なり、銀河中心からの距離に応じて変化し、それらをモデル化するために使用される他の数学的螺旋とも矛盾している。^{[7]植物の成長パターンである} 葉序は、黄金角によって分離された連続する葉または花びらを伴うため、黄金比と関連付けられる場合がある。これはヒマワリの種の頭のような螺旋形と関連付けられることもありますが、 ^{[8]これらは対数螺旋よりも}フェルマー螺旋に近いです。^[9]

初期半径 1 の黄金螺旋は、黄金比を 満たす 極座標 の点の 軌跡です。${\displaystyle (r,\theta )}$$${\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi },}$$${\displaystyle \varphi }$

黄金螺旋の極方程式は他の対数螺旋と同じですが、成長係数bの特別な値が加わります。^[10] または、 e は自然対数の底、aは螺旋の初期半径、b はθが直角（どちらの方向にも 1/4 回転） のとき、次のようになります。$${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$$$${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$$$${\displaystyle e^{b\theta _{\mathrm {right} }}=\varphi .}$$

したがって、bは次のように与えられる。 $${\displaystyle b={\ln {\varphi } \over \theta _{\mathrm {right} }}.}$$

bの数値は直角が90度で測定されるかラジアンで測定されるかによって異なります。角度はどちらの方向にもなるため、bの絶対値の式を書くのが最も簡単です（つまり、bはこの値の負の数になることもあります） 。θを度で 表すと、 θをラジアンで 表します。^[11]${\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ $${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over 90}\doteq 0.0053468}$$$${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}\doteq 0.3063489}$$

対数螺旋と黄金螺旋の別の公式は^[12] で、定数cは次のように与えられ、 黄金螺旋の場合、 θが度で測定された 場合cの値は θがラジアンで測定された 場合cの値はθとなる。^[13]$${\displaystyle r=ac^{\theta }}$$$${\displaystyle c=e^{b}}$$$${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611}$$$${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456}$$

対数螺旋に関して、黄金螺旋には、引数θ、θ + π、θ + 2π、θ + 3πに属する 4 つの共線螺旋点A、B、C、Dに対して、 点CはA、Dに関するBの射影調和共役である、つまり、複比( A、D ; B、C ) が特異値 -1 を持つという際立った特性があります。黄金螺旋は、 ( A、D ; B、C ) = ( A、D ; C、B ) となる唯一の対数螺旋です。

対数螺旋の極方程式では、 パラメータbは極傾斜角と関係しています。 $${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \tan \alpha =b.}$$

黄金螺旋では、一定で（上で定義したようにラジアン単位のθに対して）等しいため、傾斜角度は 度で測定した 場合 、または ラジアンで測定した場合である。^[14]${\displaystyle b}$${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \alpha =\arctan(|b|)=\arctan \left({\ln {\varphi } \over \pi /2}\right),}$$$${\displaystyle \alpha \doteq 17.03239113}$$$${\displaystyle \alpha \doteq 0.2972713047}$$

ラジアンまたは度で表した その補角は 、黄金螺旋の腕が螺旋の中心からの線と作る角度です。 $${\displaystyle \beta =\pi /2-\alpha \doteq 1.273525022}$$$${\displaystyle \beta =90-\alpha \doteq 73}$$

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