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幾何学（古代ギリシャ語の γεωμετρία （geōmetría） 「土地の測定」に由来。γῆ （gê） 「地球、土地」とμέτρον （métron） 「尺度」から）[1]は、距離、形状、大きさ、図形の相対位置などの空間の特性を扱う数学の分野です。 [2]幾何学は、算術と並んで、数学の最も古い分野の1つです。幾何学の分野で働く数学者は、幾何学者と呼ばれます。19世紀まで、幾何学は、点、線、平面、距離、角度、表面、曲線の概念を基本概念として含むユークリッド幾何学[a]にほぼ専念していました。[3]
幾何学はもともと物理的な世界をモデル化するために開発されましたが、ほぼすべての科学、さらには芸術、建築、グラフィックスに関連するその他の活動にも応用されています。[4]幾何学は、一見無関係な数学の分野にも応用されています。たとえば、代数幾何学の方法は、初等算術の観点から述べられ、数世紀にわたって未解決のままであった問題であるフェルマーの最終定理のワイルズの証明において基本的なものです。
19 世紀には、いくつかの発見により幾何学の範囲が劇的に拡大しました。そのような発見の中で最も古いものの 1 つは、カール フリードリヒ ガウスのTheorema Egregium (「注目すべき定理」) です。これは、曲面のガウス曲率はユークリッド空間への特定の埋め込みとは無関係である、と大まかに主張しています。これは、曲面を本質的に、つまり独立した空間として研究できることを意味し、多様体理論やリーマン幾何学にまで拡張されました。19 世紀後半には、平行線公準のない幾何学(非ユークリッド幾何学) を矛盾を生じさせずに展開できることが明らかになりました。一般相対性理論の基礎となる幾何学は、非ユークリッド幾何学の有名な応用です。
19 世紀後半以降、幾何学の範囲は大きく拡大され、その分野は、基礎となる方法 (微分幾何学、代数幾何学、計算幾何学、代数位相幾何学、離散幾何学(組合せ幾何学とも呼ばれる) など) や、無視されるユークリッド空間の特性(距離や平行性を無視して点の配置のみを考慮する射影幾何学、角度や距離の概念を省略したアフィン幾何学、連続性を省略した有限幾何学など) に依存する多くのサブフィールドに分割されました。幾何学の範囲のこの拡大により、「空間」という言葉の意味が変化しました。これはもともと、物理世界の3 次元空間とユークリッド幾何学によって提供されるそのモデルを指していました。現在、幾何学空間、または単に空間は、何らかの幾何学が定義される 数学的構造です。
歴史
記録に残る最も古い幾何学の始まりは、紀元前2千年紀の古代メソポタミアとエジプトにまで遡ります。 [5] [6]初期の幾何学は、長さ、角度、面積、体積に関する経験的に発見された原理の集まりであり、測量、建築、天文学、さまざまな工芸における実際的な必要性を満たすために発展しました。幾何学に関する最も古い文献として知られているのは、エジプトの リンド・パピルス（紀元前2000～1800年）とモスクワ・パピルス（紀元前 1890年頃）、およびバビロニアの粘土板、例えばプリンプトン322 （紀元前1900年）です。例えば、モスクワ・パピルスには、切頂角錐（錐台）の体積を計算する公式が示されています。[7]後の粘土板（紀元前350～50年）は、バビロニアの天文学者が木星の位置と時間速度空間内での動きを計算するために台形法を実施したことを示しています。これらの幾何学的手順は、平均速度定理を含むオックスフォード計算機を14世紀前に先取りしていました。[8]エジプトの南にある古代ヌビア人は、太陽時計の初期のバージョンを含む幾何学のシステムを確立しました。[9] [10]
紀元前7世紀、ギリシャの数学者ミレトスのタレスは幾何学を用いてピラミッドの高さや船と海岸までの距離を計算するなどの問題を解決した。タレスの定理の4つの系を導き出し、演繹的推論を幾何学に初めて応用したとされている。[11] ピタゴラスはピタゴラス学派を設立し、ピタゴラスの定理を初めて証明したとされているが、[12]この定理の表明には長い歴史がある。[13] [14] エウドクソス（紀元前408年- 紀元前 355年頃）は、曲線図形の面積と体積を計算できる尽力法[ 15]と、不等量の問題を回避する比の理論を考案し、これにより後の幾何学者は大きな進歩を遂げることができた。紀元前300年頃、幾何学はユークリッドによって革命を起こした。