代数幾何学用語集

これは代数幾何学の用語集です。

可換代数の用語集、古典代数幾何学の用語集、環論の用語集も参照のこと。数論への応用については、算術とディオファントス幾何学の用語集を参照のこと。

簡潔にするため、基本スキームへの参照はしばしば省略されます。つまり、スキームは固定された基本スキームS上のスキームであり、射はS射となります。

${\displaystyle \eta }$

一般的な点。例えば、任意の積分アフィンスキームにおけるゼロイデアルに関連付けられた点。

F ( n ), F ( D )

1. Xがセルのねじれ層を持つ射影スキームである場合  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$Fが​${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュール、次に${\displaystyle F(n)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(n).}$

2. Dがカルティエ因子でFが  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュール（Xは任意）の場合、${\displaystyle F(D)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(D).}$Dがワイル因子であり、Fが反射的である場合、 F ( D ) をその反射的包で置き換えます(そして、結果をF ( D ) と呼びます)。

| D |

代数的に閉じた体k上の正規完備多様体X上のWeil 因子Dの完全線形システム、すなわち、${\displaystyle |D|=\mathbf {P} (\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)))}$| D | のk有理点の集合と、 Dと線形同値なX上の有効な Weil 因子の集合の間には、全単射が存在する。^{[ 1 ]} Dがk上の完全多様体のCartier 因子である場合も、同じ定義が用いられる。

[X/G]

例えば、群スキームGの作用による代数空間Xの商スタック。

${\displaystyle X/\!/G}$

グループスキームGの作用によるスキームXのGIT商。

L ⁿ

曖昧な表記法です。通常はLのn乗テンソルを意味しますが、 Lの自己交差数を意味することもあります。${\displaystyle L={\mathcal {O}}_{X}}$X上の構造層の場合、 n 個のコピーの直和を意味します。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$。

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$

トートロジー的な線束。これは、セールのねじれ束の双対である。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$。

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$

セールのねじれ束。これは同義線束の双対である。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$これは超平面束とも呼ばれる。

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

1. DがX上の有効なカルティエ因子である場合、D はDのイデアル層の逆元である。  

2.ほとんどの場合、  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$は、カルティエ因子群からピカール群への自然な群準同型写像によるDの像である。${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$Xの、 X上の線束の同型類の群。

3.一般的に、  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$は、ワイル因子D (正規スキーム上)に対応する層です。局所的に自由である必要はなく、反射的であればよいです。

4. Dが​  ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-除数、次に${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$は${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$Dの整数部分。

$\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$

1.  ${\displaystyle \オメガ _{X}^{1}}$はX上のケーラー微分群である。

2.  $\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$はp番目の外部電力です${\displaystyle \オメガ _{X}^{1}}$。

${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$

1. pが1の場合、これはDに沿ったX上の対数ケーラー微分（おおよそ因子Dに沿った単純極を持つ微分形式）の層である。  

2.  ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$はp番目の外部電力です$\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$。

P（V）

この表記は曖昧です。その伝統的な意味は、有限次元kベクトル空間Vの射影化です。つまり、 ${\displaystyle \mathbf {P} (V)=\演算子名 {Proj} (k[V])=\演算子名 {Proj} (\演算子名 {Sym} (V^{*}))}$ (多項式関数の環k [ V ]のProj ) とそのk点はV内の直線に対応する。対照的に、Hartshorne と EGA は、Vの対称代数の Proj をP ( V ) と表記する。

Q階乗

通常の品種は${\displaystyle \mathbb {Q} }$-階乗（すべての場合）${\displaystyle \mathbb {Q} }$-ワイル除数は${\displaystyle \mathbb {Q} }$-カルティエ。

Spec( R )

ザリスキー位相を持つ環Rにおけるすべての素イデアルの集合。これはRの素スペクトルと呼ばれる。

仕様_X（F）

O _X代数Fの相対Spec 。Spec ( F ) または単にSpec ( F )とも表記されます。

仕様( R )^​

ある弱位相を持つ環Rのすべての評価値の集合。これはRのベルコビッチ スペクトルと呼ばれる。

アーベル的

1.アーベル多様体は完全群多様体である。例えば、複素多様体を考える。  $\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\mathbb {Z} ^{2n}}$または楕円曲線${\displaystyle E}$有限体上$\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$。

2.アーベルスキームとは、アーベル多様体の（平坦な）族のことである。  

付加式

1. D が代数多様体X上の有効なカルティエ因子である場合、両方とも双対化層を許容する。  ${\displaystyle \omega _{D},\omega _{X}}$すると、随伴式は次のようになる。 ${\displaystyle \omega _{D}=(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(D))|_{D}}$。

2.さらに、XとDが滑らかである場合、この式は次のように表すことができます。   ${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}}$ どこ${\displaystyle K_{D},K_{X}}$DとXの標準因子である。

アフィン

1.アフィン空間は、おおよそ原点を忘れてしまったベクトル空間である。  

2.アフィン多様体はアフィン空間における多様体である。  

3.アフィンスキームとは、ある可換環の素スペクトルであるスキームのことである。  

4.任意の開アフィン部分集合の逆像が再びアフィンである場合、射はアフィンであると呼ばれる。より専門的な用語で言えば、アフィン射は環のスペクトルとの類推によって定義されるO _X -代数の層のグローバルSpec構成によって定義される。重要なアフィン射はベクトル束と有限射である。  

5.射影空間の閉じた部分多様体X上のアフィン錐は、 Xの同次座標環の Spec である。  

代数幾何学は、前世紀の数学において中心的な位置を占めていました。アーベル、リーマン、ワイエルシュトラスの最も深遠な成果、クラインやポアンカレの最も重要な論文の多くは、この分野に属しています。前世紀末から今世紀初頭にかけて、代数幾何学に対する姿勢は急激に変化しました。…当時、代数幾何学において完全に確立されていた思考様式は、当時の数学の発展を決定づけていた集合論的かつ公理的な精神からあまりにもかけ離れていました。…今世紀半ば頃、代数幾何学はこうした再構築の過程をかなり経ました。その結果、代数幾何学はかつて数学において占めていた地位を再び主張できるようになったのです。

— IR シャファレビッチ著『基礎代数幾何学』の序文より。

代数幾何学

代数幾何学は、代数方程式の解を研究する数学の一分野である。

1つの要素を持つ体上の代数幾何学

目標の一つは、リーマン予想を証明することである。^{[ 2 ]} 1つの要素を持つ体も参照のこと。Peña , Javier López; Lorscheid, Oliver (2009-08-31). "Mapping F_1-land:An overview of geometries over the field with one element". arXiv : 0909.0069 [ math.AG ]。^{[ 3 ] [ 4 ]}も同様です 。

代数群

代数群とは、代数多様体でありながら群でもあるもので、群演算が多様体の射となるようなものである。

代数スキーム

体上の有限型の分離スキーム。例えば、代数多様体は既約な代数スキームである。

代数集合

体k上の代数集合は、有限型の縮約分離スキームである。${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$既約な代数集合は代数多様体と呼ばれる。

代数空間

代数空間は、スキームをエタール同値関係で割った商空間である。

代数多様体

体k上の代数多様体は、有限型の積分分離スキームである。${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$。なお、 kが代数的に閉じていると仮定しないと、いくつかの問題が生じます。例えば、${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {C} \times _{\mathbb {R} }\operatorname {Spec} \mathbb {C} }$座標環なので、これは多様性ではない${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$は整数領域ではありません。

代数ベクトル束

有限ランクの局所自由層。

十分な

射影多様体上の線束は、その線束のテンソル冪が極めて豊富である場合に豊富である。

アラケロフ幾何学

有理整数環のSpecのコンパクト化上の代数幾何学${\displaystyle \mathbb {Z} }$。「アラケロフ幾何学」を参照してください。^{[ 5 ]}

算術種数

次元rの射影多様体Xの算術種数は${\displaystyle (-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)}$。

アルティンスタック

代数スタックの別の用語。

アルティニアン

0次元かつネーター的。この定義は、スキームと環の両方に適用される。

基本変更

スキームのファイバー積、特に体拡張E / kに対するSpec Eを持つkスキームXのファイバー積。 

ベーレンド関数

ベーレンド関数に関する(nice) スタックXの重み付きオイラー標数は、Xの仮想基本クラスの次数である。

ベーレンドのトレース式

ベーレンドのトレース公式はグロタンディークのトレース公式を一般化したものであり、どちらの公式もl進コホモロジー上のフロベニウスのトレースを計算する。

大きい

次元nのX上の大きな線束Lは、次のような線束である。${\displaystyle \displaystyle \limsup _{l\to \infty }\operatorname {dim} \Gamma (X,L^{l})/l^{n}>0}$。

双有理射

スキーム間の双有理射とは、ある稠密な開集合に制限すると同型になる射のことである。双有理写像の最も一般的な例の一つは、ブローアップによって誘導される写像である。

爆発

ブローアップとは、閉じた部分スキームを有効なカルティエ因子に置き換える双有理変換です。正確には、ネーター的スキームXと閉じた部分スキームが与えられたとき、${\displaystyle Z\subset X}$XのZに沿った拡大は適切な射である${\displaystyle \pi$ :{\widetilde {X}}\to X} で (1)${\displaystyle \pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X}}}$は有効なカルティエ除数であり、例外除数と呼ばれ、(2)${\displaystyle \pi }$は（１）に関して普遍的である。具体的には、リース代数の相対的プロジェクションとして構成される。${\displaystyle O_{X}}$Zを決定する理想層に関して。

カラビ・ヤウ

カラビ・ヤウ計量は、リッチ曲率がゼロであるケーラー計量である。

正典

1. n次元の正規多様体X上の標準層は  ${\displaystyle \omega _{X}=i_{*}\Omega _{U}^{n}}$ここでiは滑らかな軌跡Uの包含であり、${\displaystyle \オメガ _{U}^{n}}$は、 U上の次数nの微分形式の層である。基底体の標数が正規性ではなくゼロである場合、i を特異点の解消に置き換えることができる。

2.正規クラス  ${\displaystyle K_{X}}$通常の多様体Xにおいて、次の因子クラスが成り立つ。$\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(K_{X})=\omega _{X}}$。

3.標準因子は標準クラスの代表である  ${\displaystyle K_{X}}$同じ記号で表される（そして明確に定義されていない）。

4.正規多様体Xの標準環は標準層の切断環である。  

標準モデル

標準モデルは、標準環の射影である（ただし、環は有限生成であると仮定する）。

カルティエ

S上のスキームXにおける有効なカルティエ因子Dとは、 S上で平坦であり、かつそのイデアル層が可逆である (局所的にランク 1 を含まない) Xの閉じた部分スキームのことである。

カステルヌオーヴォ・マンフォードの規則性

射影空間上の連接層Fのカステルヌオーヴォ・マンフォード正則性${\displaystyle f:\mathbf {P} _{S}^{n}\to S}$スキームS上では、次 の最小の整数rである。

${\displaystyle R^{i}f_{*}F(ri)=0}$

すべてのi > 0 に対して。

カテナリー

スキームがカテナリーであるというのは、2つの既約な閉じた部分スキーム間のすべての鎖の長さが等しい場合をいう。例としては、体上の多様体など、事実上あらゆるものが挙げられ、カテナリーでない例を構成することは困難である。

中央光ファイバー

特殊な繊維。

チョウグループ

k番目のチョウグループ${\displaystyle A_{k}(X)}$滑らかな多様体Xの自由アーベル群は、有理同値による次元 k の閉じた部分多様体(k サイクル群)によって生成される。

分類

1.分類は数学全般における指導原理であり、特定の性質を満たすすべての対象を、不変量や何らかの構成的プロセスといったよりアクセスしやすいデータによって、与えられた同値関係まで記述しようとするものです。代数幾何学では、離散不変量と連続不変量を区別します。連続分類不変量については、さらにモジュライ空間につながる幾何学的構造を与えようと試みます。  

2.代数的に閉じた体上の完全な滑らかな曲線は、有理同値を除いて種数によって分類される。  ${\displaystyle g}$（a）${\displaystyle g=0}$有理曲線、すなわち曲線が射影直線に対して双有理である。${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$（b）${\displaystyle g=1}$楕円曲線、すなわち曲線上の任意の点を恒等点として選んだ後、曲線が完全な1次元群スキームとなる曲線。( c )${\displaystyle g\geq 2}$双曲曲線は、一般型の曲線とも呼ばれます。例については、代数曲線を参照してください。滑らかな曲線の分類は、特に平面曲線に限定した場合、射影的に埋め込まれた曲線の次数によって細分化できます。すべての完全な滑らかな曲線は、射影空間への埋め込みを許容するという意味で射影的ですが、次数が適切に定義されるためには、そのような埋め込みの選択を明示的に指定する必要があります。数体上の完全な滑らかな曲線の算術（特にその有理点の数と構造）は、関連する曲線基底を代数的閉包に変更した分類によって支配されます。算術的意味の詳細については、ファルティングスの定理を参照してください。

3.代数的に閉じた体上の完全滑らかな曲面の分類（有理同値性まで）。詳細については、分類の概要またはエンリケス・コダイラ分類を参照してください。  

4.代数的に閉じた体上の特異点およびそれに関連するザリスキー近傍の同型までの分類。 (a) 標数 0 では、ヒロナカの分解結果により、特異点に不変量が付加され、それらが分類されます。(b) 曲線および曲面については、分類も得られる任意の標数で分解が知られています。曲線についてはこちら、曲線と曲面についてはこちらを参照してください。  

5.ファノ品種の小次元分類  

6.最小モデルプログラムは、高次元（少なくとも2次元）における完全平滑多様体の双有理分類へのアプローチである。本来の目的は平滑多様体に関するものであるが、終端特異点が自然に現れ、より広い分類の一部となる。  

7.代数的に閉じた体上の同型を除いての分割簡約群の分類。  

分類スタック

代数幾何学におけるトルソルの分類空間の類似物。分類スタックを参照。

閉店

スキームXの閉じた部分スキームは、次の構成で現れるものとして定義される。J を準連接層とする。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-理想。商層の支持${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/J}$Xの閉部分集合Zであり、${\displaystyle (Z,({\mathcal {O}}_{X}/J)|_{Z})}$は、準コヒーレントなイデアルの層Jによって定義される閉じた部分スキームと呼ばれるスキームです。^{[ 6 ]}閉じた部分スキームの定義がこのような構成に依存する理由は、開いた部分集合とは異なり、スキームの閉じた部分集合は部分スキームとして一意の構造を持たないためです。

コーエン＝マコーレー

すべての局所環がコーエン・マコーレーである場合、そのスキームはコーエン・マコーレーと呼ばれます。たとえば、正則スキームとSpec k [ x,y ]/( xy ) はコーエン・マコーレーですが、 は そうではありません。

連結した束

ネーター的スキームX上のコヒーレント層は、 O _X -加群として有限生成される準コヒーレント層である。

円錐形

2次代数曲線。

接続済み

このスキームは位相空間として連結です。連結成分は既約成分を細分化するため、任意の既約スキームは連結ですが、その逆は成り立ちません。アフィン スキームSpec(R)は、環R が0 と 1 以外の冪等元を持たない場合に限り連結です。このような環は連結環とも呼ばれます。連結スキームの例としては、アフィン空間、射影空間などがあり、連結でないスキームの例としては Spec ( k [ x ]× k [ x ])があります。

圧縮

例えば、永田のコンパクト化定理を参照のこと。

コックスリング

同次座標環の一般化。コックス環を参照。

クレパント

クレパントモルフィズム${\displaystyle f:X\to Y}$正規多様体間の射は、$${\displaystyle f^{*}\omega _{Y}=\omega _{X}}$$。