ユークリッドの『原論』は史上最も成功し、最も影響力のある教科書と広く考えられており[16] 、公理的方法によって数学の厳密さを導入し、定義、公理、定理、証明という今日でも数学で使用されている形式の最も古い例である。『原論』の内容のほとんどはすでに知られていたが、ユークリッドはそれを単一の首尾一貫した論理的枠組みにまとめた。[17]『原論』は20世紀半ばまで西洋の知識人なら誰でも知っていて、その内容は今日でも幾何学の授業で教えられている。[18]イタリアのシラクサのアルキメデス（紀元前 287年頃-212年）は、尽きる法を用いて無限級数の和で放物線の弧の下の面積を計算し、円周率の驚くほど正確な近似値を示した。[19]彼はまた、自身の名を冠した螺旋を研究し、回転面の体積に関する公式を得た。
インドの数学者も幾何学において多くの重要な貢献を果たしました。シャタパタ・ブラフマナ（紀元前3世紀）には、スルバ・スートラに似た儀式的な幾何学構築の規則が含まれています。[20]林 2005, p. 363 によれば、シュルバ・スートラには「古代バビロニア人には既に知られていたものの、世界で現存する最古のピタゴラスの定理の言語的表現」が含まれている。そこには、ディオファントス方程式の特殊なケースであるピタゴラスの三つ組のリストが含まれている。[ 21 ]バクシャーリー写本に は、いくつかの幾何学の問題（不規則な立体の体積に関する問題を含む）がある。バクシャーリー写本はまた、「ゼロにドットを使用する小数点値システムを採用している」。[22]アーリヤバータのアーリヤバーティヤ（499）には、面積と体積の計算が含まれている。 ブラフマグプタは、628年に天文学の著作であるブラフマスフタシッダーンタを執筆した。66のサンスクリット語を含む第12章には、66のサンスクリット語の詩編は2つのセクションに分かれており、「基本演算」（立方根、分数、比と比例、物々交換を含む）と「実用数学」（混合、数列、平面図形、レンガの積み上げ、木材の製材、穀物の積み上げを含む）である。[23]後者のセクションでは、彼は有名な円周四辺形の対角線の定理を述べた。第12章には、円周四辺形の面積の公式（ヘロンの公式の一般化）と、有理三角形（つまり、有理数辺と有理数面積を持つ三角形）の完全な説明も含まれていた。[23]
中世では、中世イスラムの数学が幾何学、特に代数幾何学の発展に貢献した。[24] [25] アル・マハニ（853年生）は、立方体の複製などの幾何学的問題を代数の問題に還元するというアイデアを考案した。[26] サビト・イブン・クルラ（ラテン語ではテビトとして知られる）（836年 - 901年）は、幾何学的量の比に適用される算術演算を扱い、解析幾何学の発展に貢献した。[27]ウマル・ハイヤーム（1048年 - 1131年）は、 3次方程式の幾何学的解を発見した。[28]イブン・アル＝ハイサム（アルハゼン）、オマール・ハイヤーム、ナスィール・アルッディーン・アル＝トゥーシによるランバート四辺形やサッケリ四辺形などの四辺形に関する定理は、ヴィテッロ（ 1230年頃 -1314年頃）、ゲルソニデス（1288年- 1344年）、アルフォンソ、ジョン・ウォリス、ジョヴァンニ・ジローラモ・サッケリなどの後のヨーロッパの幾何学者によって続けられた平行線公理の研究の一部であり、19世紀までに双曲幾何学の発見につながった。[29]
17世紀初頭、幾何学において二つの重要な発展がありました。一つ目は、ルネ・デカルト（1596–1650）とピエール・ド・フェルマー（1601–1665）による解析幾何学、すなわち座標と方程式を用いた幾何学の創始です。 [30]これは、微積分学と物理学の正確な定量的科学の発展に不可欠な前兆でした。[31]この時期の幾何学の二つ目の発展は、ジラール・デザルグ（1591–1661）による射影幾何学の体系的な研究です。 [32]射影幾何学は、特に芸術的遠近法との関連において、投影や断面において変化しない図形の特性を研究します。[33]
19 世紀における幾何学の 2 つの発展は、それまでの幾何学の研究方法を変えた。[34]ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキー、ヤーノシュ・ボヤイ、カール・フリードリヒ・ガウスによる非ユークリッド幾何学の発見と、フェリックス・クラインのエアランゲン計画 (ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学を一般化した) における対称性の定式化である。当時の幾何学の巨匠には、主に数学的解析のツールを用いてリーマン面を導入したベルンハルト・リーマン(1826–1866)と、代数的位相幾何学と動的システムの幾何学理論の創始者であるアンリ・ポアンカレの 2 人がいた。幾何学の概念におけるこれらの大きな変化の結果として、「空間」の概念は豊かで多様なものとなり、複素解析や古典力学のような異なる理論の自然な背景となった。[35]
主なコンセプト
以下は幾何学における最も重要な概念の一部です。[3] [36]
公理
ユークリッドは、史上最も影響力のある書籍の一つである『原論』 [37]で、幾何学に対して抽象的なアプローチをとった。 [38]ユークリッドは、点、線、平面の基本的または自明な性質を表現する公理や公準を導入した。[ 39 ]彼は数学的推論によって他の性質を厳密に演繹した。ユークリッドの幾何学に対するアプローチの特徴はその厳密さであり、公理幾何学または総合幾何学として知られるようになった。[40] 19世紀初頭、ニコライ・ロバチェフスキー（1792–1856）、ヤーノシュ・ボヤイ（1802–1860）、カール・フリードリヒ・ガウス（1777–1855）らによる非ユークリッド幾何学の発見により[41]、この分野への関心が再燃し、20世紀にはダヴィド・ヒルベルト（1862–1943）が公理的推論を用いて幾何学の現代的な基礎を提供しようとした。[42]
空間と部分空間
ポイント
点は、一般的に幾何学を構築するための基本的なオブジェクトであると考えられています。点は、ユークリッドの定義「部分のない物」[43]や総合幾何学のように、持たなければならない特性によって定義される場合があります。現代数学では、点は通常、それ自体が公理的に定義されている空間と呼ばれる集合の要素として定義されます。
これらの現代的な定義では、あらゆる幾何学的形状は点の集合として定義されます。これは総合幾何学では当てはまりません。総合幾何学では、線は通過する点の集合として見なされない別の基本オブジェクトです。
しかし、点が原始的オブジェクトではない、あるいは点が存在しない現代の幾何学も存在します。[44] [45]そのような幾何学の中で最も古いものの一つは、1919年から1920年にかけてアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドによって定式化されたホワイトヘッドの点のない幾何学です。
ライン
ユークリッドは直線を「その直線上の点に関して等しく横たわる」「幅のない長さ」と表現した。[43]現代数学では、幾何学の多様性を考えると、直線の概念は幾何学の表現方法と密接に結びついている。例えば、解析幾何学では、平面上の直線は、与えられた線形方程式を満たす座標を持つ点の集合として定義されることが多いが、 [ 46]入射幾何学などのより抽象的な設定では、直線は、その直線上にある点の集合とは別の独立したオブジェクトである場合がある。[47]微分幾何学では、測地線は直線の概念を曲がった空間に一般化したものである。[48]
飛行機
ユークリッド幾何学では、平面は無限に広がる平らな2次元面である。[43]他の種類の幾何学の定義は、これを一般化したものである。平面は幾何学の多くの分野で使用されている。例えば、平面は距離や角度を参照せずに位相面として研究することができる。 [49]アフィン空間として研究することができ、その場合、共線性と比率は研究できるが距離は研究できない。[50]複素解析の手法を使用して複素平面として研究することができる。[51]などである。
曲線
曲線は1次元の物体であり、直線（線のように）である場合もあればそうでない場合もある。2次元空間の曲線は平面曲線と呼ばれ、3次元空間の曲線は空間曲線と呼ばれる。[52]
位相幾何学では、曲線は実数の区間から別の空間への関数によって定義されます。[49]微分幾何学でも同じ定義が使われますが、定義関数は微分可能である必要があります。[53]代数幾何学では代数曲線を研究します。代数曲線は1次元の代数多様体として定義されます。[54]
表面
曲面は球面や放物面などの2次元の物体である。[55]微分幾何学[53]や位相幾何学[49]では、曲面はそれぞれ微分同相写像や同相写像によって組み立てられた2次元の「パッチ」（または近傍）によって記述される。代数幾何学では、曲面は多項式方程式によって記述される。[54]
固体