曲線

次元が1の代数多様体。

変形

させて${\displaystyle S\to S'}$をスキームの射とし、X をSスキームとする。このとき、 Xの変形X 'は、S ' スキームと、 XがX 'の引き戻しである引き戻し正方形（通常、X ' は平坦であると仮定される）からなる。

退化遺伝子座

ベクトル束マップが与えられた場合${\displaystyle f:E\to F}$多様体X (つまり、束の全空間間のスキームX射) 上では、退化軌跡は (スキーム理論的な) 軌跡である。 ${\displaystyle X_{k}(f)=\{x\in X|\operatorname {rk} (f(x))\leq k\}}$。

変性

1.スキームXはスキームに退化すると言われます。  ${\displaystyle X_{0}}$（ Xの極限と呼ばれる）スキームが存在する場合${\displaystyle \pi :Y\to \mathbf {A} ^{1}}$汎用ファイバーXと特殊ファイバー${\displaystyle X_{0}}$。

2.平坦退化とは、次のような退化である。  ${\displaystyle \pi }$平らです。

寸法

次元は、定義上、既約な閉じた部分スキームの連鎖の最大長であり、グローバルな性質です。スキームが既約であれば、局所的に確認できます。構造層ではなく、位相のみに依存します。グローバル次元も参照してください。例：次元0の等次元スキーム：アルティン・スキーム、1：代数曲線、2：代数曲面。

程度

1.完備多様体上の直線束Lの次数は、次の条件を満たす整数dである。  ${\displaystyle \chi (L^{\otimes m})={d \over n!}m^{n}+O(m^{n-1})}$。

2. xが完全多様体上のサイクルである場合  ${\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} k}$体k上では、その次数は${\displaystyle f_{*}(x)\in A_{0}(\operatorname {Spec} k)=\mathbb {Z} }$。

3.有限射の次数については、多様体の射#有限射の次数を参照してください。  

派生代数幾何学

可換環の代わりに（可換）環スペクトルを用いた代数幾何学へのアプローチ。導来代数幾何学を参照。

除数

1.正規多様体上の除数層は、あるワイル除数Dに対してO _X ( D ) の形の反射層である。  

2.除法スキームとは、可逆層の豊富な族を許容するスキームのことである。可逆層豊富な族を許容するスキームは、基本的な例である。  

支配的な

射f  : X → Yは、像f ( X ) が稠密である場合に優位であると呼ばれる。アフィン スキームの射Spec A → Spec Bは、対応する写像B → Aの核がBの零根基に含まれる場合に限り稠密である。

二重化複合体

一貫性のある双対性を参照してください。

双対化の束

純次元nの射影的コーエン・マコーレー スキームでは、双対化層は連接層である。${\displaystyle \omega }$X上で、 ${\displaystyle H^{n-i}(X,F^{\vee }\otimes \omega )\simeq H^{i}(X,F)^{*}}$X上の 任意の局所自由層Fに対して成り立つ。例えば、X が滑らかな射影多様体であれば、それは標準層である。

幾何学の要素

EGAは、代数多様体の一般化であるスキームの概念に基づいて代数幾何学の基礎を築こうとした不完全な試みであった。Séminaire de géométrie algébriqueは、 EGAの試みを引き継ぎ、今日では代数幾何学における標準的な参考書の一つとなっている。

楕円曲線

楕円曲線とは、種数1の滑らかな射影曲線である。

本質的に有限型

有限型スキームの局所化。

等次元

既約成分の次元が同じであるスキーム。§純粋次元も 参照。

エタール

射f  : Y → Xは、平坦かつ非分岐である場合にエタールである。他にも同値な定義がいくつかある。滑らかな多様体の場合${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$代数的に閉じた体上では、エタール射とは、接空間の同型を誘導する射のことである。${\displaystyle df:T_{y}Y\rightarrow T_{f(y)}X}$これは、微分幾何学におけるエタール写像の一般的な概念と一致します。エタール射は非常に重要な射のクラスを形成し、いわゆるエタール位相、ひいてはエタールコホモロジーを構築するために用いられます。エタールコホモロジーは、今日では代数幾何学の基礎の一つとなっています。

オイラー数列

束の正確な順序：

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbf {P} ^{n}\to 0,}$

ここで、P ⁿは体上の射影空間であり、最後の非零項は接層であり、オイラー列と呼ばれます。

同変交差理論

http://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdfの第 II 章を参照してください。

Fレギュラー

フロベニウス射に関連する。^{[ 7 ]}

ファノ

ファノ多様体Xは、反標準層が滑らかな射影多様体である。${\displaystyle \omega _{X}^{-1}}$十分です。

ファイバ

与えられた${\displaystyle f:X\to Y}$スキーム間では、 y上のfのファイバーは、集合として、逆像である。${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\}}$; yの剰余体上のスキームの自然な構造をファイバー積として持つ${\displaystyle X\times _{Y}\{y\}}$、 どこ${\displaystyle \{y\}}$Y上のスキームの自然な構造を、yの剰余体の Spec として持つ。

繊維製品

1.圏論における「引き戻し」の別の用語。特に、スキームのファイバー積。  

2.スタック  ${\displaystyle F\times _{G}H}$に与えられた${\displaystyle f:F\to G,g:H\to G}$B上のオブジェクトは、( x , y , ψ)の三つ組であり、 x はF ( B )の要素、yはH ( B )の要素、ψ は同型写像である。${\displaystyle f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)}$G ( B )において、( x , y , ψ) から ( x' , y ' , ψ') への矢印は射のペアである。${\displaystyle \alpha :x\to x',\beta :y\to y'}$そのため${\displaystyle \psi '\circ f(\alpha )=g(\beta )\circ \psi }$結果として得られる、明らかな射影を持つ正方形は可換ではなく、自然な同型を除いて可換です。つまり、2-可換です。

ファイナル

グロタンディークの根本的な考え方の一つは、相対的な概念、すなわちスキーム自体に対する条件ではなく射に対する条件を強調することである。スキームの圏には、環のスペクトルという最終対象がある。${\displaystyle \mathbb {Z} }$整数の。したがって、どんなスキームでも${\displaystyle S}$終わった${\displaystyle {\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}$そして、独特な方法で。

有限

射f  : Y → X は、次の場合に有限である。${\displaystyle X}$アフィン開集合で覆われる可能性がある${\displaystyle {\text{Spec }}B}$それぞれ${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$アフィンである — 例えば、その形${\displaystyle {\text{Spec }}A}$さらに${\displaystyle A}$有限生成${\displaystyle B}$-モジュール。有限射を参照。有限射は準有限ですが、有限ファイバーを持つすべての射が準有限であるとは限らず、有限型の射は通常準有限ではありません。

有限型（局所的に）

射f  : Y → Xは、次の場合に局所的に有限型である。${\displaystyle X}$アフィン開集合で覆われる可能性がある${\displaystyle {\text{Spec }}B}$各逆像${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$アフィン開集合で覆われている${\displaystyle {\text{Spec }}A}$それぞれ${\displaystyle A}$有限生成${\displaystyle B}$-代数。射f  : Y → Xは、次の場合に有限型である。${\displaystyle X}$アフィン開集合で覆われる可能性がある${\displaystyle {\text{Spec }}B}$各逆像${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$有限個のアフィン開集合で覆われている${\displaystyle {\text{Spec }}A}$それぞれ${\displaystyle A}$有限生成${\displaystyle B}$-代数。

有限繊維

射f  : Y → X は、各点上のファイバーが有限である場合に有限ファイバーを持つ。${\displaystyle x\in X}$は有限集合である。射が準有限であるとは、それが有限型であり、かつ有限ファイバーを持つ場合をいう。