立体は閉じた面によって囲まれた 3 次元の物体です。たとえば、ボールは球によって囲まれた体積です。
多様体
多様体は曲線と曲面の概念を一般化したものである。位相幾何学では、多様体とは、あらゆる点がユークリッド空間に同相な近傍を持つ位相空間のことである。 [49]微分幾何学では、微分可能多様体とは、各近傍がユークリッド空間に微分同相な空間のことである。[53]
多様体は一般相対性理論や弦理論を含む物理学で広く使われている。[56]
角度
ユークリッドは平面角を、平面上で互いに交わり、互いに対して真っ直ぐではない2本の線の傾きと定義しました。[43]現代の用語では、角度は、角度の頂点と呼ばれる共通の端点を共有する、角度の辺と呼ばれる2本の光線によって形成される図形です。 [57] 角度の大きさは角度の尺度として形式化されます。
ユークリッド幾何学では、角度は多角形や三角形を研究するために使われるだけでなく、それ自体が研究対象でもあります。[43]三角形の角度や単位円の角度の研究は三角法の基礎となります。[58]
微分幾何学と微積分学では、平面曲線や空間曲線または曲面の間の角度は導関数を使って計算することができます。[59] [60]
測定単位: 長さ、面積、体積
長さ、面積、体積はそれぞれ1次元、2次元、3次元における物体の大きさや範囲を表します。[61]
ユークリッド幾何学や解析幾何学では、線分の長さはピタゴラスの定理によって計算できることが多い。[62]
面積と体積は長さとは別の基本量として定義することも、平面または3次元空間の長さで記述および計算することもできます。[61]数学者は、さまざまな幾何学的物体の面積と体積の公式を明示的に多数発見しました。微積分では、面積と体積はリーマン積分[63]やルベーグ積分[64]などの積分で定義できます。
指標と測定
長さや距離の概念は一般化することができ、計量の概念につながります。[65]たとえば、ユークリッド計量はユークリッド平面上の点間の距離を測定し、双曲計量は双曲平面上の距離を測定します。計量の他の重要な例としては、特殊相対性理論のローレンツ計量や一般相対性理論の半リーマン計量があります。[66]
別の方向では、長さ、面積、体積の概念は測度論によって拡張され、集合に大きさや尺度を割り当てる方法を研究する。ここでの尺度は古典的な面積や体積の規則に似た規則に従う。[67]
一致と類似
合同性と相似性は、2つの形状が類似した特性を持つ場合を説明する概念です。[68]ユークリッド幾何学では、相似性は同じ形状の物体を説明するために使用され、合同性はサイズと形状の両方が同じ物体を説明するために使用されます。[69] ヒルベルトは、幾何学のより厳密な基礎を築くための研究の中で、合同性を、その特性が公理によって定義される未定義の用語として扱いました。
合同性と相似性は、異なる種類の変換によって保存される幾何学的オブジェクトの特性を研究する変換幾何学において一般化されている。 [70]
コンパスと定規による作図
古典幾何学者は、他の方法で記述された幾何学的対象を構築することに特別な注意を払いました。古典的には、ほとんどの幾何学的構築で使用される唯一の道具はコンパスと定規です。[c]また、すべての構築は有限数の手順で完了する必要がありました。しかし、いくつかの問題はこれらの手段だけでは解決が困難または不可能であることが判明し、ニューシス、放物線、その他の曲線、または機械装置を使用した独創的な構築が見つかりました。
回転と方向
回転と方向の幾何学的概念は、平面または空間に埋め込まれたオブジェクトの配置の一部を定義します。
寸法
伝統的な幾何学では、次元 1（直線または曲線）、次元 2（平面または表面）、次元 3（3 次元空間として考えられた私たちの周囲の世界）が認められていました。さらに、数学者と物理学者は、ほぼ 2 世紀にわたって高次元を使用してきました。 [71]高次元の数学的使用の一例は、物理システムの構成空間であり、これはシステムの自由度に等しい次元を持ちます。たとえば、ネジの構成は 5 つの座標で記述できます。[72]
一般位相幾何学では、次元の概念は自然数から無限次元（例えばヒルベルト空間）や正の実数（フラクタル幾何学）にまで拡張されている。[73]代数幾何学では、代数多様体の次元は一見異なる定義をいくつか受けているが、最も一般的なケースではすべて同等である。[74]
対称
幾何学における対称性のテーマは、幾何学そのものの科学と同じくらい古い。[75]円、正多角形、プラトン立体などの対称的な図形は、多くの古代哲学者にとって深い意味を持ち[76]、ユークリッドの時代以前に詳細に研究されていた。[39]対称的なパターンは自然界に見られ、レオナルド・ダ・ヴィンチ、MCエッシャーなどのグラフィックを含め、さまざまな形で芸術的に表現されている。 [77] 19世紀後半には、対称性と幾何学の関係が徹底的に調査されるようになった。フェリックス・クラインのエアランゲン・プログラムは、変換群の概念で表現される対称性が、非常に正確な意味で幾何学が何であるかを決定すると主張した。[78]古典的なユークリッド幾何学における対称性は合同と剛体運動によって表現されるが、射影幾何学では、直線を直線にする幾何学的変換である共線化によって同様の役割が演じられる。 [79]しかし、ボヤイとロバチェフスキー、リーマン、クリフォードとクライン、ソフス・リーによる新しい幾何学において、クラインの「対称群を介して幾何学を定義する」というアイデアがインスピレーションを得た。[80]離散対称性と連続対称性はどちらも幾何学において重要な役割を果たしており、前者は位相幾何学と幾何学群論で、[81] [82]後者はリー理論とリーマン幾何学で重要な役割を果たしている。[83] [84]
別の種類の対称性として、射影幾何学などの分野における双対性の原理がある。このメタ現象は、おおよそ次のように記述できる。任意の定理において、点を平面と交換し、を結合して と交わり、がにあり、を含む。結果は同様に正しい定理である。[85]同様で密接に関連した形の双対性が、ベクトル空間とその双対空間の間にも存在する。[86]
現代幾何学
ユークリッド幾何学
ユークリッド幾何学は古典的な意味での幾何学である。[87]物理世界の空間をモデル化するため、力学、天文学、結晶学、[88]などの多くの科学分野や、工学、[89] 建築学、[90] 測地学、[91] 航空力学、[92]航海術などの多くの技術分野で使用されている。[93]大多数の国々の必修教育カリキュラムには、点、線、平面、角度、三角形、合同、相似、立体図形、円、解析幾何学などのユークリッドの概念の研究が含まれている。 [ 94 ]
ユークリッドベクトル
ユークリッド ベクトルは、位置、変位、変形、速度、加速度、力など、 物理学や工学のさまざまな用途に使用されます。
微分幾何学
微分幾何学は、微積分と線型代数の技術を用いて幾何学の問題を研究する。[95]微分幾何学は、物理学[96] 、[97]、バイオインフォマティクス[98]などの分野で応用されている。
特に、微分幾何学は、宇宙は曲がっているというアルバート・アインシュタインの一般相対性理論の仮説により、数理物理学にとって重要である。[99]微分幾何学は、内在的（考慮する空間が滑らかな多様体であり、その幾何学的構造がリーマン計量によって支配され、各点の近くで距離がどのように測定されるかを決定する）または外在的（研究対象が周囲の平坦なユークリッド空間の一部である場合）のいずれかである。[100]
非ユークリッド幾何学
3種類の幾何学における共通の垂線を持つ直線の挙動
トポロジー
位相幾何学は連続写像の性質を扱う分野であり[ 101]、ユークリッド幾何学の一般化と考えることができる。[102]実際には、位相幾何学は連結性やコンパクト性などの空間の大規模な性質を扱うことを意味することが多い。[49]
20世紀に大きく発展した位相幾何学の分野は、技術的な意味では、変換が同相写像である変換幾何学の一種です。[103]これは、「位相幾何学はゴムシート幾何学である」という言い回しでよく表現されます。位相幾何学のサブフィールドには、幾何学的位相幾何学、微分位相幾何学、代数的位相幾何学、一般位相幾何学などがあります。[104]
代数幾何学
代数幾何学は、基本的には代数的手法を用いて、代数集合と呼ばれる幾何学的形状を研究する学問であり、多変数多項式の共通零点として定義される。[105]代数幾何学は、代数集合と多項式環のイデアルとの間に強い対応関係を確立するヒルベルトの零点定理によって、 1900年頃に幾何学の独立した一分野となった。これにより、代数幾何学と、その代数版である可換代数が並行して発展した。[106] 1950年代後半から1970年代半ばにかけて、代数幾何学はアレクサンダー・グロタンディークによるスキーム理論の導入により、基礎的な大きな発展を遂げた。スキーム理論により、コホモロジー理論などの位相的手法を純粋に代数的な文脈で使用できるようになる。[106]スキーム理論は幾何学だけでなく数論の多くの難問を解くことを可能にした。ワイルズのフェルマーの最終定理の証明は、スキーム理論とその拡張であるスタック理論を用いた数論の長年の問題の有名な例である。7つのミレニアム懸賞問題のうちの1つであるホッジ予想は代数幾何学の問題である。[107]