有限表示

yがYの点である場合、射fは、f(y )の開アフィン近傍Uとyの開アフィン近傍Vが存在し、 f ( V ) ⊆ Uかつ、  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}(V)}$は有限表示代数である${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$射f : Y → Xは、 Yのすべての点で有限表示である場合に限り、局所的に有限表示である。Xが局所的にネーターである場合、fが局所的に有限表示であるのは、f が局所的に有限型である場合に限る。^{[ 8 ]} 射f : Y → Xは、局所的に有限表示であり、準コンパクトで、準分離である場合に限り、有限表示である（またはYはX上で有限表示である）。X が局所的にネーターである場合、 fが有限表示であるのは、 fが有限型である場合に限る。^{[ 9 ]} 

旗の種類

フラグ多様体は、ベクトル空間のフラグをパラメータ化する。

フラット

射${\displaystyle f}$茎上の平坦な写像を生み出す場合、それは平坦である。射f : Y → X を点によってパラメータ化されたスキームの族として見る場合、 ${\displaystyle X}$平面性の幾何学的意味は、繊維が${\displaystyle f^{-1}(x)}$あまり大きく変化させないこと。

フォーマル

正式な計画を参照してください。

g ^r _d

曲線C、その上の因子D、およびベクトル部分空間が与えられたとき${\displaystyle V\subset H^{0}(C,{\mathcal {O}}(D))}$線形システムとは${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$V の次元がr + 1 で、D の次数がdである場合、 Cは ag ^r _{d で}あると言います。このような線形システムが存在する場合、C はag ^r _dであると言います。

ガブリエル・ローゼンバーグ再構成定理

ガブリエル・ローゼンバーグ再構成定理は、スキームX はX上の準連接層の圏から復元できることを述べている。^{[ 10 ]}この定理は非可換代数幾何学の出発点であり、この定理を公理とすれば、非可換スキームを定義することは、そのスキーム上の準連接層の圏を定義することに相当する。https ://mathoverflow.net/q/16257も参照のこと。

Gバンドル

主要なGバンドル。

一般的なポイント

密度の高い点。

属

#算術種数、#幾何学種数を参照してください。

属式

射影平面上の節曲線の種数公式によれば、曲線の種数は次のように与えられる。 ${\displaystyle g=(d-1)(d-2)/2-\delta }$ ここで、 dは曲線の次数、δは節点の数（曲線が滑らかな場合はゼロ）である。

幾何学的種数

n次元の滑らかな射影多様体Xの幾何学的種数は ${\displaystyle \dim \Gamma (X,\Omega _{X}^{n})=\dim \operatorname {H} ^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ （ここで等号はセールの双対性定理である。）

幾何学的点

1.代数的に閉じた体の素スペクトル。  

2.合理的な論点。  

幾何学的特性

体k上のスキームXの性質は、次の条件が満たされる場合に「幾何学的」である。${\displaystyle X_{E}=X\times _{\operatorname {Spec} k}{\operatorname {Spec} E}}$任意のフィールド拡張${\displaystyle E/k}$。

幾何商

群スキームGの作用によるスキームXの幾何学的商は、ファイバーが軌道となるような良い商である。

ゲルベ

ゲルブとは、（おおまかに言えば）局所的に空ではなく、かつ2つのオブジェクトが局所的に同型であるスタックのことである。

GIT 指数

GIT指数${\displaystyle X/\!/G}$は${\displaystyle \operatorname {Spec} (A^{G})}$いつ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$そして${\displaystyle \operatorname {Proj} (A^{G})}$いつ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} A}$。

良い指数

スキームXと群スキームGの作用との良好な商は不変射である${\displaystyle f:X\to Y}$そのため${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}={\mathcal {O}}_{Y}.}$

ゴレンシュタイン

1.ゴレンシュタインスキームとは、局所環がゴレンシュタイン環である局所ネータースキームのことである。  

2.通常の品種は  ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-ゴレンシュタイン、その正準因子が${\displaystyle \mathbb {Q} }$-カルティエ（コーエン＝マコーレーである必要はない）。

3.正準因子がカルティエである場合、正規多様体をゴレンシュタインと呼ぶ著者もいますが、この用法は意味1とは矛盾することに注意してください。  

グラウエルト・リーメンシュナイダー消失定理

グラウエルト・リーメンシュナイダー消滅定理は、小平消滅定理を高次の直像層に拡張したものです。詳細はhttps://arxiv.org/abs/1404.1827 を参照してください。

グロタンディークの環

多様体のグロタンディーク環は、次の関係を持つ多様体の同型類によって生成される自由アーベル群である。 ${\displaystyle [X]=[Z]+[X-Z]}$ ここで、Zは多様体Xの閉じた部分多様体であり、乗法を備えている。 ${\displaystyle [X]\cdot [Y]=[X\times Y].}$

グロタンディークの消失定理

グロタンディークの消滅定理は局所コホモロジーに関するものである。

グループ制度

群スキームとは、点の集合が群の構造を持つスキームのことである。

グループの種類

「滑らかな」代数群を表す古い用語。

ヒルベルト多項式

体上の射影スキームXのヒルベルト多項式はオイラー標数である。${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}_{X}(s))}$。

ホッジバンドル

曲線のモジュライ空間（固定種数）上のホッジ束は、おおよそ、曲線C上のファイバーがベクトル空間であるベクトル束である。${\displaystyle \Gamma (C,\omega _{C})}$。

超楕円形

曲線が超楕円曲線であるとは、 g ¹ ₂を持つ場合（つまり、次元 1 で次数 2 の線形システムが存在する場合）をいう。

超平面束

セルのねじれた束の別の呼び方${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$これは同義線束の双対である（そこからこの用語が生まれた）。

画像

f  : Y → X がスキームの任意の射である場合、 fのスキーム理論的イメージは、 次の普遍性を満たす唯一の閉じた部分スキームi : Z → Xである。 

1. fはiまで因数分解します。
2. j  : Z ′ → Xが、 fがjを介して因数分解されるようなXの任意の閉じた部分スキームである場合、iもjを介して因数分解される。^{[ 11 ] [ 12 ]}

この概念は、通常の集合論的なfのイメージf ( Y ) とは異なります。たとえば、Zの基礎となる空間は常にXにおけるf ( Y )の Zariski 閉包を含みますが、必ずしも等しいとは限りません。したがって、 Y がXの任意の開部分スキーム (閉部分スキームではない)であり、 fが包含写像である場合、Zはf ( Y )とは異なります。Yが縮約されている場合、Z は縮約された閉部分スキームの構造を備えたf ( Y )の Zariski 閉包です。しかし一般に、fが準コンパクトでない限り、Zの構成はX上で局所的ではありません。

没入感

埋め込みf  : Y → Xは、部分スキームを持つ同型写像によって分解される写像です。具体的には、開埋め込みは開部分スキームを持つ同型写像によって分解され、閉埋め込みは閉部分スキームを持つ同型写像によって分解されます。^{[ 13 ]}同様に、fが閉埋め込みであるのは、 Yの基礎となる位相空間からXの基礎となる位相空間の閉部分集合への同相写像を誘導する場合、かつその場合に限ります。${\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$全射である。^{[ 14 ]}埋め込みの合成は再び埋め込みである。^{[ 15 ]} ハートショーンが著書『代数幾何学』で、Q. リューが著書『代数幾何学と算術曲線』で、埋め込みを開埋め込みの後に閉埋め込みを合成したものと定義している著者もいる。これらの埋め込みは上記の意味での埋め込みであるが、その逆は成り立たない。さらに、この定義の下では、2 つの埋め込みの合成は必ずしも埋め込みではない。ただし、fが準コンパクトな場合、2 つの定義は同等である。^{[ 16 ]} 位相空間の意味で、開埋め込みはその像によって完全に記述されるが、閉埋め込みはそうではないことに注意する。${\displaystyle \operatorname {Spec} A/I}$そして${\displaystyle \operatorname {Spec} A/J}$同相ではあるが同型ではない場合がある。これは、例えば、I がJの根基であるが、J が根基イデアルでない場合などに起こる。スキーム構造に言及せずにスキームの閉部分集合を指定する場合、通常は、いわゆる縮約スキーム構造、すなわち、その閉部分集合上で消滅するすべての関数からなる唯一の根基イデアルに対応するスキーム構造を意味する。