代数幾何学は暗号[108]や弦理論[109]など多くの分野に応用されています。
複雑な形状
複素幾何学は、複素平面をモデルにした、あるいは複素平面から生じる幾何学的構造の性質を研究する。[110] [111] [112]複素幾何学は、微分幾何学、代数幾何学、および複素変数の解析学の交差点に位置し、弦理論やミラー対称性への応用が見出されている。[113]
複素幾何学は、ベルンハルト・リーマンのリーマン面の研究において、初めて独自の研究分野として登場した。[114] [115] [116]リーマンの精神を継承した研究は、 1900年代初頭にイタリア代数幾何学学派によって行われた。複素幾何学の現代的な扱いは、ジャン＝ピエール・セールの研究に始まり、セールはこの分野に層の概念を導入し、複素幾何学と代数幾何学の関係を明らかにした。[117] [118] 複素幾何学の主な研究対象は、複素多様体、複素代数多様体、複素解析多様体、およびこれらの空間上の正則ベクトル束と連接層である。複素幾何学で研究される空間の特別な例としては、リーマン面やカラビ・ヤウ多様体があり、これらの空間は弦理論で使われている。特に、弦の世界面はリーマン面によってモデル化され、超弦理論では10 次元時空の余分な 6 次元がカラビ・ヤウ多様体によってモデル化される可能性があると予測されています。
離散幾何学
離散幾何学は凸幾何学と密接な関係がある分野である。[119] [120] [121]離散幾何学は主に点、線、円などの単純な幾何学的物体の相対的な位置の問題を扱う。例としては、球の詰め込み、三角形分割、クネザー・ポウルセン予想などの研究が挙げられる。[122] [123]離散幾何学は組合せ論と多くの方法や原理を共有している。
計算幾何学
計算幾何学は、幾何学的物体を操作するためのアルゴリズムとその実装を扱います。歴史的に重要な問題には、巡回セールスマン問題、最小全域木、隠線除去、線形計画法などがあります。[124]
幾何学の新しい分野ではありますが、コンピュータビジョン、画像処理、コンピュータ支援設計、医療画像など多くの分野で応用されています。[125]
幾何群論
幾何群論は、大規模な幾何学的手法を用いて有限生成群を研究する。[126]幾何群論は、ミレニアム懸賞問題であるポアンカレ予想の証明を含むグリゴリー・ペレルマンの幾何化予想の証明など、低次元位相幾何学と密接に関連している。[127]
幾何群論は、群の幾何学的表現であるケイリーグラフを中心に展開されることが多い。その他の重要なトピックには、準等長写像、グロモフ双曲群、直角アルティン群などがある。[126] [128]
凸幾何学
凸幾何学は、ユークリッド空間の凸形状とそのより抽象的な類似物を、実解析や離散数学の手法を用いて研究する。[129]凸解析、最適化、関数解析と密接な関係があり、数論における重要な応用でもある。
凸幾何学の歴史は古代に遡る。[129] アルキメデスは凸性について初めて正確な定義を与えた。凸幾何学で繰り返し現れる概念である等周問題は、ゼノドロスを含むギリシャ人によっても研究された。アルキメデス、プラトン、ユークリッド、そして後にはケプラーやコクセターらは、いずれも凸多面体とその性質を研究した。19世紀以降、数学者は高次元多面体、凸体の体積と表面積、ガウス曲率、アルゴリズム、タイリング、格子など、凸数学の他の分野を研究してきた。
アプリケーション
幾何学は多くの分野で応用されており、そのいくつかを以下に説明します。
美術
数学と芸術はさまざまな形で関連しています。例えば、透視図法の理論は、幾何学には図形の測定特性以上のものがあることを示しています。透視図法は射影幾何学の起源です。[130]
芸術家は長い間、デザインにおいて比率の概念を使用してきました。ウィトルウィウスは、人間の理想的な比率に関する複雑な理論を開発しました。 [131]これらの概念は、ミケランジェロから現代の漫画家まで、芸術家によって使用され、適応されてきました。 [132]
黄金比は、芸術において議論の的となってきた特定の比率である。最も美的に美しい長さの比率であるとしばしば主張され、有名な芸術作品に取り入れられているとよく言われるが、最も信頼性が高く明確な例は、この伝説を知っている芸術家によって意図的に作られたものである。[133]