インド計画

帰納的スキームとは、スキームの閉じた埋め込みの帰納的極限のことである。

反転可能な束

ランク1の局所自由層。言い換えれば、乗法群のトルソルである。${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$（つまり、回線束）

積分

既約かつ縮約なスキームは、積分スキームと呼ばれます。局所的にネーター的なスキームの場合、積分であることは、積分領域のスペクトルで覆われた連結スキームであることと同値です。（厳密に言えば、これは局所的な性質ではありません。なぜなら、2 つの積分スキームの非交和は積分ではないからです。しかし、既約スキームの場合は、これは局所的な性質です。）例えば、スキームSpec k [ t ]/ f、f既約多項式は積分ですが、Spec A × B ( A、B ≠ 0) は積分ではありません。

還元不可能

スキームXは、(位相空間として) 2 つの閉部分集合の和集合ではなく、一方がXと等しい場合に限り、既約であると言われます。アフィン スキームにおける素イデアルと点の対応関係を用いると、これは、Xが連結であり、環 A _{i が}すべてちょうど 1 つの最小素イデアルを持つ場合に限り、X が既約であることを意味します。(したがって、ちょうど 1 つの最小素イデアルを持つ環も既約と呼ばれます。) 任意のネーター スキームは、その既約成分と呼ばれる有限個の最大既約非空閉部分集合の和集合として一意に記述できます。アフィン空間と射影空間は既約ですが、 Spec k [ x,y ]/( xy ) =は既約ではありません。

ヤコビアン多様体

射影曲線Xのヤコビ多様体は、ピカール多様体の次数0の部分である。${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$。

ケンプフの消失定理

ケンプフの消滅定理は、旗多様体の高次コホモロジーの消滅に関する定理である。

クレット

「川俣ログターミナル」の略称

小平ディメンション

1.セミアンプル線束Lの小平次元(飯高次元とも呼ばれる) は、 Lの断面リングの Proj の次元です。  

2.正規多様体Xの小平次元は、その標準層の小平次元である。  

小平の消失定理

小平の消失定理を参照してください。

倉西マップ

倉西構造を参照。

Lelong番号

Lelong番号をご覧ください。

レベル構造

http://math.stanford.edu/~conrad/248BPage/handouts/level.pdfを参照してください。

線形化

同変層／ベクトル束の構造を表す別の用語。

地元

スキームの最も重要な特性は局所的な性質を持つ。つまり、スキームXがある特性Pを持つのは、 Xの任意の開部分スキームX _iによる被覆に対して、すなわちX =${\displaystyle \cup }$X _i、すべてのX _{i は}特性Pを持ちます。通常、可能なすべてのカバーではなく、1 つのカバーをチェックすれば十分です。また、ザリスキ位相とエタール位相などの他の可能な位相を区別する必要がある場合、ある特性がザリスキ局所的であるとも言います。スキームXとアフィン開部分スキームSpec A _iによるカバーを考えます。可換環とアフィンスキーム間の辞書を使用すると、局所的特性は環A _iの特性になります。特性Pが上記の意味で局所的であるのは、対応する環の特性が局所化の下で安定している場合のみです。たとえば、局所的にネーター的スキーム、つまりネーター環のスペクトルで覆われているスキームについて話すことができます。ネーター環の局所化が依然としてネーター的であるという事実は、スキームが局所的にネーター的であるという特性が上記の意味で局所的であることを意味します (名前の由来)。別の例として、環が簡約されている（つまり、非零の冪零元を持たない）場合、その局所化も簡約されます。非局所的性質の例としては、分離性があります（定義については後述）。任意のアフィン スキームは分離されているため、任意のスキームは局所的に分離されています。ただし、アフィン ピースが病的に結合して、分離されていないスキームになる場合があります。以下は、スキームに適用される環の局所的性質の（網羅的ではない）リストです。X =${\displaystyle \cup }$仕様 A _{i は}、開アフィン部分スキームによるスキームの被覆とする。明確にするために、以下ではkを体とする。ただし、ほとんどの例は、基底として整数Zまたはさらに一般的な基底でも機能する。連結、既約、縮約、整数、正規、正則、コーエン・マコーレー、局所的にネーター的、次元、懸垂線、ゴレンシュタイン。

ローカル完全交差点

局所環は完全交差環である。参照：正則埋め込み。

局所的な均一化

局所一様化は、評価環を用いて特異点の解消のより弱い形式を構築する方法である。

局所的に階乗

局所環は一意の因数分解領域である。

局所的に有限表示

上記の有限表示を参照。

局所的に有限型

射f  : Y → Xは、次の場合に局所的に有限型である。${\displaystyle X}$アフィン開集合で覆われる可能性がある${\displaystyle {\text{Spec }}B}$各逆像${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$アフィン開集合で覆われている${\displaystyle {\text{Spec }}A}$それぞれ${\displaystyle A}$有限生成${\displaystyle B}$-代数。

局所的にネーター的

スキームXは Spec A _iで覆われる。ここでA _iはネーター環である。さらに、有限個のそのようなアフィン スペクトルがXを覆う場合、そのスキームはネーター的と呼ばれる。ネーター環のスペクトルがネーター位相空間であることは事実であるが、その逆は偽である。例えば、有限次元代数幾何学のほとんどのスキームは局所的にネーター的であるが、 ${\displaystyle GL_{\infty }=\cup GL_{n}}$そうではない。

対数幾何学

ログ構造

ログ構造を参照してください。この概念はフォンテーヌ＝イリュジーと加藤によるものです。

ループグループ

ループ群を参照してください（リンク先の記事では代数幾何学におけるループ群については触れていません。今のところはind-schemeも参照してください）。

モジュラス

例えば、モジュライ空間を参照してください。

モジュライに関する初期の研究、特に[Mum65]以降は、細かいモジュライ空間や粗いモジュライ空間の構築に重点が置かれていましたが、近年では、多様体の族、すなわちモジュライ関手やモジュライスタックの研究に重点が移っています。主な課題は、どのような種類の対象が「良い」族を形成するのかを理解することです。「良い族」の適切な概念が確立されれば、粗いモジュライ空間の存在はほぼ自動的に明らかになります。粗いモジュライ空間はもはや基本的な対象ではなく、モジュライ関手やモジュライスタックに潜在する特定の情報を追跡するための便利な方法にすぎません。

— Kollár、János、第 1 章、「曲面係数に関する本」。

森氏のミニマルモデルプログラム

最小モデルプログラムは、2次元を超える代数多様体の双有理分類を行うことを目的とした研究プログラムである。

射影

1.代数多様体の射は、局所的に多項式によって与えられる。  

2.スキームの射は、局所的に環状化された空間の射である。  

3.射  ${\displaystyle f:F\to G}$スタック（例えば、 Sスキームの圏上）の関数は、${\displaystyle P_{G}\circ f=P_{F}}$どこ${\displaystyle P_{F},P_{G}}$構造は基本カテゴリにマッピングされます。

ネフ

nef ラインバンドルを参照してください。

非単数形

「滑らかな」という意味の古語。例えば、滑らかな品種など。

普通

1.局所環が整閉領域である場合、その整スキームは正規であると呼ばれる。例えば、すべての正則スキームは正規であるが、特異曲線は正規ではない。  

2.滑らかな曲線  ${\displaystyle C\subset \mathbf {P} ^{r}}$次数kの超曲面が完全な線形級数を切り取る場合、 k正規であると言われる。${\displaystyle |{\mathcal {O}}_{C}(k)|}$射影的に正規であるとは、すべてのk > 0 に対してk正規であることを意味します。したがって、「曲線を埋め込む線形システムが完全である場合、その曲線は射影的に正規である」と言えます。「線形的に正規」という用語は、1 正規と同義です。

3.閉鎖型亜種  ${\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{r}}$X上のアフィン被覆が正規スキームである場合、すなわちXの同次座標環が整閉領域である場合、 は射影的に正規であると言われます。この意味は 2 の意味と一致します。

普通

1. Xがイデアル層Iを持つスキームYの閉じた部分スキームである場合、Xの正規層は  ${\displaystyle (I/I^{2})^{*}={\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{Y}}(I/I^{2},{\mathcal {O}}_{Y})}$XからYへの埋め込みが正則である場合、それは局所的に自由であり、正規束と呼ばれます。

2. Xに対する法線円錐は  ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1})}$XがYに正則に埋め込まれている場合、法錐は以下と同型である。${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}({\mathcal {S}}ym(I/I^{2}))}$Xへの法束の全空間。

通常の交差点

正規交差はnc 、単純正規交差はsncと略されます。nc除数、nc 特異点、snc 除数、snc 特異点など、密接に関連するいくつかの概念を指します。正規交差を参照してください。

通常生成される

多様体X上の線束Lは、各整数n > 0に対して自然写像が${\displaystyle \Gamma (X,L)^{\otimes n}\to \Gamma (X,L^{\otimes n})}$は全射である。

開ける

1.スキーム間の射f : Y → Xは、基となる位相空間の写像がそれぞれ開いている（閉じている）場合、すなわちYの開いた部分スキームがXの開いた部分スキームに写像される場合（閉じている場合も同様）、開いている（閉じている）と呼ばれる。例えば、有限表示可能な平坦射は開いており、適切な写像は閉じている。   

2.スキームXの開部分スキームは、構造層を持つ開部分集合Uである。  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}}$[ ^{14 ]​}

オービフォールド

今日では、オービフォールドは微分可能多様体の圏上のデリーニュ・マンフォードスタックとして定義されることが多い。 ^{[ 17 ]}

p可除群

p可除群（アーベル多様体のねじれ点の類似物）を参照のこと。

鉛筆

次元が1の線形システム。

ピカールグループ

Xのピカール群は、 X上の線束の同型類の群であり、乗法はテンソル積である。

プリュッカー埋め込み

プリュッカー埋め込みとは、グラスマン多様体を射影空間に閉じた形で埋め込むことである。

多種植物

滑らかな射影多様体のn番目の多種群は${\displaystyle \dim \Gamma (X,\omega _{X}^{\otimes n})}$ホッジ数も参照。

ポアンカレ残差マップ

ポアンカレ残差を参照。

ポイント

計画${\displaystyle S}$は局所的に環状空間であり、したがって位相空間であるが、点の意味は${\displaystyle S}$三つの側面がある。

1. ある点${\displaystyle P}$基礎となる位相空間の。
2. 1${\displaystyle T}$値ポイント${\displaystyle S}$はからへの射である${\displaystyle T}$に${\displaystyle S}$どのような計画でも${\displaystyle T}$;
3. 幾何学的点、${\displaystyle S}$は 上で定義される（ への射を備えている）${\displaystyle {\textrm {Spec}}(K)}$、 どこ${\displaystyle K}$は体であり、 は からの射である。${\displaystyle {\textrm {Spec}}({\overline {K}})}$に${\displaystyle S}$どこ${\displaystyle {\overline {K}}}$は代数的閉包である${\displaystyle K}$。

幾何学的点は、最も古典的な場合、例えば複素多様体である代数多様体において、通常の意味での点に相当するものです。${\displaystyle P}$基礎空間には、一般的な点（アンドレ・ヴェイユの意味ではなく、ザリスキの意味での）の類似物が含まれており、これらは通常の意味の点に特化している。${\displaystyle T}$値点は、米田の補題を通して、識別する方法として考えられています。${\displaystyle S}$表現可能なファンクターと共に${\displaystyle h_{S}}$歴史的には、射影幾何学は基本オブジェクトを洗練することで幾何学を単純化するために、より多くの点（例えば複素点、無限遠線）を追加してきたプロセスがありました。${\displaystyle T}$－値ポイントは、さらに大きな一歩だった。

グロタンディークの主流のアプローチでは、射のファイバーには3つの対応する概念があります。1つ目は点の単純な逆像です。残りの2つは、2つの射のファイバー積を作成することによって形成されます。たとえば、射の幾何学的ファイバーは${\displaystyle S^{\prime }\to S}$と考えられている ${\displaystyle S^{\prime }\times _{S}{\textrm {Spec}}({\overline {K}})}$。

これにより、 R代数のテンソル積にすぎないアフィンスキームから、ファイバー積演算のすべてのスキームへの 拡張は、重要な（技術的には無害ではあるが）結果となる。

分極

射影空間への埋め込み

プロジェクト

プロジェクトの構築を参照してください。

投影式

射影公式によれば、射に対して${\displaystyle f:X\to Y}$計画、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュール${\displaystyle {\mathcal {F}}}$そして地元では無料${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-モジュール${\displaystyle {\mathcal {E}}}$有限ランクの場合、自然な同型が存在する ${\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)=(f_{*}F)\otimes E}$ （要するに、${\displaystyle f_{*}}$（局所的に自由な層の作用に関して線形である。）

投影法

1.射影多様体とは、射影空間の閉じた部分多様体のことである。  

2.スキームS上の射影スキームとは、ある射影空間を介して因数分解されるSスキームのことである。  ${\displaystyle \mathbf {P} _{S}^{N}\to S}$閉じたサブスキームとして。

3.射影射はアフィン射と同様に定義される。f : Y → X は、閉じた埋め込みとそれに続く射影空間の射影として因数分解される場合に射影的と呼ばれる。   ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times _{\mathrm {Spec} \mathbb {Z} }X}$に${\displaystyle X}$^{[ 18 ]}この定義はEGA II.5.5.2の定義よりも制限的であることに注意。後者は次のように定義している。${\displaystyle f}$準コヒーレントな次数付きO _{X -}代数のグローバルProjによって与えられる場合、射影的である。${\displaystyle {\mathcal {S}}}$そのため${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$有限生成であり、代数を生成する${\displaystyle {\mathcal {S}}}$両方の定義が一致するのは、${\displaystyle X}$アフィンであるか、より一般的には準コンパクトで分離されており、十分な層を許容する場合、^{[ 19 ]}例えば、${\displaystyle X}$射影空間の開いた部分図式である${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}}$リングの上で${\displaystyle A}$。

射影束

EがスキームX上の局所自由層である場合、Eの射影束P ( E ) は、Eの双対の対称代数のグローバル Projである。 ${\displaystyle \mathbf {P} (E)=\mathbf {Proj} (\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}(E^{\vee })).}$ この定義は現在では標準的ですが（例えば、フルトンの交差理論）、EGAやハートショーンとは異なります（彼らは双対を採用しません）。

投影的に正常

#normalを参照してください。

ちゃんとした

射が適切であるとは、それが分離され、普遍的に閉じている（つまり、それとのファイバー積が閉じた写像である）こと、および有限型であることを意味します。射影射は適切ですが、一般にその逆は成り立ちません。完全多様体も参照してください。適切な射の重要な性質は、シュタイン分解の存在、すなわち、射が連結ファイバーを持つ射とそれに続く有限射として表現できるような中間スキームの存在です。

物件P

P を基底変換に対して安定なスキームの性質 (有限型、真、滑らか、エタールなど) とする。このとき表現可能な射は${\displaystyle f:F\to G}$は、任意の${\displaystyle B\to G}$Bをスキームとして、基本変更${\displaystyle F\times _{G}B\to B}$性質Pを持つ。

擬似還元的

擬似還元は、連結した滑らかな線形代数群の文脈において還元を一般化する。

ピュアディメンション

スキームの次元が純粋dであるとは、各既約成分の次元がdである場合をいう。

準コヒーレント

ネーター的スキームX上の準連接層は、局所的にモジュールによって与えられるO _X -モジュールの層である。

準コンパクト

射f  : Y → Xは、あるU _i = Spec B _iによるXの任意の (同等に: すべての) 開アフィン被覆に対して、逆像f ⁻¹ ( U _i ) が準コンパクトである場合、準コンパクトと呼ばれます。