タイル張り、またはモザイク模様は、歴史を通じて芸術で使用されてきました。イスラム美術ではモザイク模様が頻繁に使用されており、MCエッシャーの芸術でも同様でした。[134]エッシャーの作品では双曲幾何学も使用されていました。
セザンヌは、すべてのイメージは球、円錐、円筒から構築できるという理論を提唱した。この理論は今日でも美術理論で使われているが、正確な形状のリストは作者によって異なる。[135] [136]
建築
幾何学は建築において多くの応用があります。実際、幾何学は建築デザインの中核にあると言われています。[137] [138]建築における幾何学の応用には、射影幾何学を使用して強制遠近法を作成すること、[139]ドームや類似のオブジェクトを構築する際に円錐曲線を使用すること、[90]テッセレーションを使用すること、[90]対称性を使用することなどがあります。[90]
物理
天文学の分野、特に天球上の恒星や惑星の位置を地図に表したり、天体の動きの関係を記述したりする分野は、歴史を通じて幾何学の問題の重要な源泉となってきました。[140]
リーマン幾何学と擬リーマン幾何学は一般相対性理論で使用されている。[141] 弦理論では幾何学のいくつかの変種が利用されており、[142]量子情報理論でも同様である。[143]
その他の数学の分野
微積分学は幾何学の影響を強く受けた。[30]例えば、ルネ・デカルトによる座標の導入とそれに伴う代数の発展は、平面曲線などの幾何学的図形を関数や方程式の形で解析的に表現できるようになり、幾何学にとって新たな段階を画した。これは17世紀に微積分学が出現する上で重要な役割を果たした。解析幾何学は、現在も微積分学の前段階と微積分学のカリキュラムの柱となっている。[144] [145]
もう一つの重要な応用分野は数論である。[146]古代ギリシャでは、ピタゴラス学派が幾何学における数の役割を検討した。しかし、通約不可能な長さの発見は彼らの哲学的見解と矛盾した。[147] 19世紀以来、幾何学は数論の問題を解くために使用されており、例えば数の幾何学や、より最近では、ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明に使用されたスキーム理論などがある。[148]
参照
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注記
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さらに読む
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- Nikolai I. Lobachevsky (2010)。パンジオメトリー。ヨーロッパ数学の遺産シリーズ。第 4 巻。翻訳者および編集者: A. Papadopoulos。ヨーロッパ数学協会。
- レナード・ムロディノフ(2002)。『ユークリッドの窓 平行線から超空間までの幾何学の物語』（英国版）。アレン・レーン。ISBN 978-0-7139-9634-0。
外部リンク
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ウィキブックスの教科書
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ウィキブックスには、幾何学に関する詳細が掲載されています。
- ブリタニカ百科事典第11巻（第11版）。1911年。675～736ページ。
- Wikiversity の幾何学コース
- 異常な幾何学問題
- 数学フォーラム – 幾何学
- 数学フォーラム – K-12 幾何学
- 数学フォーラム – 大学幾何学
- 数学フォーラム – 高度な幾何学
- 自然の進歩 – ストーンヘンジの杭とロープの幾何学
- 数学地図帳 – 数学の幾何学的領域
- 「4000 年の幾何学」、ロビン ウィルソンによる講義、グレシャム カレッジ、2007 年 10 月 3 日 (テキスト ファイルのほか、MP3 および MP4 のダウンロードも可能)
- スタンフォード哲学百科事典における幾何学における有限主義
- ジオメトリジャンクヤード
- 数百のアプレットを備えたインタラクティブなジオメトリリファレンス
- ダイナミックジオメトリスケッチ（生徒の探究を含む）
- カーンアカデミーの幾何学の授業