準有限

射f  : Y → X は、各点上のファイバーが有限である場合に有限ファイバーを持つ。${\displaystyle x\in X}$は有限集合である。射が準有限であるとは、それが有限型であり、かつ有限ファイバーを持つ場合をいう。

準射影的

準射影多様体とは、射影空間の局所的に閉じた部分多様体のことである。

準分離

射f  : Y → Xは、対角射Y → Y × _X Yが準コンパクトである場合、準分離または ( YはX上で準分離である) と呼ばれる。スキームYは、 Y がSpec( Z )上で準分離である場合、準分離であると呼ばれる。^{[ 20 ]}

準分割

還元基${\displaystyle G}$体上で定義される${\displaystyle k}$準分裂であるのは、それがボレル部分群を許容する場合に限る。${\displaystyle B\subseteq G}$定義済み${\displaystyle k}$準分裂還元群はすべて分裂還元還元群であるが、分裂還元ではない準分裂還元群も存在する。

見積もり制度

Quotスキームは、射影スキーム上の局所自由層の商をパラメータ化する。

商スタック

通常 [ X / G ] で表される商スタックは、スキームまたは多様体の商を一般化したものです。

ラショナル

1.代数的に閉じた体上では、多様体が射影空間と双有理である場合、その多様体は有理多様体と呼ばれる。例えば、有理曲線や有理曲面は、射影空間と双有理多様体である。  ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{2}}$。

2.体kと相対スキームX → Sが与えられたとき、Xのk-有理点はS-射である。  ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)\to X}$。

合理的な関数

関数フィールド内の要素${\displaystyle k(X)=\varinjlim k[U]}$ここで極限は、（既約）代数多様体Xの開部分集合Uのすべての座標環にわたって取られる。関数体（スキーム理論）も参照のこと。

有理正規曲線

有理正規曲線は、 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{d},\,(s:t)\mapsto (s^{d}:s^{d-1}t:\cdots :t^{d})}$d = 3の場合、ねじれ立方体とも呼ばれます。

合理的な特異点

標数ゼロの体上の多様体Xは、特異点解消が存在する場合に有理特異点を持つ。${\displaystyle f:X'\to X}$そのため${\displaystyle f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})={\mathcal {O}}_{X}}$そして${\displaystyle R^{i}f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})=0,\,i\geq 1}$。

削減

1.可換環  ${\displaystyle R}$非ゼロの冪零元を持たない場合、すなわちその冪零根基がゼロイデアルである場合、それは簡約化されている。${\displaystyle {\sqrt {(0)}}=(0)}$同等に、${\displaystyle R}$減少する${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$これは簡略化された計画です。

2.スキーム X は、その茎が  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$は縮約環である。言い換えれば、各開部分集合に対して、X が縮約環である。${\displaystyle U\subset X}$、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$は縮小環、すなわち、${\displaystyle X}$非ゼロの冪零部分を持たない。

還元的な

連結線形代数群${\displaystyle G}$野原を越えて${\displaystyle k}$は、単能ラジカルが${\displaystyle R_{u}(G_{\overline {k}})}$ 基本変化の${\displaystyle G_{\overline {k}}}$の${\displaystyle G}$代数的閉包へ${\displaystyle {\overline {k}}}$些細なことだ。

反射的束

連接層は、第2双対への標準写像が同型写像である場合に反射的である。

通常

正則スキームとは、局所環が正則局所環であるスキームのことです。例えば、 体上の 滑らかな多様体は正則ですが、 Spec k [ x,y ]/( x ² + x ³ - y ² )= は正則ではありません。

正規埋め込み

密閉型浸漬${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$Xの各点がYにアフィン近傍を持ち、その近傍におけるXのイデアルが正則列によって生成される場合、 は正則埋め込みである。i が正則埋め込みである場合、iの共法線層、すなわち、${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$いつ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$はXの理想層であり、局所的に自由である。

通常機能

代数多様体からアフィン直線への射。

表現可能な射

射${\displaystyle F\to G}$任意の射に対して、スタックの${\displaystyle B\to G}$スキームBから、基本変更${\displaystyle F\times _{G}B}$は代数空間である。「代数空間」を「スキーム」に置き換えると、それは強く表現可能であると言われる。

特異点の解消

スキームXの特異点解消は、適切な双有理射である。${\displaystyle \pi :Z\to X}$Zが滑らかであるような。

リーマン・フルヴィッツの公式

有限分離射が与えられた場合${\displaystyle \pi :X\to Y}$滑らかな射影曲線の間で、${\displaystyle \pi }$例えば、標数ゼロの体上で、穏やかに分岐している（激しい分岐がない）場合、リーマン・フルヴィッツの公式は、πの次数、X、Yの種数、および分岐指数を関連付けます。 ${\displaystyle 2g(X)-2=\operatorname {deg} (\pi )(2g(Y)-2)+\sum _{y\in Y}(e_{y}-1)}$今日では、この公式はより一般的な公式（πが扱いやすい値でない場合でも有効な公式）の帰結とみなされている。 ${\displaystyle K_{X}\sim \pi ^{*}K_{Y}+R}$ どこ${\displaystyle \sim }$線形等価性を意味し、${\displaystyle R=\sum _{P\in X}\operatorname {length} _{{\mathcal {O}}_{P}}(\Omega _{X/Y})P}$は相対余接層の約数である${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$（異なるものと呼ばれる）。

リーマン・ロッホの公式

1. L が種数gの滑らかな射影曲線上の次数dの直線束である場合、リーマン・ロッホの公式はLのオイラー標数を計算する。   ${\displaystyle \chi (L)=d-g+1}$例えば、この式は、標準因子Kの次数が2g - 2であることを示しています。

2.一般的なバージョンはグロタンディークによるもので、グロタンディーク・リーマン・ロッホの公式と呼ばれています。それは次のように表されます。  ${\displaystyle \pi :X\to S}$は滑らかなX、Sを持つ適切な射であり、 E がX上のベクトル束である場合、有理チャウ群における等号として${\displaystyle \operatorname {ch} (\pi _{!}E)\cdot \operatorname {td} (S)=\pi _{*}(\operatorname {ch} (E)\cdot \operatorname {td} (X))}$ どこ${\displaystyle \pi _{!}=\sum _{i}(-1)^{i}R^{i}\pi _{*}}$、${\displaystyle \operatorname {ch} }$チェルン文字を意味し、${\displaystyle \operatorname {td} }$空間の接束のトッドクラスであり、複素数体上では、${\displaystyle \pi _{*}}$はファイバーに沿った積分です。たとえば、基底Sが点、Xが種数gの滑らかな曲線、Eが線束Lである場合、左辺はオイラー標数に帰着し、右辺は${\displaystyle \pi _{*}(e^{c_{1}(L)}(1-c_{1}(T^{*}X)/2))=\operatorname {deg} (L)-g+1.}$

硬い

あらゆる微小変形は自明である。例えば、射影空間は剛体である。${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(\mathbf {P} ^{n},T_{\mathbf {P} ^{n}})=0}$（そして小平・スペンサー地図を使用）。

硬直化する

ヒューリスティックな用語で、おおよそ「自己同型写像​​の無効化」に相当する。例えば、「幾何学的状況を固定化するために、レベル構造やマークされた点を導入する」と言うことができる。

グロタンディーク自身の見解では、スキームの歴史はほとんど存在せず、スキームに対する抵抗の歴史だけが存在するべきである。…グロタンディークがどのようにしてスキームの定義を見つけたのかという深刻な歴史的疑問はない。それは空気中に漂っていた。セールは、誰もスキームを発明したわけではないと的確に述べている（1995年の会話）。問題は、グロタンディークが、セールの80ページの論文を約1000ページの『代数幾何学の要素』に簡略化するために、この定義を使用すべきだと考えた理由は何かということである。

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スキーム

スキームとは、局所的に可換環の素スペクトルであるような、局所的に環化された空間のことである。

シューベルト

1.シューベルトセルはグラスマン多様体上のB軌道である。  ${\displaystyle \operatorname {Gr} (d,n)}$ここで、Bは標準ボレル群、すなわち上三角行列の群である。

2.シューベルト変奏曲とは、シューベルト・セルの閉鎖のことである。  

スクロール

有理法線スクロールは次数を持つ線織面である${\displaystyle n}$射影空間において${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$一部の人にとって${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{>1}}$。

セカント変種

射影多様体へのセカント多様体${\displaystyle V\subset \mathbb {P} ^{r}}$Vへのすべての割線の和集合の閉包は${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$。

セクションリング

スキームX上の線束Lのセクションリングまたはセクションリングは、段階リングである。${\displaystyle \oplus _{0}^{\infty }\Gamma (X,L^{n})}$。

セールの条件S _n

セルの正規性に関する条件を参照してください。また、https://mathoverflow.net/q/22228 も参照してください。

セールの二重性

#dualizing sheaf を参照してください

分離

分離射は射である${\displaystyle f}$繊維製品​${\displaystyle f}$自身に沿って${\displaystyle f}$対角線は閉じた部分スキームである。言い換えれば、対角射は閉じた埋め込みである。

グローバルセクションによって生成されたシーフ

束の茎のすべての点にまたがる一連のグローバルセクションを持つ束。グローバルセクションによって生成される束を参照してください。

単純

1. 「単純点」という用語は、「滑らかな点」を表す古い用語です。  

2.単純法線交差（snc）因子は、滑らかな法線交差因子、すなわち滑らかな法線交差特異点のみを持つ因子の別名です。これらは、コンパクト化モジュライ問題の強特異点解消と安定化の両方に現れます。  

3.線形代数群の文脈では、半単純群と、追加の性質を持つ半単純群である単純群が存在する。すべての単純群は簡約群であるため、分割単純群とは、分割簡約群である単純群のことである。  

スムーズ

1.  

エタール射の高次元版は滑らかな射である。滑らかさにはさまざまな特徴付けがある。以下は射f  : Y → Xの滑らかさの同等な定義である。

1. 任意のy ∈ Yに対して、 yの開アフィン近傍VとUが存在し、それぞれx = f ( y ) となり、 fをVに制限すると、エタール射に続いてアフィンn空間をU上に射影することで因数分解されます。
2. fは平坦で、局所的に有限表示であり、すべての幾何学的点に対して${\displaystyle {\bar {y}}}$Y （代数的に閉じた体のスペクトルからの射）${\displaystyle k({\bar {y}})}$Yへ）、幾何学的ファイバー${\displaystyle X_{\bar {y}}:=X\times _{Y}\mathrm {Spec} (k({\bar {y}}))}$は滑らかなn次元多様体である${\displaystyle k({\bar {y}})}$古典的な代数幾何学の意味で。

2.完全体k上の滑らかなスキームとは、局所的に有限型であり、k上で正則なスキームXのことである。  

3.体k上の滑らかなスキームとは、幾何学的に滑らかなスキームXのことである。  ${\displaystyle X\times _{k}{\overline {k}}}$滑らかです。

特別

滑らかな曲線C上の除数Dは、次のような場合に特別です。${\displaystyle h^{0}({\mathcal {O}}(K-D))}$これは専門性指数と呼ばれ、正の値をとる。

球形

球面多様体とは、 Gのボレル部分群による開稠密軌道を持つ通常のG多様体 ( G連結還元) のことである。

スプリット

1.代数群の文脈において  ${\displaystyle G}$特定の物件について${\displaystyle P}$派生プロパティ分割があります。${\displaystyle P}$。 いつもの${\displaystyle P}$これは、代数的に閉じた体において自動的に、またはより一般的に生じる性質です。${\displaystyle {\overline {k}}}$このプロパティが既に成り立つ場合${\displaystyle G}$必ずしも代数的に閉じた体ではない体上で定義される${\displaystyle k}$それから${\displaystyle G}$分割を満たすと言われている${\displaystyle P}$。

2.線形代数群  ${\displaystyle G}$体上で定義される${\displaystyle k}$底辺が変化する場合に限り、トーラスである。${\displaystyle G_{\overline {k}}}$代数的閉包へ${\displaystyle {\overline {k}}}$乗法群の積と同型である${\displaystyle G_{m,{\overline {k}}}^{n}}$。${\displaystyle G}$は、それが と同型である場合に限り、分裂トーラスである。${\displaystyle G_{m,k}^{n}}$基本値の変更は一切なし。${\displaystyle G}$中間領域で分裂すると言われている${\displaystyle k\subseteq L\subseteq {\overline {k}}}$基本変更の場合に限り${\displaystyle G_{L}}$に${\displaystyle L}$は同型である${\displaystyle G_{m,L}^{n}}$。

3.還元基  ${\displaystyle G}$体上で定義される${\displaystyle k}$最大トーラスが分割還元的であるのは、${\displaystyle T\subseteq G}$定義済み${\displaystyle k}$は分裂トーラスです。単純群は簡約群であるため、分裂単純群とは、分裂簡約な単純群を意味します。

4.連結した可解線形代数群  ${\displaystyle G}$体上で定義される${\displaystyle k}$分割されるのは、それが構成系列を持つ場合に限る。${\displaystyle B=B_{0}\supset B_{1}\supset \ldots \supset B_{t}=\{1\}}$定義済み${\displaystyle k}$連続する各商${\displaystyle B_{i}/B_{i+1}}$乗法群と同型である${\displaystyle G_{m,k}}$または添加剤グループ${\displaystyle G_{m,a}}$以上${\displaystyle k}$。

5.線形代数群  ${\displaystyle G}$体上で定義される${\displaystyle k}$ボレル部分群を持つ場合に限り分割される${\displaystyle B\subseteq G}$定義済み${\displaystyle k}$それは、連結した可解線形代数群という意味で分割されている。

6.実リー代数の分類において、分裂リー代数は重要な役割を果たす。線形リー群、それに関連するリー代数、および線形代数群の間には密接な関係がある。  ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$応答${\displaystyle \mathbb {C} }$リー理論と線形代数群において、「分割」という用語は同様の意味を持つ。

安定した

1.安定曲線とは、ある程度の「軽微な」特異点を持つ曲線であり、曲線の良好なモジュライ空間を構築するために使用されます。  

2.安定ベクトル束は、ベクトル束のモジュライ空間を構築するために使用されます。  

スタック

スタックは、点の集合と自己同型写像​​をパラメータ化する。

厳密な変換

爆発が起こった${\displaystyle \pi$ :{\widetilde {X}}\to X} は、 閉じた部分スキームZと射${\displaystyle f:Y\to X}$Yの厳密変換(適切な変換とも呼ばれる) は、${\displaystyle {\widetilde {Y}}\to Y}$閉じた部分スキームに沿ったYの${\displaystyle f^{-1}Z}$fが閉じた埋め込みである場合、誘導写像は${\displaystyle {\widetilde {Y}}\hookrightarrow {\widetilde {X}}}$これもまた、閉鎖的な没入体験である。

サブスキーム

修飾子なしのXの部分スキームは、Xの開いた部分スキームの閉じた部分スキームである。

表面

次元が2の代数多様体。

対称的な品種

対称空間の類似物。対称多様体を参照。

接空間

ザリスキー接空間を参照してください。

同義反復的な線束

射影スキームXのトートロジー線束は、セールのねじれ層の双対である。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$つまり、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$。

定理

ザリスキの主定理、形式関数に関する定理、コホモロジー基底変換定理、カテゴリ:代数幾何学の定理を参照してください。

トーラス埋め込み

トーリック型を表す古い用語

トーリック型

トーリック多様体とは、トーラスの作用を持つ通常の多様体であり、トーラスが開いた稠密な軌道を持つものである。

熱帯幾何学

区分的線形代数幾何学の一種。トロピカル幾何学を参照。

トーラス

分割トーラスは、有限個の乗法群の積である。${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$。